傅里叶变换周期函数)(t f T 可表示为：∑+∞=++=10)sin cos (2)(n n n T t n b t n a a t f ωω其中：⎰-=220)(2T T Tdt t fTa⎰-=22cos )(2T T Tn tdt n t fTa ω⎰-=22sin )(2T T Tn tdt n t fTb ω周期函数)(t f T 的周期为T 。

频率T f 1=，角频率Tπω2=，n 为正整数。

周期函数)(t f T 的直流分量⎰-==220)(12T T Tdt t fTa d 。

nf f n =为各次谐波的频率。

周期函数)(t f T 可化为：(三角函数公式：B A B A B A sin sin cos cos )cos(-=+)d t n A t f n n n T ++=∑+∞=1)cos()(ϕω其中：22n n n b a A +=)(nnn a b a r c t g -=ϕ 即周期函数)(t f T 可表示为不同频率成分的正弦函数的和。

其中频率f为基波的频率。

根据欧拉公式θθθsin cos i e i +=，有：2cos θθθi i e e -+=ie e i i 2sin θθθ--=所以周期函数)(t f T 可表示为：∑+∞=---+++=10)22(2)(n tin t in n t in t in n T ie e b e e a a tf ωωωω= )22(210tin n n t in n n n e ib a e ib a a ωω-+∞=++-+∑而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-⎰⎰--tdt n t f i tdt n t f T ib a TTT T T T n n ωωsin )(cos )(122222 =dt t n i t n t fTTT T)sin (cos )(122ωω-⎰-=dt e t f Tt in T T T ω--⎰22)(12n n ib a +=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎰⎰--tdt n t f i tdt n t f T TTT T T T ωωsin )(cos )(12222 =dt t n i t n t fTTT T)sin (cos )(122ωω+⎰-=dt e t f Tt in T T T ω⎰-22)(1令⎰-=220)(1T T Tdt t fTcdt e t fTib a c t in TT Tn n n ω--⎰=-=22)(12dt e t f Tib a c t in T TT n n n ω⎰--=-=22)(12 n 为正整数则)()(10t in n t in n n T e c e c c t f ωω--+∞=++=∑当 n 取整数时，c 可以合写为一个式子dt e t f Tc t in T T T n ω--⎰=22)(1 （n = 0, ±1，±2，...）所以有tin n nT ec t f ω∑+∞-∞==)( n 为整数非周期函数)(t f ，当+∞→T 时，有)()(lim t f t f T T +∞→=所以t in n t in T T T T e dt e t f T t f ωω∑⎰∞+-∞=--+∞→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22)(1)(lim取ωωn n =，Tn n n πωωωω21=-=∆=-，当+∞→T 时，0→∆n ω。

从而t i n ti T T T n n n n e dt e t f t f ωωωπω∑⎰∞+-∞=--→∆⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∆=220)(2)(lim 亦即n t i n t i n n n e dt e t f t f ωπωωω∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑⎰+∞-∞=∞+∞--→∆)(21)(lim0 令⎰+∞∞--=dt e t f F t i n n ωω)()(则n ti n nn n e F t f ωωπωω∆=∑+∞-∞=→∆)(21)(lim=⎰+∞∞-n t i n d e F n ωωπω)(21 =⎰+∞∞-ωωπωd e F t i )(21因此有⎰+∞∞--=dt e t f F t i ωω)()( (1)⎰+∞∞-=ωωπωd e F t f t i )(21)( (2)称式(1)中函数)(ωF 为函数)(t f 的傅里叶变换，式(2)中函数)(t f 为函数)(ωF 的傅里叶逆变换。

函数)(ωF 即为函数)(t f 的频谱。

图1 是函数y1和y2的函数图。

其中 y1=sin(t)。

y2=sin(t)+0.5*cos(3*t)+0.2*sin(8*t)+0.35*cos(15*t)。

y1是标准的正弦函数，y2中加入了高次谐波分量。

图1 谐波分量图图2 是偶次谐波的函数图。

图2 偶次谐波图图3 是偶次谐波的频谱图。

图3 偶次谐波频谱图图4 是偶次谐波5次谐波含量和20次谐波含量的波形图。

图4 偶次谐波5次谐波含量和20次谐波含量的波形图傅里叶分析在电路上的应用函数)(t f 的傅里叶变换记为F[])(t f ，函数)(t g 的傅里叶变换记为F [])(t g ，即=)(ωF F [])(t f ，=)(ωG F [])(t g 。

则有傅里叶变换的线性性质F [])()(t g t f βα+ = α)(ωF +β)(ωG傅里叶变换的微分性质F⎥⎦⎤⎢⎣⎡dt t df )( = )(ωωF i傅里叶变换的积分性质F⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰∞-t dt t f )( =)(1ωωF i 电路上的一个例子。

有一段RLC 电路如图5所示图5 RLC 电路求电路的电流)(t i ，列方程有)()(1)()(t u dt t i C dt t di Lt Ri t=++⎰∞- 函数)(t i 的傅里叶变换为)(ωI ，函数)(t u 的傅里叶变换为)(ωU ，对方程两边做傅里叶变换，有)()(1)()(ωωωωωωU I Ci LI i RI =++ 求)(ωI 得Ci L i R U I ωωωω1)()(++=求)(ωI 的傅里叶逆变换得dt e I t i t i tωωπ⎰∞-=)(21)(代入具体的参数值，即可求得电路的电流)(t i 。

