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《数学建模》期末考试A卷
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一、判断题（每题3分，共15分）
1、模型具有可转移性。

----------------------- （√）
2、一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的模型-----（√）
3、一个理想的数学模型需满足模型的适用性和模型的可靠性。

---------------------------------------- （√）
4、力学中把质量、长度、时间的量纲作为基本量纲。

----（√）
5、数学模型是原型的复制品。

----------------- （×）
二、不定项选择题（每题3分，共15分）
1、下列说法正确的有AC 。

A、评价模型优劣的唯一标准是实践检验。

B、模型误差是可以避免的。

C、生态模型属于按模型的应用领域分的模型。

D、白箱模型意味着人们对原型的内在机理了解不清楚。

2、建模能力包括ABCD 。

A、理解实际问题的能力
B、抽象分析问题的能力
C、运用工具知识的能力
D、试验调试的能力
3、按照模型的应用领域分的模型有AE 。

A、传染病模型
B、代数模型
C、几何模型
D、微分模型
E、生态模型
4、对黑箱系统一般采用的建模方法是 C 。

A、机理分析法
B、几何法
C、系统辩识法
D、代数法
5、一个理想的数学模型需满足AB 。

A、模型的适用性
B、模型的可靠性
C、模型的复杂性
D、模型的美观性三、用框图说明数学建模的过程。

（10分）
答：概括的说，数学模型就是一个迭代的过程，其一般建模
步骤用框架图表示如下：
四、建模题（每题15分，共60分）
1、四条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上，4条腿能否同
时着地？
解：4条腿能同时着地
（一）模型假设
对椅子和地面都要作一些必要的假设：
对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定
的。

因此对这个问题我们假设:
(1)地面为连续曲面
(2)长方形桌的四条腿长度相同
(3)相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的
(4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。

那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。

（二）模型建立
现在，我们来证明:如果上述假设条件成立，那么答案是肯
定的。

以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌
的四条腿分别在A、B、C、D处，A、B、C、D的初始位置在与x
轴平行，再假设有一条在x轴上的线ab,则ab也与A、B，C、D
平行。

当方桌绕中心0旋转时，对角线ab与x轴的夹角记为θ。

容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不
确定的。

为消除这一不确定性，令f(θ) 为A、B离地距离之和，
g(θ)为C、D离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。

由假设(1)，
f(θ), g(θ)均为0的连续函数叹由假设(3),三条腿总能同时着地，
故f(θ) g(θ)=0必成立()。

f(θ), g(θ)均为0的连续函数。

又由假设(3),三条腿总能同时
着地，故f(θ) g(θ)=0必成立()。

不妨设f(θ)=0, g(θ)>0 (若g(0)也为0,则初始时刻已四条腿
着地，不必再旋转)，于是问题归结为:已知f(0), g(θ)均为θ的连
续函数，f(0)=0, g(0)> 0且对任意θ有f(θ) g(θ)=0,求证存在某一
0。

，使f(θ) g(θ)=0。

（三）模型求解
证明:当日=π时，AB与CD互换位置，故f(π)>0, g(π)= 0 o
作h(θ)= f(θ)-g(θ)，显然，h(θ)也是θ的连续函数，h(θ)= f(θ)-
g(θ)<0而h(π)= f(π)- 8(r)> 0，由连续函数的取零值定理，存在θ，
0<θ<π，使得h(θ)=0，即h(θ)= g(θ)。

又由于f(θ) g(θ)=0,故
必有f(θ)= g(θ)=0,证毕。

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