学习好资料 欢迎下载 勾股定理练习题
1、如图，已知：在 ABC 中， ACB 90 ，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说
明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等．
2、直角三角形的面积为 S ，斜边上的中线长为 d ，则这个三角形周长为（
）
（A ） d 2 S 2d （ B） d 2 S d
（C） 2 d 2 S 2d （ D） 2 d 2 S d
、如图所示，在 Rt ABC 中, BAC 90 , AC AB, DAE 45 且
BD 3
, 3 ,
CE 4,求 DE 的长 .
4、如图在 Rt△ABC 中 , C 90 , AC 4, BC 3
，在 Rt△ ABC 的外部拼接一个合适的直角三
角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：
要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法， 在图中标明拼接的直角三角形 的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用 0.5mn 的黑色签字笔画出正确的图形）
5．已知：如图，△ ABC 中，∠ C = 90°，点 O 为△ ABC 的三条角平分线的交点， OD⊥ BC， OE⊥AC ， OF⊥AB ，点 D、 E、 F 分别是垂足，且 BC = 8cm，CA = 6cm，则点 O 到三边 AB ，
A 学习好资料 欢迎下载 AC 和 BC 的距离分别等于 cm
C E D
A O B F
第5题图
6 ．如图，在△ ABC 中， AB=AC ， P 为 BC 上任意一点，请说明： AB 2－AP2 × 。 =PB PC
7．在一棵树的 10 米高 B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处；另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米 ?
8．长为 4 m 的梯子搭在墙上与地面成 45°角，作业时调整为 60°角 (如图所示 )，则梯子的顶端沿墙面升高了 ______m．
9．已知：如图，△ ABC 中，∠ C＝ 90°， D 为 AB 的中点， E、F 分别在 AC 、 BC 上，且 DE ⊥DF．求证： AE 2＋ BF2 ＝EF2．
1 CB
10．已知：如图，在正方形 ABCD 中， F 为 DC 的中点， E 为 CB 的四等分点且 CE＝ 4 ， 求证： AF ⊥FE． 学习好资料 欢迎下载 11．已知△ ABC 中，a2＋ b2＋c2＝10a＋ 24b＋26c－338，试判定△ ABC 的形状，并说明你的理由．
12．已知 a、b、 c 是△ ABC 的三边，且 a2c2－ b2 c2 ＝a4－b4，试判断三角形的形状．
13．如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm，高为 6cm．如果用一根细线从点 A 开始经过四个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要多长 ?如果从点 A 开始经过四个侧面缠绕 n 圈到达点 B，那么所用细线最短需要多长 ?
14. 三角形的三边长为 ( a b) 2 c 2 2ab ,则这个三角形是 ( ) （A ） 等边三角形 （ B） 钝角三角形
（C） 直角三角形 （D） 锐角三角形 . . 勾股定理练习题答案
1、如图，已知：在 ABC 中， ACB 90 ，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说
明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等． 学习好资料 欢迎下载 2、直角三角形的面积为 S ，斜边上的中线长为 d ，则这个三角形周长为（
）
（A ） d 2 S 2d （ B） d 2 S d
（C） 2 d 2 S 2d （ D） 2 d 2 S d
2d , S 1
解 :设两直角边分别为 a, b ,斜边为 c ,则 c 2 ab . 由勾股定理 ,得 a2 b2 c2 .
所以 a 2
a2 2ab b2 c2 4d 2 4S . b 4S
所以 a b 2 d 2 S .所以 a b c 2 d 2 S 2d
.故选（ C）
、如图所示，在 Rt ABC 中, BAC 90 ,AC AB, DAE 45 ,且 BD 3 , 3
CE 4,求 DE 的长 .
解 :如右图：因为 ABC 为等腰直角三角形 ,所以 ABD C 45
.
所以把 AEC 绕点 A 旋转到 AFB ,则 AFB AEC
.
所以 BF EC 4, AF AE , ABF C 45 .连结 DF . 所以 DBF 为直角三角形 .
由勾股定理 ,得 DF 2 BF 2 BD 2 42 32 52 .所以
DF 5 .
因为 DAE
45 ,所以 DAF DAB
EAC 45
.
