1.1.2 从容说课 课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角 形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题， 也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题 ”．这样，用联系的观 点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实 基础上，使学生能够形成良好的知识结构．设置这样的问题，是为了更好地加强数学思想方法的教学．比 如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过
向量知识给予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教科书就是 用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．
在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题 “勾 股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系， 如何看这两个定理之间的关系？”并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两 边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的 角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广”．还
要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点 ,在解题时正确选用余弦定 理达到求解、求证目的
启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系 ,在应用向量知识的同时 ,注意使学生体会 三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系
教学重点 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用 教学难点 1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程 2.余弦定理在解三角形时的应用思路 3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用． 教具准备 投影仪、幻灯片两张
第一张:课题引入图片(记作 A
如图(1),在 △RtABC 中,有 A 2 +B =C 2
问题:在图(2)、(3)中,能否用 b、c、A 求解 a 第二张:余弦定理(记作 1.1.2B
余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 形式一: a =b +c -2bccosA，b =c +a -2cacosB,c =a +b -2abcosC
形式二:cosA= b2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 a 2 b 2 c 2
,cosB= ,cosC= 2bc 2ca 2ab
三维目标 一、知识与技能 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法 2.会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 3.能利用计算器进行运算 二、过程与方法 1.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论 2.通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 三、情感态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； 2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 教学过程 导入新课 师 上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用,在体会向量应用的同时,解决了在三角形已知两角、一边和已 知两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决,下面我们来看 幻灯片 1.1.2A,如图(1)，在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,
能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢 ?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问 题
在△ ABC 中,设 BC=A,AC=B,AB=C,试根据 B、C、A 来表示 A 师 由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形，在直角三角形 内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD 垂直于 AB 于 D，那么在 △Rt△ BDC 中，边 A 可利用勾股定
理用 CD、DB 表示,而 CD 可在 △Rt△ ADC 中利用边角关系表示,DB 可利用 AB-AD 转化为 AD,进而在 △Rt△ ADC 内求解
解：过 C 作 CD⊥AB,垂足为 D,则在 △Rt△ CDB 中,根据勾股定理可得 A 2 =CD +BD ∵在 △Rt△ ADC 中,CD =B -AD 又∵BD =(C-AD) =C -2C· AD+AD ∴A =B -AD +C 2 -2C· AD+AD =B +C 2 -2C· AD
又∵在 △Rt△ ADC 中,AD=B· COsA ∴a =b +c -2abcosA
类似地可以证明 b =c +a -2cacosB c =a 2 +b -2abcosC
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 另外,当 A 为钝角时也可证得上述结论,当 A 为直角时，a +b =c 也符合上述结论,这也正是我们这一节将要 研究的余弦定理,下面我们给出余弦定理的具体内容.(给出幻灯片 1.1.2B
推进新课 1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 在幻灯片 1.1.2B 中我们可以看到它的两种表示形式 形式一 a =b +c -2bccosA b =c+a -2cacosB c =a 2 +b -2abcosC 形式二
cos A b2 c 2 a 2
2bc
cos B c 2 a 2 b 2ca 2
cos C a 2 b 2 c 2ab 2
师 在余弦定理中,令 C =90°时,这时 cosC=0,所以 c =a +b ,由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外,对于 余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明 ,以进一步体会向量知识的工具性 作用
[合作探究 2.向量法证明余弦定理 (1)证明思路分析 师 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因 A、B 均未知，所以较难求边 C．由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现, 从而可以考虑用向量来研究这个问题．由于涉及边长问题，那么可以与哪些向量知识产生联系呢
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 生 向量数量积的定义式 a· b=|a||b|cosθ,其中 θ 为 A、B 的夹角 师 在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行正、余弦形式的转 换,也就少去添加辅助向量的麻烦 .当然,在各边所在向量的联系上仍然通过向量加法的三角形法则 ,而在数
量积的构造上则以两向量夹角为引导 ,比如证明形式中含有角 C,则构造 这一数量积以使出现 COsC.同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提
(2)向量法证明余弦定理过程 如图， △在ABC 中,设 AB、BC、CA 的长分别是 c、a、b
由向量加法的三角形法则，可得 ∴
AC AB BC
AC AC ( AB BC ) (AB BC ) AB 2 2 AB BC BC 2 AB 2 AB BC cos(180B) BC c 2 2ac cos B a 2 ,
即 B =C +A -2AC CO B
由向量减法的三角形法则，可得 ∴
BC AC AB
BC BC ( AC AB) (AC AB) AC 2 2 AC AB AB 2 AC 2 AC AB cos A AB b 2 2bc cos A c 2
即 a =b +c -2bccosA
由向量加法的三角形法则,可得 ∴
AB AC CB AC BC
CB CA 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 AB AB ( AC BC ) (AC BC ) AC 2 2 AC BC BC 2 AC 2 2 AC BC cos C BC 2 b 2 2ba cos C a 2 ,
即 c =a 2 +b -2abcosC
[方法引导 (1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则 (2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定, AC 与 AB 属于同起点向量,则夹角为 A; AB 与
BC 是首尾相接,则夹角为角 B 的补角 180°-B; AC 与 是同终点,则夹角仍是角 C
[合作探究
师 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出 一角？
生（留点时间让学生自己动手推出）从余弦定理，又可得到以下推论： cos A b2 c 2 a 2 a 2 c 2 b 2 b 2 a 2 c 2 ,cos B ,cos C
2bc 2ac 2ba
师 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方 之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
生（学生思考片刻后会总结出） △若ABC 中，C =90°，则 cosC=0，这时 c =a +b .由此可知余弦定理是勾 股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．
师 从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第 三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果两边的平
方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．现 在，三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变成可定量计算的公式了．
师 在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用(给出幻灯片 1.1.2B 通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到 ,利用余弦定理 ,可以解决以下两类有关三角形的问 题
2 2 BC
2 2 2