19.8 (1) 直角三角形的性质
一、内容与内容解析
本节课的教学内容是上海教育出版社八年级第一学期第十九章《几何证明》这一章节中的第三节“直角三角形”内容中的“19.8直角三角形的性质”，第1课时.学生们在七年级的时候，已经学习并掌握了等腰三角形的判定与性质，这为我们研究特殊的三角形提供了一定的认知基础和学习范式. 此前，对直角三角形，学生只学习过它的定义及其有关概念，以及两个直角三角形全等的判定，而这一节课要研究的就是直角三角形的性质：定理1直角三角形的两个锐角互余.定理 2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.这两条性质分别揭示了直角三角形的主要元素“角”之间的数量关系、主要元素“斜边”及相关元素“斜边上的中线”之间的数量关系，这是本节课的学习主题与重点．同时，无论定理2的文字语言的表述，还是图形语言的描述，都揭示了直角三角形与等腰三角形之间内在的天然联系，这种联系在例题、练习题中，同样显示得那么强烈．我认为对于这种内在的天然联系的凸显与认识是很有必要的，其价值不仅在于对数学知识的真正理解，而且在于数学育人层面上，为如何认识“世界上事物之间是互相联系的，在一定条件下，是可以互相转化的”大道理，提供了一个数学“小案例”。

在等腰三角形→等腰直角三角形→直角三角形多媒体演示过程中，体现了“从一般到特殊”，再“从特殊到一般”的数学思想以及“特殊化”、“一般化”的研究策略，旨在让学生更好的理解这两条性质的“发生”．同时，观察图形变化过程中始终不变的特征，这种图形在变化过程中的不变特征就是图形的性质．于是重现了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的特殊性质，并得到了直角三角形的性质．我认为，这个多媒体课件的设计，同样也是今天教学内容的一部分，“特殊化”“一般化”是数学学习的一种重要的学习策略，在动态变化过程中，观察变化中的不变性从而得出图形性质，是研究图形性质的科学方法，这种方法就其本质而言，就是观察变化的世界，把握变化规律，发现不变特征的世界观.
直角三角形的性质定理2是后续研究直角三角形与特殊平行四边形的基础与依据，直角三角形与等腰三角形的联系与转化也是解直角三角形的利器．这两条性质的学习为今后的平面几何证明学习奠定了坚实的基础，提供了更为灵活的证明思路和方法.
二、目标与目标解析
由于直角三角形的两条性质定理是本课时的学习主题与重点，于是制定“1．掌握直角三角形的两个锐角互余的定理”，“2．初步掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的定理，并能初步运用”，作为这节课的第一、第二教学目标.鉴于对“从一般到特殊”“从特殊到一般”的数学思想及“特殊化”“一般化”策略的认识，对定理证明难度的估计和对小组“合作学习”功能的发挥，设置了“经历‘直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半’的探究和推导证明过程，体会‘从一般到特殊’再‘从特殊到一般’的数学思想方法，并从中分享小组合作探究成功的喜悦”作为第三教学目标．出于对充分发挥教学内容本身具有的育人功能的认识，设置了第四条教学目标：“通过多媒体动态变化过程的演示，定理证明、例题解析、练习演练中两类图形具有规律性的呈现，认识到“变化与不变”、“一般与特殊”、“联系与转化”是世界事物普遍性的反映．”
三、教学问题诊断分析
在本节课的学习过程中，学生们会遇到一些困难和问题.
首先，在直角三角形的两条性质中，“两锐角互余”，利用三角形内角和为180度，学生容易探究得到，容易理解的.但是，“斜边上的中线等于斜边的一半”，如果老师没有认真设计，合理引导，学生是很难进行自主探究得到的．怎么会想到斜边上的中线，而不是其他两条直角边上的中线？这条中线又怎么会恰巧等于斜边的一半？这些都是“横”在学生探求路途中的“坎”.其次，即使探究到了“斜边上的中线等于斜边的一半”这个结论，但如何证明这个结论，对于学生来说也是较为困难的，因为依据现有图形和已知条件不能直接证明可得，而是需要通过添加辅助线，把证明线段的“倍半问题”转化为证明两条线段相等问题，并要构造出两个全等的三角形.基于以上两点，我把本节课的教学难点设置为：直角三角形斜边上的中线性质定理的探究和推导.
四、教学支持条件分析
本章是论证几何的入门，学生初学演绎推理，证明难度不宜过高，故把演绎与非演绎适当结合；证明的难度也应分层面对、逐步提高，把握好这两个“度”.
根据以上教学问题诊断分析，为了更好的实现教学目标，需要2个支持条件.
条件1：多媒体技术.从等腰三角形的性质复习引入，然后特殊化变为顶角为直角——等腰直角三角形，发现它具有一般的等腰三角形的性质以外，还具有以下两条特有的性质：1.所有的锐角均为45度；2.顶角平分线、底边（斜边）上的中线、底边（斜边）上的高这三条线段的长都等于底边（斜边）的一半.再对其一般化，变为两直角边不一定相等，即一般的直角三角形．在这个从一般到特殊，再从特殊到一般的动态变化过程，采用多媒体技术展现给学生，帮助学生探究和理解直角三角形的性质.尤其是直角三角形斜边上的中线性质，需要多媒体技术环境下进行实验操作，缓慢展示动态变化过程，以助学生归纳、猜想.