所以 ADE ADF SAS . 所以 DE DF 5
.
、如图在 Rt △ ABC 中 , C 90 ,AC 4, BC 3 ，在 Rt△ ABC 的外部拼接一个合适的直角三 4 学习好资料 欢迎下载 角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：
要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法， 在图中标明拼接的直角三角形 的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用 0.5mn 的黑色签字笔画出正确的图形）
解：要在 Rt△ABC 的外部接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关 键是腰与底边的确定。 要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长， 这需要用到勾股定理知识。
下图中的四种拼接方法供参考。
10 5．已知：如图，△ ABC 中，∠ C = 90°，点 O 为△ ABC 的三条角平分线的交点， OD⊥ BC，
OE⊥AC ， OF⊥AB ，点 D、 E、 F 分别是垂足，且 BC = 8cm，CA = 6cm，则点 O 到三边 AB ， AC 和 BC 的距离分别等于 cm
A
C
E D
A O B F B C
第5题图 P ．如图，在△ 中， ， 为 上任意一点，请说明： 第 6题图 × 。 6 ABC AB=AC P BC AB 2－AP2 =PB PC
作 AD ⊥ BC 交 BC 于 D ，AB2=BD2+AD2（ 1） AP2=PD2+AD2 （2 ） （ 1 ） -（ 2）得： AB2-AP2=BD2 -PD2， ∴ AB2-AP2=（ BD+PD ）（ BD-PD ），∵ AB=AC ，∴ D 是 BC 中点， ∴ BD+PD=PC ， BD-PD=PB ，∴ AB2-AP2=PB·PC 7．在一棵树的 10 米高 B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处；另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米 ? 学习好资料 欢迎下载
8．长为 4 m 的梯子搭在墙上与地面成 45°角，作业时调整为 60°角 (如图所示 )，则梯子的顶端沿墙面升高了 ______m．
9．已知：如图，△ ABC 中，∠ C＝ 90°， D 为 AB 的中点， E、F 分别在 AC 、 BC 上，且 DE ⊥DF．求证： AE 2＋ BF2 ＝EF2．
证明：过点 A 作 AM ∥ BC，交 FD 延长线于点 M ，
连接 EM ．∵AM ∥ BC，∴∠MAE= ∠ACB=90 °，∠MAD= ∠B．
∵AD=BD ，∠ADM= ∠BDF ，∴△ADM ≌△BDF ．∴AM=BF ， MD=DF ． 又∵DE⊥ DF ，∴EF=EM ．∴AE2 +BF 2=AE 2 +AM 2=EM 2=EF 2． 1 CB
10．已知：如图，在正方形 ABCD 中， F 为 DC 的中点， E 为 CB 的四等分点且 CE＝ 4 ， 求证： AF ⊥FE．
解：连结 AE ，设正方形的边长为 4a ，计算得出 AF， EF， AE 的长，由 AF 2+EF 2 =AE 2 得 AF⊥ FE
11．已知△ ABC 中，a2＋ b2＋c2＝10a＋ 24b＋26c－338，试判定△ ABC 的形状，并说明你的理 学习好资料 欢迎下载 由．
解：原式变为（ a-5 ）2 + （ b-12 ） 2 + （ c-13 ） 2=0 所以 a=5 ， b=12 ， c=13
所以 a 2+b 2=c 2 所以△ABC 为直角三角形。 12．已知 a、b、 c 是△ ABC 的三边，且 a2c2－ b2 c2 ＝a4－b4，试判断三角形的形状．
13．如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm，高为 6cm．如果用一根细线从点 A 开始经过四个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要多长 ?如果从点 A 开始经过四个侧面缠绕 n 圈到达点 B，那么所用细线最短需要多长 ?
将长方体展开，连接 A、 B′， ∵ AA′=1+3+1+3=8（ cm ）， A′B′=6cm ，
根据两点之间线段最短， AB′= =10cm ． 如果从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕 n 圈到达点 B， 相当于直角三角形的两条直角边分别是 8n 和 6
14. 三角形的三边长为 ( a b) 2 c 2 2ab ,则这个三角形是 ( ) （A ） 等边三角形 （ B） 钝角三角形
（C） 直角三角形 （D） 锐角三角形 . .