第十二章 拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。
我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。
本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。
第一节 拉普拉斯变换在代数中，直接计算（12.1）称（(Laplace)0<时，（P 作（例12.1 求斜坡函数()f t at = （0t ≥，a 为常数）的拉氏变换。
解：0000[]()[]pt ptpt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞+∞+∞---+∞-==-=-+⎰⎰⎰ 2020][0p a e p a dt e pa pt pt =-=+=∞+-∞+-⎰)0(>p二、单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为0t =)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流()i t ，以()Q t 表示上述电路中的电量，则⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,0)(t t t Q由于电流强度是电量对时间的变化率，即t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)()(lim )()(0-+==→，所以，当0t ≠时，()0i t =；当0t =时，∞=-=-+=→→1(lim )0()0(lim )0(00t t Q t Q i t t ∆∆∆∆∆。
上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度．为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数。
例12.4 求指数函数()atf t e =（a 为常数）的拉氏变换。
解：()001[]at at pt p a tL e e e dt e dt p a+∞+∞---===-⎰⎰，()p a >，即)(1][a p a p e L at >-=类似可得22[sin ](0)L t p p ωωω=>+；22[cos ](0)pL t p p ωω=>+。
三、拉氏变换的性质拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换。
性质12.1 (线性性质) 若1a ，2a 是常数，且11[()]()L f t F p =，22[()]()L f t F p =，则)]([)]([)]()([22112211t f L a t f L a t f a t f a L +=+)()(2211p F a P F a += （12.2）证明：dte tf a dt et f a dt et f a t f a t f a t f a L pt ptpt-∞+-∞+-∞+⎰⎰⎰+=+=+)()()]()([)]()([02211221102211)()()]([)]([22112211p F a p F a t f L a t f L a +=+=例12.5 求函数1()(1)atf t e-=-的拉氏变换（12.4）t a <）)()()()]([0)(p F e d e f ed ef a t f L ap p apa p -∞+--∞++-===-⎰⎰ττττττ滞后性质指出：象函数乘以ape -等于其象原函数的图形沿t 轴向右平移a 个单位。
由于函数()f t a -是当t a ≥时才有非零数值。
故与()f t 相比，在时间上滞后了一个a 值，正是这个道理，我们才称它为滞后性质．在实际应用中，为了突出“滞后”这一特点，常在()f t a -这个函数上再乘()u t a -，所以滞后性质也表示为)()]()([p F e a t f a t u L ap -=--例12.7 求[()]L u t a -。
解：因为1[()]L u t p =，由滞后性质得1[()]ap L u t a e p--=。
例12.8 求()[()]a t L eu t ττ--。
解：因为1[]at L e p a =-，所以()1[()]a t p L e u t e p aτττ---=-，()p a >例12.9 已知0,0,0()2,30,3t c t a f t c a t a t a<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，求[()]L f t 。
解： )(t f 可用单位阶梯函数表示为)3(2)()()(a t cu a t cu t cu t f ---+=，于是(12.5)（12.6）(1)(0)'(0)''(0)(0)0n f f f f -====时，有更简单的结果),2,1()()]([)( ==n p F p t f L n n ， （12.7）利用这个性质，可将()f t 的微分方程转化为()F p 的代数方程。
例12.10 利用微分性质求[sin ]L t ω和[cos ]L t ω。