条件2：小组讨论.探究得到直角三角形斜边上的中线性质定理后,其推导证明也是本节课的一个难点.教师引导后采用学生小组讨论合作完成,其完成结果可以分享给全班同学．这样，既化解了难点，又提高了课堂教学效率.
五、教学过程设计
六、目标检测设计
已知，如图，BE、CF分别是△ABC的高，D是BC的中点，联结DE、DF．
求证：△DEF是等腰三角形．
这道题是对直角三角形斜边上的中线性质定理的简单运用.其一，是让学生对这一性质进行巩固，能较为自如的进行运用解决简单的问题；其二，通过“回看”图形，引导学生进一步观察思考今天我们所学习的直角三角形的性质定理2，发现直角三角形斜边上的中线将一个直角三角形分割成了两个等腰三角形，而这道题又能检测学生是否观察到共斜边但不共直角顶点的两个直角三角形；是否注意到产生了长度相等但不重合的斜边上的中线；是否发现了一个“新生”的等腰三角形；其三，可以更进一步深刻的体会到直角三角形和等腰三角形之间这种天然的内在联系.
点评
《§19．8直角三角形的性质（1）》这节课，是一节好课．她教态亲切和蔼，语言平顺流畅，富有节奏感，媒体使用凸显图形的动态变化，发挥了多媒体的优势，课的设计合理、新颖，各个教学环节之间连结自然贴切．本课，她不仅上出了浓浓的数学味，而且在课上真实地、出色地发挥了数学的育人功能．我阐述如下：
1．在“特殊”、“一般”的转换中凸现本课的学习主题
老师在这节课上展示了“从一般到特殊”、“从特殊到一般”两个研究几何图形的过程，即先将等腰三角形特殊化，使等腰三角形变成等腰直角三角形，然后将直角三角形的特例的等腰直角三角形一般化，成为一般的直角三角形，研究:一般的直角三角形将会保留哪些性质，得到“两个锐角互余”、“斜边上的中线等于斜边的一半”这两条一般性质，从而凸现了本课的学习主题．这种“从一般到特殊”、“从特殊到一般”的思想方法及“特殊化”、“一般化”策略，是学生们初中、高中、乃至大学里学习数学，获取数学新知，研究数学问题的重要通道，将成为各类人才认识事物、研究事物的的一种重要的素养．
2．在动态变化的过程中概括图形的不变特征
老师在运用多媒体让等腰三角形的底边不变，顶角的顶点变化，虽然它的形状、大小、位置都发生变化，但每一时刻呈现的等腰三角形都保持了两条不变特征，即两个底角相等；底边上的高、底边上的中线、顶角平分线“三线合一”．这两条不变性特征就是等腰三角形的性质．当变成了等腰直角三角形时，出现了特殊不变特征，即“两个底角都等于45°”、“三线都等于底边的一半”．当斜边不变，直角的顶点连续变化时，直角三角形的形状、大小、位置都发生变化，但始终保留两条不变特征，即“两个锐角互余”、“斜边上的中线等于斜边的一半”，这两条不变特征由学生概括为直角三角形的性质定理．这一过程让学生领略了如何学习、研究几何图形性质乃至学习、研究一般数学问题的思维方式．事物是在变化着的，世界是在变化着的．几何图形是目前学生观察事物、观察世界的一个最现实、最简单的载体，学生这种经历为他们日后观察事物、观察世界，正确认识事物变化规律、正确把握世界发展趋势具有奠基作用．
3．以形象的操作性语言揭示图形的联系与转化
等腰三角形和直角三角形是两个不同的图形，但它们有联系，等腰直角三角形是它们的“交汇点”．师生们对这两个图形的这种联系，都很熟悉，张老师两次“动态变化”的设计，也是基于对这种联系的把握．值得赞赏的是，在学习了定理“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”与例题后，结合相关图形，她与学生一起先后用“分割”与“拼合”的形象语言来表述等腰三角形和直角三角形的联系与转化，从而得到1．一个等腰三角形一定可以分割成两个全等的直角三角形；2．一个直角三角形一定可以分割成两个等腰三角形；3．两个全等的直角三角形一定可以拼合成一个等腰三角形；4．两腰相等且顶角互补的两个等腰三角形一定可以拼合成一个直角三角形．其中命题4的表述，对学生具有挑战性．这4个命题都是真命题，是全新的认识，揭示了等腰三角形和直角三角形之间的内在的“天然联系”．这让他们认识到“事物之间是相互联系的，在一定条件下是可以相互转化的”．实际上，这4个命题给出了如何正确认识“世界上事物之间的相互联系与转化”大道理的一个小案例，具有数学育人的价值．
以上我对这节的课中的育人功能进行点评，如有不当之处，请予以指正．。