函数的卷积已知函数)(t f ，)(t g ，则积分τττd t g f t h )()()(-=⎰+∞∞-称为函数)(t f 和)(t g 的卷积，记为)(*)()(t g t f t h =按傅里叶变换的定义，有F )](*)([t g t f = dt e t g t f t i ω-+∞∞-⎰)](*)([= dt e d t g f t i ωτττ-+∞∞-+∞∞-⎰⎰-])()([= dt d e t g e f t i i ττττωωτ)()()(--+∞∞-+∞∞--⎰⎰-=)()()()(τττττωωτ--⎰⎰+∞∞----+∞∞-t d e t g d e f t i i=F [])(t f ∙ F [])(t g=)()(ωωG F ∙即两个函数卷积的傅里叶变换等于这两个函数傅里叶变换的乘积。

数字低通滤波器的设计模拟二阶低通滤波器的电路如图6所示。

图6 模拟二阶低通滤波器电路用傅里叶变换分析电路，可以证明2121221211221211)1)1(11(1)()(C C R R s C R A C R C R s C C R R A s U s U i o +-+++=其中ωi s =，341R R A +=。

设 )()()(s U s U s G i o =21211C C R R c =ω212121C C R R f c π=221112211122)1(1C R CR A C R C R C R C R Q -++=则有222)(c cc s Qs A s G ωωω++=函数)(s G 为图6模拟二阶低通滤波器的传递函数。

A 为放大系数，c ω为滤波器的截止角频率，Q 为滤波器的品质因数。

取Ω==k R R 159.15521，F C C μ01.021==，Ω==k R R 1043，则2=A ，Hz f c 100=，s rad c /200πω=，1=Q 。

函数)(s G 的频谱图如图7所示。

图7 函数)(s G 的频谱图(1=Q )特别的，取∞=3R ，04=R ，则1=A , 5.0=Q ，函数)(s G 的频谱图如图8所 示。

图8 函数)(s G 的频谱图(5.0=Q )取1=A , 5.0=Q 的参数，当21)(=s G ， 求得64.3594Hz =f 。

即为函数 )(s G 的半功率点。

函数)(s G 的零极点图如图9所示。

0>Q 时极点位于左半平面。

图9 函数)(s G 的零极点图(1=A )特别的，当21R R =，21C C =时，AQ -=31。

当3≥A 时，0≤Q ，函数)(s G 的零极点位于右半平面。

取3=A ，函数)(s G 的零极点图如图10所示。

函数)(s G 极点位于右半平面。

图10 函数)(sG的零极点图(3A)函数)(sG的相频图如图11所示。

图11函数)(sG的相频图-1F 将函数)(sG 级联，构成多阶低通滤波器，如图12所示的2阶、4阶、6阶低通滤波器的频谱图。

图12 2阶、4阶、6阶低通滤波器的频谱图(5.0=Q )由)()()(s G s U s U i o ∙=，根据卷积定理得)()()(t g t u t u i o *=。

在频域上对函数)(s G 采样，并对函数)(s G 做傅里叶逆变换得=)(t g )]([s G 。

二阶模拟低通滤波器在时域上的传递函数)(t g 的图形如图13所示。

对函数)(t u i 和函数)(t g 做卷积运算，求得函数)(t u o ，即通过数字滤波器滤波后的结果。

函数)(t u i 和函数)(t u o 的图形如图15所示。

图14是函数)(t u i 的基波经过滤波器后产生相位延时的例子。

图16是模拟二阶低通滤波器电路运行后的结果。

函数)(t u o 和图6中模拟电路给出的结果是一致的。

图13时域上的传递函数)(t g图14 滤波器的相位延时图15 函数)(t u i 和函数)(t u o图16 模拟二阶低通滤波器电路运行后的结果标准表的计算公式电压表达式： ∑∞=+=1)s i n ()(k k k t k v t v ϕω电流表达式： ∑∞=+=1)s i n ()(k k k t k i t i γω 电压有效值∑==Nn rms n v NV 12][1电流有效值∑==Nn rms n i NI 12][1瞬时有功功率)()()(t i t v t p ⨯=平均有功功率∑==Nn n p NP 1][1瞬时无功功率)4()()()()('Tt i t v t i t v t q -⨯=⨯= (注)平均无功功率∑==Nn n q NQ 1][1视在功率rms rms I V S ⨯=功率因数S P =θcos (注SQ ≠θsin )有功电能⎰∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧∆⨯==∞=→∆tn t t n p dt t p Energy 010][)(lim无功电能⎰∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧∆⨯==∞=→∆tn t t n q dt t q gy activeEner 010][)(Re lim视在电能⎰∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧∆⨯==∞=→∆tn t t n s dt t s ergy ApparentEn 010][)(lim脉冲频率表常数、、度电、、)S Q (1s P f q p =离散傅里叶变换(DFT)∑-=-=102][][N n nk Ni en x k X π离散傅里叶变换的逆变换(IDFT)∑-==102][1][N k nk Ni ek X Nn x π奈奎斯特采样定理f f 2Nyquist ≥标准表的插值算法定频采样的同步问题需要插值算法。