解：令()sin f t t ω=，则2()sin (0)0,'(0),"(0)sin f t tf f f t ωωωω====-，由（12.6）式，得)]([]sin [2t f L t L ''=-ωω)0()0()]([2f pf t f L p '--=，即ωωωω-=-][sin ][sin 22t L p t L ，移项化简得22[sin ]L t p ωωω=+利用上述结果，1cos (sin )'t t ωωω=及（12.5）式，可得])(sin 1[][cos '=t L t L ωωω}0sin ][sin {1])[(sin 1-='=t pL t L ωωωω2222}0{1ωωωω+=-+⋅=p pp p ．性质12.5（积分性质） 若[()]()L f t F p = (0)p ≠，且设()f t 连续，则=t p F dx x f L )(])([（12.8）（12.9）性质12.7 若[()][]L f t F p =，则)()1()]([)(p F t f t L n n n -= （12.10）性质12.8 若[()][]L f t F p =，且0()limt f t t→存在，则 ⎰∞+=p dpp F t t f L )(])([ （12.11）例12.12 求[sin ]L t t ω。
解：因为22[sin ]L t p ωωω=+，由（12.10）式可得22222)(2()1(]sin [ωωωωω+=+-=p p p dp d t t L例12.13 求sin [tL t。
解：因为21[sin ]1L t p =+，而且0sin lim 1t tt→=，所以由（12.11）式可得p arctg p arctg dp p t t L p p -==+=⎰∞+∞+2|11]sin [2π即0sin 2pt t e dt arctgp t π+∞-=-⎰。
因此，当0=p 时，得到一个广义积分的值∞+前面我们主要讨论了怎样由已知函数()f t 求它的象函数()F p 的问题．运算法的另一面是已知象函数()F p 要求它的象原函数()f t ，这就是拉斯逆变换问题．在控制工程中，求拉氏反变换的简便方法是利用拉氏变换表。
同时把常用的拉氏变换的性质用逆变换形式一一列出．性质12.9（先行性质）)]()([22111p F a p F a L +-)()()]([)]([2211212111t f a t f a p F L a p F L a +=+=--。
性质12.10（平移性质）)()]([)]([11t f e p F L e a p F L at at ==---。
性质12.11（滞后性质） )()()]([1a t u a t f p F e L ap-⋅-=--。
例12.14 求223()25p F p p p +=-+的逆变换。
解：]4)1(5)1(2[]5232[)(2121+-+-=+-+=--p p L p p p L t f]4)1(2[254)1(1[22121+-++--=--p L p p L]42[25]4[22121+++=--p L e p p L e t t ]2sin 252cos 2[2sin 252cos 2t t e t e t e t t t +=+=在运用拉氏变换解决工程技术中的应有问题时，通常遇到的象函数常常是有理分式，对于有理分式一般可采用部分分式方法将它分解为较为简单的分式之和，然后再利用拉氏变换表求出象原函数。
3.2()36F p p =+ 4. ()(1)(2)F p p p p =++5．232()69p F p p p p =++ 6. 221()(1)p F p p p +=-第三节 拉氏变换在电学中的应用一、求解常微分方程例12.16 求微分方程'()2()0x t x t +=满足初值条件(0)3x =的解。
解：第一步 对方程两边取拉氏变换，并设[()]()L x t X p =：]0[)](2)('[L t x t x L =+，0)]([2)]([=+'t x L t x L ， 0)(2)0()(=+-p X x p pX 。
例1=-，231413---++=p p p Y再取拉氏逆变换，就得到满足所给初值条件的方程的特解为tt t e e e t y 237431)(-+=-用拉氏变换还可以解常系数线性微分方程组。
二、电学应用举例例12.18 求图示电路的输入运算阻抗Z in (s )解：由串并联关系得Z in (s ) =()()()2222112121212++=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+s s s s s s s 例12.19 求图(a)所示电路中的i (t )、u C (t )。
()()()()106110102+++==s s s s I s s U C j 3j 31321+++-+++=s K s K s K 其中()()2106101 1211=++=+=-=-=s s C s s s s U K()()()()j3j 32j 3110j 3 +-=+-=+++=-+=s s C s s s s U K︒=+-=565.116 /5j21()()︒-=++=--=565.116 /5j 3 j 33s C s s U K则()()[]V )ε( )]565.116(cos e 52e 2[L 31t t s U t u t t C C ︒++==---12. 求图(a)所示电路中的回路电流i 1和i 2.。