当前位置:文档之家› 微分几何习题全解(梅向明高教版第四版)

微分几何习题全解(梅向明高教版第四版)

第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。

分析:一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式,其中)(t e为单位向量函数,)(t λ为数量函数,那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向,即)(t e 为常向量,(因为)(t e 的长度固定)。

证 对于向量函数)(t r ,设)(t e 为其单位向量,则)(t r =)(t λ)(t e ,若)(t r具有固定方向,则)(t e 为常向量,那么)('t r =)('t λe ,所以 r ×'r=λ'λ(e ×e )=0 。

反之,若r ×'r =0 ,对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ,于是r×'r =2λ(e ×'e )=0 ,则有 λ = 0 或e ×'e =0 。

当)(t λ= 0时,)(t r =0 可与任意方向平行;当λ≠0时,有e ×'e =0 ,而(e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e2)=2'e ,(因为e具有固定长, e ·'e = 0) ,所以 'e =0 ,即e为常向量。

所以,)(t r 具有固定方向。

6.向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是(r 'r ''r )=0 。

分析:向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n,使)(t r ·n = 0 ,所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ,''r的关系。

证 若)(t r 平行于一固定平面π,设n 是平面π的一个单位法向量,则n为常向量,且)(t r·n = 0 。

两次求微商得'r ·n = 0 ,''r ·n = 0 ,即向量r ,'r ,''r 垂直于同一非零向量n,因而共面,即(r 'r ''r )=0 。

反之, 若(r 'r ''r )=0,则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。

若r ×'r =0,由上题知)(t r 具有固定方向,自然平行于一固定平面,若r ×'r ≠,则存在数量函数)(t λ、)(t μ,使''r = r λ+μ'r①令n =r ×'r,则n≠0 ,且)(t r ⊥)(t n 。

对n =r ×'r求微商并将①式代入得'n =r ×''r =μ(r ×'r)=μn ,于是n ×'n =0 ,由上题知n 有固定方向,而)(t r ⊥n,即)(t r 平行于固定平面。

§3 曲线的概念1.求圆柱螺线x =t cos ,y =t sin ,z=t 在(1,0,0)的切线和法平面。

解 令t cos =1,t sin =0, t =0得t =0, 'r(0)={ -t sin ,t cos ,1}|0=t ={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为 111z y x ==- ,法平面为 y + z = 0 。

2.求三次曲线},,{32ct bt at r =在点0t 的切线和法平面。

解 }3,2,{)('2000ct bt a t r = ,切线为230020032ct ct z bt bt y a at x -=-=-, 法平面为 0)(3)(2)(30202000=-+-+-ct z ct bt y bt at x a 。

3. 证明圆柱螺线r ={ a θcos ,a θsin ,θb } (+∞∞- θ)的切线和z 轴作固定角。

证明 'r= {-a θsin ,a θcos ,b },设切线与z 轴夹角为ϕ,则ϕcos=22||||'ba be r k r +=⋅ 为常数,故ϕ为定角(其中k 为z 轴的单位向量)。

4. 求悬链线r ={t,a t a cosh }(-∞∞ t )从t =0起计算的弧长。

解 'r= {1,a tsinh },|'r| =at2sinh 1+ = a tcosh , s=a tta t a dt sinh cosh=⎰ 。

9.求曲线2232,3a xz y a x ==在平面3ay = 与y = 9a 之间的弧长。

解 曲线的向量表示为r =}2,3,{223xa a x x ,曲面与两平面3a y = 与y = 9a 的交点分别为x=a 与x=3a , 'r =}2,,1{2222xa ax -,|'r |=444441xa a x ++=22222x a a x +,所求弧长为a dx xa a x s aa9)2(22322=+=⎰。

10. 将圆柱螺线r ={a t cos ,a t sin ,b t }化为自然参数表示。

解 'r= { -a t sin ,a t cos ,b },s =t b a dt r t220|'|+=⎰,所以22ba s t +=,代入原方程得 r ={a cos22ba s +, a sin22ba s+, 22ba bs +}11.求用极坐标方程)(θρρ=给出的曲线的弧长表达式。

解 由θθρcos )(=x ,θθρsin )(=y 知'r={)('θρθcos -θθρsin )(,)('θρθsin +θθρcos )(},|'r|=)(')(22θρθρ+,从0θ到θ的曲线的弧长是s=⎰θθ0)(')(22θρθρ+d θ 。

§4 空间曲线1.求圆柱螺线x =a t cos ,y =a t sin ,z= b t 在任意点的密切平面的方程。

解 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b },''r={-a t cos ,- a t sin ,0 } 所以曲线在任意点的密切平面的方程为sin cos cos sin sin cos ta ta b t a t a bt z t a y t a x ------ = 0 ,即(b t sin )x-(b t cos )y+a z-ab t=0 .2. 求曲线r = { t t sin ,t t cos ,t t e } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。

解 原点对应t=0 , 'r(0)={ t sin +t t cos ,t cos - t t sin ,t e +t t e 0}=t ={0,1,1},=)0(''r{2t cos + t t cos ,t cos - t t sin ,2t e +t t e 0}=t ={2,0,2} ,所以切线方程是110zy x == ,法面方程是 y + z = 0 ; 密切平面方程是202110zy x=0 ,即x+y-z=0 ,主法线的方程是⎩⎨⎧=+=-+00z y z y x 即112zy x =-= ;从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式111-==zy x 。

3.证明圆柱螺线x =a t cos ,y =a t sin ,z= b t 的主法线和z 轴垂直相交。

证 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b }, ''r={-a t cos ,- a t sin ,0 } ,由'r⊥''r知''r为主法线的方向向量,而''r 0=⋅k所以主法线与z 轴垂直;主法线方程是sin sin cos cos btz t t a y t t a x -=-=- 与z 轴有公共点(o,o,bt)。

故圆柱螺线的主法线和z 轴垂直相交。

4.在曲线x = cos αcost ,y = cos αsint , z = tsin α的副法线的正向取单位长,求其端点组成的新曲线的密切平面。

解 'r = {-cos αsint, cos αcost, sin α } , ''r={ -cos αcost,- cos αsint , 0 }=⨯⨯=|'''|'''r r r rγ{sin αsint ,- sin αcost , cos α }新曲线的方程为r ={ cos αcost + sin αsint ,cos αsint- sin αcost ,tsin α + cos α }对于新曲线'r={-cos αsint+ sin αcost ,cos αcost+ sin αsint ,sin α }={sin(α-t),cos(α-t), sin α} , ''r={ -cos(α-t), sin(α-t),0} ,其密切平面的方程是00)sin()cos(sin )cos()sin(sin sin cos cos cos =--------t a t a a t a t a a t z t a y t a x即 sin α sin(t-α) x –sin α cos(t-α) y + z – tsin α – cos α = 0 .5.证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。

证 方法一:⇒设一曲线为一球面曲线,取球心为坐标原点,则曲线的向径)(t r具有固定长,所以r ·'r= 0,即曲线每一点的切线与其向径垂直,因此曲线在每一点的法平面通过这点的向径,也就通过其始点球心。

⇐ 若一曲线的所有法平面通过一定点,以此定点为坐标原点建立坐标系,则r ·'r = 0,)(t r具有固定长,对应的曲线是球面曲线。

方法二:()r r t =是球面曲线⇔存在定点0r (是球面中心的径矢)和常数R (是球面的半径)使220()r r R -=⇔02()0r r r '-⋅= ,即0()0r r r '-⋅= (﹡)而过曲线()r r t =上任一点的法平面方程为()0r r ρ'-⋅= 。

相关主题