椭圆及其标准方程【学习目标】 1． 知识与技能目标：掌握椭圆的定义和标准方程；明确焦点、焦距的概念；理解椭圆标准方程的推导． 2． 过程与方法目标： 通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程；体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力．3． 情感态度与价值观目标：通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神．【要点梳理】 要点一：椭圆的定义平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的集合叫椭圆．这两个定点1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距．要点诠释：（1）1F 、2F 是椭圆上不同的两个顶点；（2）若P 是椭圆上任意一点，则12PF PF +=常数； （3）当 常数12F F > 时，轨迹为椭圆； 当 常数=12F F ，则轨迹为线段12F F ； 当 常数12F F <，则轨迹不存在． 要点二：椭圆的标准方程 1． 椭圆的标准方程要点诠释：1． 这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2． 在椭圆的两种标准方程中，都有0a b >>和222c a b =-；3． 椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为(,0)c ，(,0)c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,)c ，(0,)c -；4． 在两种标准方程中，∵a 2＞b 2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 2． 标准方程的推导：由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简．以焦点在x 轴上的方程22221x y a b+=(0)a b >>为例．(1)建系建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．以两个定点1F ，2F 所在直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)．（2）设点设|F 1F 2|=2c(c ＞0)，M(x ，y)为椭圆上任意一点，则有F 1(-1，0)，F 2(c ，0)．(2)列式由于点(,)M x y 为椭圆上任意一点，则由定义不难得出椭圆集合为： {}122P M MF MF a =+= （称此式为几何条件）即2a （实现集合条件代数化） ① (4)化简为化简①这个方程，将等号左边的一个根式移到右边，得2a =将这个方程两边平方，得()222 44x c y a ++=－22()x c y +-+，整理得2a cx -=上式两边再平方，得4222222222222a a cx c x a x a cx a c a y -+=-++，整理得22222222()()a c x a y a a c -+=- ②方程②结构较复杂，不便记忆，继续化简． 由椭圆的定义可知22a c >，即a c >，所以220a c ->， 将方程②两边同除以222()a a c -，得222221x y a a c +=-． 令222a c b -=，那么所得的椭圆方程可化为：22221x y a b +=，(0)a b >>．因此，方程22221(0)x y a b a b+=>>即为焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．要点三：求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下两种方法： （1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a ，b ，即：“先定型，再定量”．②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：221(,0)mx ny m n m n +=>≠且．（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”．利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题．【典型例题】 类型一：椭圆的定义例1． 若一个动点P (x ，y )到两个定点A （－1，0）、A ＇（1，0）的距离的和为定值m （m >0），试求P 点的轨迹方程．【解析】∵|PA|+|PA ＇|=m ，|AA ＇|=2，|PA|+|PA ＇|≥|AA ＇|， （1）当0<m<2时，P 点的轨迹不存在； （2）当m=2时，P 点的轨迹就是线段AA ＇ ∴其方程为y=0（－1≤x≤1）；（3）当m ＞2时，由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以A 、A ＇为焦点的椭圆 ∵2c=2，2a=m ，∴2m a =，1c =，222214m b a c =-=-∴点P 的轨迹方程为22221144x y m m-=-．【总结升华】平面内一动点到两定点的距离和等于常数时，动点的轨迹不一定是椭圆．．当动点到两点的距离和小于两定点之间的距离时，动点的轨迹不存在；当动点到两点的距离和等于两定点之间的距离时，动点的轨迹是线段；当动点到两定点的距离和（常数）大于两定点之间的距离时，动点的轨迹是椭圆．举一反三：【变式1】已知圆22:(2)36A x y ++=，圆A 内一定点()20B ，，圆P 过B 点且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．【答案】设圆P 的半径为r ，则|PB|=r ， ∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为6，∴两圆的圆心距|PA|=6－r ，即|PA|+|PB|=6（大于|AB|）． ∴点P 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆． ∴2a=6，2c=|AB|=4．∴a=3，c=2，b 2=a 2－c 2=32－22=5．∴点P 的轨迹方程为22195x y +=【高清课堂：椭圆的方程356766 例2】【变式2】设动圆P 与圆22:(3)4M x y -+=外切，与22:(3)100N x y ++=内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．【答案】2213627x y +=类型二：椭圆的标准方程例2． 椭圆22110036x y +=的焦距是 ，焦点坐标是 ；若AB 为过椭圆的一个焦点F 1的一条弦，F 2为另一个焦点，则2ABF ∆的周长是 ．【答案】1216(8,0),(8,0)40F F -【解析】由椭圆方程知22100,36a b ==∴22264c a b =-=， ∴8,216c c ==．∴两焦点为12(8,0),(8,0)F F - 又因为三角形的周长为为22||||||AB AF BF ++=22440a a a +==【总结升华】有椭圆的标准方程可以读出有关信息，如a ，b 的值和焦点的位置，进而可以解决有关问题，因此我们应该准确把握椭圆的标准方程，并从中读出有关信息．举一反三：【变式1】椭圆221x y m n+=--(m <n <0)的焦点坐标是________．