第2讲数形结合思想1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．(2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．(3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．3．数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围．(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围．(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式．(5)构建立体几何模型研究代数问题．(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题．(7)构建方程模型，求根的个数．(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域．(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整， 以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解.类型一 利用数形结合思想讨论方程的根、函数的零点例1 (2012·辽宁)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，32上的零点个数为( ) A ．5 B ．6C ．7D ．8答案 B解析 根据题意，函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数且0≤x ≤1时，f (x )＝x 3， 则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 3，且g (x )＝|x cos(πx )|， 所以当x ＝0时，f (x )＝g (x )．当x ≠0时，若0<x ≤12，则x 3＝x cos(πx )，即x 2＝cos πx .再根据函数性质画出⎣⎡⎦⎤－12，32上的图象，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根．所以总共有6个．用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤02， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x的方程f (x )＝x 的解的个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 由f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，解得b ＝4，c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤02， x >0∴方程f (x )＝x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x >0x ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x 2＋4x ＋2＝x解得x ＝2或x ＝－1或x ＝－2，均合题意． 类型二 利用数形结合思想解不等式或求参数范围例2 (1)(2012·福建)对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x－1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1－316，0解析 由定义可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)x ，x ≤0，－(x －1)x ，x >0.作出函数f (x )的图象，如图所示． 由图可知，当0<m <14时，f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3. 不妨设x 1<x 2<x 3， 易知x 2>0，且x 2＋x 3＝2×12＝1，∴x 2x 3<14.令⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)x ＝14，x <0，解得x ＝1－34或x ＝1＋34(舍去)．∴1－34<x 1<0，∴1－316<x 1x 2x 3<0. (2)已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ·f (x )<0的x 的取值范围是________．答案 (－1,0)∪(0,1)解析 作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f (x )<0的 x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．(1)使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |， 0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)答案 (1)(－1,0) (2)C解析 (1)在同一坐标系中，分别作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，由图可知，x 的取值范围是(－1,0)．(2)作出f (x )的大致图象．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ，则 －lg a ＝lg b ＝－12c ＋6.∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝c . 由图知10<c <12，∴abc ∈(10,12)． 类型三 利用数形结合思想求最值例3 若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B ．1 C. 2D ．2答案 B解析 设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )， 则x 2＋y 2＝1，a －c ＝(1－x ，－y )，b －c ＝(－x,1－y )，则(a －c )·(b －c )＝(1－x )(－x )＋(－y )(1－y )＝x 2＋y 2－x －y ＝1－x －y ≤0，即x ＋y ≥1. 又a ＋b －c ＝(1－x,1－y )， ∴|a ＋b －c |＝(1－x )2＋(1－y )2＝(x －1)2＋(y －1)2，①如图c ＝(x ，y )对应点在AB 上，而①式的几何意义为P 点到AB 上点的距离，其最大值为1.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：①要彻底弄清一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论，既分析其几何意义又分析其代数意义．②要恰当设立参数，合理建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化．③要正确确定参数的取值范围．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则yx的最小值是________． 答案 2解析 画可行域如图所示．又yx 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k . 由图知，过点A 的直线OA 的斜率最小．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2得A (1,2)， ∴k OA ＝2－01－0＝2.∴yx 的最小值为2.1．在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的．2．有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的．3．利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象．4．数形结合思想是解决高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时更方便，可以提高解题速度．5．数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等．1．已知0<a <1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 作出函数y ＝a |x |，y ＝|log a x |的图象，由图象可知，两图象只 有两个交点，故方程有2个实根． 2．设a ＝sin5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c答案 D解析 a ＝sin 5π7＝sin ⎝⎛⎭⎫π－2π7 ＝sin2π7，又π4<2π7<π2， 可通过单位圆中的三角函数线进行比较： 如图所示，cos 2π7＝OA ，sin 2π7＝AB ，tan 2π7＝MN ，∴cos 2π7<sin 2π7<tan2π7，即b <a <c . 3．当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)答案 B解析 利用指数函数和对数函数的性质及图象求解． ∵0<x ≤12，∴1<4x ≤2，∴log a x >4x >1，∴0<a <1，排除答案C ，D ；取a ＝12，x ＝12，则有412＝2，log 1212＝1，显然4x <log a x 不成立，排除答案A ；故选B.4．若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________.答案2解析 令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2.结合图象知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)． ∴k ＝22＋21＋2＝ 2.5．若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12解析 作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.6．设函数f (x )＝ax 3－3ax ，g (x )＝bx 2－ln x (a ，b ∈R )，已知它们在x ＝1处的切线互相平行． (1)求b 的值；(2)若函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≤0，g (x )，x >0，且方程F (x )＝a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围．解 函数g (x )＝bx 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)， (1)f ′(x )＝3ax 2－3a ⇒f ′(1)＝0， g ′(x )＝2bx －1x ⇒g ′(1)＝2b －1，依题意2b －1＝0，所以b ＝12.(2)x ∈(0,1)时，g ′(x )＝x －1x <0，x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝x －1x >0，所以当x ＝1时，g (x )取得极小值g (1)＝12；当a ＝0时，方程F (x )＝a 2不可能有四个解； 当a <0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0， x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值f (－1)＝2a ，又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图所示： 从图象可以看出F (x )＝a 2不可能有四个解．当a >0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0， 所以当x ＝－1时，f (x )取得极大值f (－1)＝2a .又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图：从图象看出方程F (x )＝a 2有四个解，则12<a 2<2a ，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，2.。