第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1)证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间；2)求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3)具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。

解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且(1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =，(2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+，(4) ∑='A =ji j i ij y x a ,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。

2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a aa a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =， 因此有B A =。

4)由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设:1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β，2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β，3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。

解 1)由定义,得012)1(32112),(=⨯+-+⨯+⨯=βα，所以2,πβα>=<。

,,ij i jiji ji ji ja x yay y ≤∑2)因为1813521231),(=⨯+⨯+⨯+⨯=βα，1833222211),(=⨯+⨯+⨯+⨯=βα，3633221133),(=⨯+⨯+⨯+⨯=βα，22361818,cos =>=<βα，所以4,πβα>=<。

3)同理可得3),(=βα, 17),(=αα, 3),(=ββ, 773,cos >=<βα，所以773cos ,1->=<βα。

3. βαβα-=),(d 通常为βα,的距离，证明；),(),(),(γββαβαd d d +≤。

证 由距离的定义及三角不等式可得)()(),(γββαγαβα-+-=-=dγββα-+-≤),(),(γββαd d +=。

4在R 4中求一单位向量与()()()3,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1---正交。

解 设()4321,,,x x x x =α与三个已知向量分别正交，得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+--=+-+03200432143214321x x x x x x x x x x x x ， 因为方程组的系数矩阵A 的秩为3，所以可令x 3,0,414213-===⇒=x x x ，即()3,1,0,4-=α。

再将其单位化，则()3,1,0,42611-==αηa ，即为所求。

5．设n ααα ,,21是欧氏空间V 的一组基，证明：1） 如果V ∈γ使()(),,,2,10,n i i ==αγ，那么0=γ。

2） 如果V∈21,γγ使对任一V ∈α有()()αγαγ,,21=，那么21γγ=。

证 1)因为n ααα ,,21为欧氏空间V 的一组基，且对V ∈γ，有()()n i ,,2,10, =αγ ，所以可设n n k k k αααγ ++=2211，且有()()()()()n n n n k k k k k k αγαγαγαααγγγ,,,,,22112211+++=+++=即证0=γ。

2)由题设，对任一V ∈α总有()()αγαγ,211=，特别对基i α也有()()i i αγαγ,211=，或者()()n i i ,,2,10,21 ==-αγγ，再由1)可得021=-γγ，即证21γγ=。

6设3,2,1εεε是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：()()()321332123211223122312231εεεαεεεαεεεα--=+-=-+=也是一组标准正交基。

证 因为()()3213212122,2291,εεεεεεαα+--+=()()()[]3322112,,22,291εεεεεε-+-+=[]0)2()2(491=-+-+=，同理可得()()0,,3231==αααα，另一方面()()3213211122,2291,εεεεεεαα-+-+=()()()[]332211,,4,491εεεεεε--++=1)144(91=++=， 同理可得()()1,,3322==αααα，即证321,,ααα也是三维欧氏空间中的一组标准正交基。

7.设54321,,,,εεεεε也是五维欧氏V 空间中的一组标准正交基,()3221,,αααL V =，其中511εεα+= , 4212εεεα+-= , 32132εεεα++=，求1V 的一组标准正交基。

解 首先证明321,,ααα线性无关.事实上，由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=001010100110211),,,,(),,(54321321εεεεεααα，其中 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=001010100110211A 的秩为3，所以321,,ααα线性无关。

将正交化，可得5111εεαβ+==，=-=),(),(112222βββααβ54212121εεεε-+-，单位化，有)(22511εεη+=， )22(101054212εεεεη-+-=， )(2153213εεεεη-++=，则321,,ηηη为1V 的标准正交基。

8. 求齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-+=-+-+032532154321x x x x x x x x x 的解空间(作为5R 的子空间)的一组标准正交基。

解 由⎩⎨⎧+--=+--=-32153215423x x x x x x x x x 可得基础解系为)1,5,0,0,1(1--=α，)1,4,0,1,0(2--=α，)1,4,1,0,0(3=α，它就是所求解空间的一组基。

将其正交化，可得)1,5,0,0,1(11--==αβ，)2,1,0,9,7(91),(),(1111222---=-=ββββααβ，)2,1,15,6,7(151),(),(),(),(222231111333=--=ββββαββββααβ，再将321,,βββ单位化,可得)1,5,0,0,1(3311--=η，)2,1,0,9,7(15312---=η，)2,1,15,6,7(35313=η，则321,,ηηη就是所求解空间的一组标准正交基。

9.在R[X]4中定义内积为(f,g)=⎰-dx x g x f )()(11 求R[X]4的一组标准正交基(由基1.32,,χχχ出发作正交化)。

解 取R[X]4的一组基为,,,,1342321x x x ====αααα将其正交化,可得111==αβ，x =-=1111222),(),(ββββααβ，其中(⎰=•=-01),1112dx x βα，又因为⎰===-32),(),(2112213dx x βββα， ⎰=•=-211),(1111dx ββ， ⎰=•=-0),(21123xdx x βα，所以31),(),(),(),(2222231111333-=--=x ββββαββββααβ，同理可得x x 53),(),(),(),(),(),(333334222241111444-=---=ββββαββββαββββααβ，再将4321,,,ββββ单位化，即得221111==ββη，x261222==ββη，)13(41023-=x η，)35(41434x x -=η， 则4321,,,ηηηη即为所求的一组标准正交基。

10.设V 是一n 维欧氏空间,0≠α是V 中一固定向量,1)证明:V },0),(|{1V x a x x ∈==是V 的一个子空间；2)证明:V 1的维数等于n-1。

证 1)由于0,01V ∈因而V 1非空.下面证明V 1对两种运算封闭.事实上,任取,,121V x x ∈则有 (0),(),21==ααx x ，于是又有(0)()(),2121=+++=+αααx x x x ，所以121x x V +∈。

另一方面，也有 (0),(),11==ααx k kx ， 即11kx V ∈。

故V 1是V 的一个子空间。

2)因为0≠α是线性无关的，可将其扩充为V 的一组正交基2,,n αηη，且(0),=αηi (),3,2n i =，1(2,3,)i V i n η∈=。

下面只要证明:对任意的ββ,1V ∈可以由n ηηη ,,32线性表出，则1V 的维数就是1-n 。

事实上，对任意的1V ∈β，都有V ∈β，于是有线性关系nn k k k ηηαβ+++= 221，且),(),(),(),(221αηαηαααβn n k k k +++= ，但有假设知 ),,2,1(0),(),(n i i ===αηαβ，所以0),(1=ααk ，又因为0≠α，故01=k ，从而有n n k k ηηβ++= 22，再由β的任意性，即证。

11．1）证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。

2）利用上述结果证明：任一欧氏空间都存在标准正交基。

证：1）设n ααα,,,21 与n βββ,,,21 是欧氏空间V 的两组不同基，它们对应的度量矩阵分别是)(ij a A =和)(ij b B =，另外，设n ααα,,,21 到n βββ,,,21 的过渡矩阵为)(ij c C =，即⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=n nn n n n n n c c c c c c αααβαααβ 221112121111 ，),(),(1111n nj j n ni i j i ij c c c c b ααααββ++++===∑=++nk n nj j k ki c c c 111),(ααα=∑∑==n k ns s k sj ki c c 11),(αα=∑∑==n k ns ks si ki c c 11α，另一方面,令)(),(''ij ij e DC AC C d A C D ====，则D 的元素为∑==nk ks ki is c d 1α，故AC C '的元素∑∑∑=======n s nn ij sj ks ki n s sj is ij n j i b c c c d e 111),2,1,()( α，即证B AC C ='。