【答案】，(【变式2】方程2212516x y m m+=-+表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________．【答案】92<m <25【解析】因为焦点在y 轴上，所以16＋m >25－m ，即m >92，又因为b 2＝25－m >0，故m <25，所以m 的取值范围为9252m <<．【变式3】已知椭圆的标准方程是222125x y a +=(a >5)，它的两焦点分别是F 1，F 2，且|F 1F 2|=8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为________．【答案】【解析】因为F 1F 2＝8，即即所以2c ＝8，即c ＝4，所以a 2＝25＋16＝41，即a =，所以△ABF 2的周长为4a ＝例3． 当39k <<时，指出方程22193x y k k +=--所表示的曲线．【解析】∵39k <<∴90-3>0k k ->且（1） 若9-k>k-3，即36k <<时，则方程表示焦点在x 轴上的椭圆； （2） 若9-k=k-3，即k=6时，方程表示圆221x y +=；（3） 若9-k<k-3， 即69k <<时，则方程表示焦点在y 轴上的椭圆．【总结升华】一方面确定椭圆标准方程需要知道定形条和定位条件，反过来，给出了椭圆的标准方程后，也可以从中读出相关信息．举一反三：【变式】如果方程222(0)x ky k+=>表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是．【答案】01k<<类型三：求椭圆标准方程【高清课堂：椭圆的方程356766 例1】例4．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；（2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点35(,)22-．【解析】（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为22221(0)x ya ba b+=>>．∵2a=10，2c=8，∴a=5，c=4 ∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求椭圆的标准方程为221 259x y+=；（2）∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为22221(0) y xa ba b+=>>由椭圆的定义知，2a==，∴a=又c=2，∴b2=a2－c2=10－4=6∴所求椭圆的标准方程为221 106y x+=【总结升华】求椭圆的标准方程就是求a2及b2（a＞b＞0），并且判断焦点所在的坐标轴．当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为22221x ya b+=；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为22221y xa b+=．举一反三：【变式1】已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0，1)，P是椭圆上一点，并且|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，则椭圆的标准方程是________．【答案】221 43y x+=【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆22194x y+=有相同的焦点，并且经过点（3，－2），求此椭圆的方程．【答案】221 1510x y+=．例5．求经过点P（－3，0），Q（0，2）的椭圆的标准方程．【解析】设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）．∵椭圆经过点P（－3，0）和Q（0，2），∴91,4 1.mn=⎧⎨=⎩∴1,91.4mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴所求椭圆方程为221 94x y+=．【总结升华】在求椭圆的标准方程时必须先判断焦点的位置，然后再设出方程．在无法判断焦点的位置时可设mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），而不规定m与n的大小关系，从而避免讨论焦点的位置．举一反三：【变式1】过点(－3，2)且与椭圆22194x y+=有相同焦点的椭圆的标准方程是________．【答案】221 1510x y+=【变式2】已知椭圆的中心在原点，经过点P（3，0）且a=3b，求椭圆的标准方程．【答案】2219xy+=或221819y x+=．类型四：椭圆的综合问题例6．设F1、F2是椭圆22194x y+=的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△PF1F2的面积等于________．【答案】4【解析】由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c=PF1＋PF2＝2a＝6．又PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，由22＋42＝2可知△PF 1F 2是直角三角形， 故△PF 1F 2的面积为12PF 1·PF 2＝12×2×4＝4．【总结升华】解决椭圆焦点三角形有关问题的关键在于充分利用椭圆的定义以及余弦定理、正弦定理．举一反三：【变式1】已知P 为椭圆221169x y +=上的一点，12,F F 是两个焦点，1260O F PF ∠=，求12F PF ∆的面积．【答案】【变式2】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，．过点1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么椭圆C 的方程为______．【答案】221168x y += 类型五：坐标法的应用例7．△ABC 的两个顶点坐标分别是B （0，6）和C （0，－6），另两边AB 、AC 的斜率的乘积是49-，求顶点A 的轨迹方程．【解析】设顶点A 的坐标为（x ，y ） 由题意得664(0)9y y x x x -+⋅=-≠， ∴顶点A 的轨迹方程为221(0)8136x y x +=≠．【总结升华】求出曲线方程后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件．举一反三：【变式1】已知A 、B 两点的坐标分别为（0，－5）和（0，5），直线MA 与MB 的斜率之积为49-，则M 的轨迹方程是（ ）A ．221100259x y += B ．221(5)100259x y x +=≠±C ．221225254x y += D ．221(0)225254x y x +=≠ 【答案】D【变式2】△ABC 两顶点的坐标分别是B （6，0）和C （－6，0），另两边AB 、AC 的斜率的积是49-，则顶点A 的轨迹方程是（ ）A ．221(6)8136x y y +=≠±B ．221(6)8116y x y +=≠±C ．221(6)1636x y x +=≠±D ．221(6)3616x y x +=≠±【答案】D【高清课堂：椭圆的方程356766 例3】【变式3】如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，求线段PP ′中点M 的轨迹．