高中数学教学设计 等比数列的前n项和 （ 第一课时） 一． 教材分析。 （1）教材的地位与作用：《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5），是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 （2）从知识的体系来看：“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。 二．学情分析。 （1）学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。 （2）教学对象：高二理科班的学生，学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。 （3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三．教学目标。 根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律，本节课的教学目标确定为： （1）知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础

上，并能初步应用公式解决与之有关的问题。 （2）过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力． （3）情感，态度与价值观————培养学生勇于探索、敢于创新的精神，从探索中获得成功的体验，感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的 简洁美。 四．重点,难点分析。 教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用。 教学难点：公式的推导方法及公式应用中q与1的关系。 五．教法与学法分析. 培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。因此，本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法，让老师的主导性和学生的主体性有机结合，使学生能够愉快地自觉学习，通过学生自己观察、分析、探索等步骤，自己发现解决问题的方法，比较论证后得到一般性结论，形成完整的数学模型，再运用所得理论和方法去解决问题。一句话： 还课堂以生命力，还学生以活力。 六．课堂设计 （一）创设情境，提出问题。（时间设定：3分钟）

[利用投影展示] 在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。为什么呢 [设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性．故事内容紧扣本节课的主题与重点] 提出问题1：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗 引导学生写出麦粒总数236312222 （二）师生互动，探究问题[5分钟] 提出问题2：?23631+2+2+2++2究竟等于多少呢 有学生会说：用计算器来求（老师当然肯定这种做法，但学生很快发现比较难求。） 提出问题3：同学们，我们来分析一下这个和式有什么特征（学生会发现，后一项都是前一项的2倍） 提出问题4：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，那么我们若在此等式两边同以2，得到另一式： [[利用投影展示] 比较（1）(2）两式，你有什么发现（学生经过比较发现：（1）、（2）两式有许多相同的项） 提出问题5：将两式相减，相同的项就消去了，得到什么呢。（学生会发现：646421S

[这五个问题的设计意图：层层深入，剖析了错位相减法中减的妙用，使学生容易接受为什么要错位相减，经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，也让学生感受到这种方法的神奇] 这时，老师向同学们介绍错位相减法，并 提出问题6：同学们反思一下我们错位相减法求此题的过程，为什 么（1）式两边要同乘以2呢 [这个问题的设计意图:让学生对错位相减法有一个深刻的认识，也为探究等比数列求和公式的推导做好铺垫] （三）类比联想，解决问题。[时间设定：10分钟] 提出问题7：n1n设等比数列a的首项为a,公比为q,求它的前项和S

123naaaan即 S 学生开展合作学习,讨论交流，老师巡视课堂，发现有典型解法的，叫同学板书

在黑板上。 [设计意图：从特殊到一般,从模仿到创新,有利于学生的知识迁移和能力提高，让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验] （四）分析比较，开拓思维。[时间设定：5分钟] 将不同的的方法进行分析评价。根据学生的认识状况，可能有如下几种方法： 错位相减法1： 错位相减法2 提出公比q 累加法 qaaSqnn11)(

等比数列,公比为,它的前项和}{naqn

3anqS

2a

1aSn





1na



n

a

3a

1na



n

a

2a

qa

n

)(2131111nnqaqaqaaqa11212111nnnqaqaqaqaaS

qa1

nnnaaaaaS1321等比数列,公比为,它的前项和}{naqn

)(11nnqaS

qaa12

nnnaaaaaS1321等比数列,公比为,它的前项和}{naqn

qaa23

11nqa

21qa

nqSnnqaaSq111)(



等比数列,公比为,它的前项和}{naqn

qa11aSn





21n

qa



11n

qa

21qa



21n

qa



qa

1n

qa

1 可能也有同学会想到由等比定理得 【设计意图：共享学习成果，开拓了思维，感受数学的奇异美】 （五）．归纳提炼，构建新知。[时间设定：3分钟]

提出问题8:由nn11(1-q)s=a-aq得n11na-aqs=1-q对不对这里的q能不能等于1等比数列中的公比能不能为11q时是什么数列此时nS

【设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，增强思维的严谨性】． 提出问题9:等比数列的前n项和公式怎样?

学生归纳出1111(1),1,111,1,1nnnn

aaqaqqqqSSqnaqnaq

















【设计意图：向学生渗透分类讨论数学思想，加深对公式特征的了解】 （六）层层深入，掌握新知。[时间设定：15分钟] 【设计意图：通过两道简单题来剖析公式中的基本量．进行正反两方面的“短、浅、快” 练习．通过总结、辨析和反思，强化公式的结构特征．】 题号 a1 q n an Sn （1） 1/2 1/2 8 （2） 27 2/3 8 （3） -2 -96 -63

【设计意图：渗透方程思想.通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力.掌握公式中”知三求二”的题型】 练习3：求等比数列1111,,,, 24816前8项和； 变式 1、等比数列1111,,,, 24816前多少项的和是6364； 变式2、等比数列1111,,,, 24816求第5项到第10项的和； 变式3、等比数列,na23a,a,a, 求前2n项中所有偶数项的和。 （先由学生独立求解，然后抽学生板演，教师巡视、指导，讲评学生完成情况，寻找学生中的闪光点，给予热情表扬。)