【答案】设点M 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y则00,2y x x y ==因为00(,)P x y 在圆224x y +=上，所以22004x y += 将00,2x x y y ==代入上方程得2244x y +=即2214x y +=所以点M 的轨迹是一个椭圆【巩固练习】 一、选择题1．满足条件13,5a c ==的椭圆的标准方程为（ ）A ．221169144x y +=B ．221169144y x +=C ．222211169144169144x y y x +=+=或 D ．不确定2．如果方程22216x y a a +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a > B ．2a <-C ． 3a >或2a <-D ．3a >或62a -<<-3．直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=总有公共点，则m 的取值范围是（ ） A ．1m > B ．1m ≥或01m <<C ． 1m ≥且5m ≠D ．05m <<且1m ≠4．设P 是椭圆2212516x y +=上的点，若12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ ） A ．4 B ．5C ．8D ．105．0m n >>是方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6． ．若椭圆的2221kx ky +=的一个焦点为（0，-4），则k 的值为（ ）Ａ． 132 B ．18C ．8D ．32 二、填空题7．过点(－3，2)且与椭圆22194x y +=有相同焦点的椭圆的标准方程是________． 8．若△ABC 的两个顶点坐标A (－4，0)，B (4，0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为________．9．已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上的一点，Q 是|PF 1|的中点，若|OQ|＝1，则|PF 1|＝________．10．设F 1、F 2是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△PF 1F 2的面积等于________．11．椭圆221x y m n+=--(m <n <0)的焦点坐标是________． 三、解答题12．ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．13．已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝100及点A (－3，0)，P 是圆C 上任意一点，线段P A 的垂直平分线l 与PC 相交于点Q ，求点Q 的轨迹方程．14． 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．15．已知F 1、F 2是椭圆22110064x y +=的两个焦点，P 是椭圆上任意一点． (1)若∠F 1PF 2＝3π，求△F 1PF 2的面积； (2)求12||||PF PF ⋅的最大值．【答案与解析】1．【答案】C【解析】∵13,5,a c == ∴2222169,144,a b a c ==-=∴当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程为221169144x y +=； 当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程为221169144y x +=，故选C ． 2．【答案】D【解析】焦点在x 轴上，则标准方程中2x 项的分母应大于2y 项的分母，即26,a a >+解得选D ．3．【答案】C【解析】直线过定点（0，1），只需该点落在椭圆内或椭圆上．4．【答案】Ｄ【解析】由椭圆定义知12||||210PF PF a +==，所以选Ｄ5．【答案】Ｃ【解析】将方程221mx ny +=转化为22111x y m n +=，根据椭圆的定义，要使焦点在ｙ轴上，必须满足101011m nm n ⎧>⎪⎪⎪>⎨⎪⎪<⎪⎩解得0m n >>；故选Ｃ６．【答案】A ； 【解析】方程变形为221(0)112y x k k k+=>，∴11116,232k k k -== 7．【答案】2211510x y += 【解析】因为c 2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为222215x y a a +=-． 由点(－3，2)在椭圆上知229415a a +=-，所以a 2＝15．所以所求椭圆的标准方程为2211510x y +=． 8．【答案】()2210259x y y +=≠ 【解析】顶点C 到两个定点A ，B 的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C 的轨迹为椭圆，并且2a ＝10，所以a ＝5，2c ＝8，所以c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝9，故顶点C 的轨迹方程为221259x y +=．又A 、B 、C 三点构成三角形，所以y ≠0．所以顶点C 的轨迹方程为()2210259x y y +=≠．9．【答案】6【解析】如图所示，连结PF 2，由于Q 是PF 1的中点，所以OQ 是△PF 1F 2的中位线，所以PF 2＝2OQ ＝2，根据椭圆的定义知，PF 1＋PF 2＝2a ＝8，所以PF 1＝6．10．【答案】4【解析】由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5， ∴PF 1＋PF 2＝2a ＝6．又PF 1∶PF 2＝2∶1，∴PF 1＝4，PF 2＝2，由22＋42＝(25)2可知△PF 1F 2是直角三角形，故△PF 1F 2的面积为12PF 1·PF 2＝12×2×4＝4．11．【答案】(n m -，0)，(－n m -，0)【解析】因为m <n <0，所以－m >－n >0，故焦点在x 轴上，所以c ＝()m n ---＝n m -， 故焦点坐标为(n m -，0)，(－n m -，0)．12．【解析】（1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ① 由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．13．【解析】∵l 是线段P A 的垂直平分线，∴AQ ＝PQ ．∴AQ ＋CQ ＝PQ ＋CQ ＝CP ＝10，且10>6．∴点Q 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆，且2a ＝10，c ＝3，即a ＝5，b ＝4．∴点Q 的轨迹方程为2212516x y +=． 14．【解析】设两焦点为1F 、2F ，且3541=PF ，3522=PF ． 从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ． 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PF Rt ∆中，21sin 1221==∠PF PF F PF ， 可求出621π=∠F PF ，3526cos 21=⋅=πPF c ，从而310222=-=c a b ． ∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x ． 15． 【解析】。