对数与对数运算知识点及例题解析
1、对数的定义
①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，
(0,1)x a N a a =>≠且x a N log a x N =a 叫做真数．
N ②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：．
log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>2、以10为底的对数叫做常用对数,log 10N 记作lg N .
3、以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数，logeN 记作ln N
4、对数的性质:
(1)(2)对数恒等式①a log aN ＝N ；②log a a N ＝N (a >0，且a ≠1)．
log 10,log 1a a a ==5、对数的运算性质 如果，那么
0,1,0,0a a M N >≠>>①加法： ②减法：log log log ()a a a M N MN +=log log log a a a
M M N N
-=③数乘： ⑤log a m M n ＝log a M .
log log ()n
a a n M M n R =∈n
m ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N
N b b a
=
>≠且特殊情形：log a b ＝，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .
1
log ba 类型一、指数式与对数式互化及其应用
例1、将下列指数式与对数式互化：
（1）；(2)；(3)；(4)
；(5)
；(6)
.
思路点拨：运用对数的定义进行互化.
解：(1)；(2)
；(3)；(4)；(5)
；(6)
.
例2、求下列各式中x 的值：
(1) (2) (3)lg100=x (4)
思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.
解：(1)
；
(2)
；
(3)10x =100=102，于是x=2； (4)
由
例3、若x ＝log 43，则(2x －2－x )2等于( )
A. B. C. D.94541034
3
解由x ＝log 43，得4x ＝3，即2x ＝，2－x ＝，所以(2x －2－x )2＝2＝.
33
3
(23
3
)
4
3类型二、利用对数恒等式化简求值
例4、求值：
解：
.
总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数
例5、求的值(a ，b ，c∈R +，且不等于1，N>0)思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.
解：
.
类型三、积、商、幂的对数
例6、已知lg2=a ，lg3=b ，用a 、b 表示下列各式.
(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15
解：(1)原式=lg32=2lg3=2b （2）原式=lg26=6lg2=6a （3
）原式=lg2+lg3=a+b （4）原式=lg22+lg3=2a+b （5）原式=1-lg2=1-a
（
6）原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a
例7、(1) (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2
解：
(1)
(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1
(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2
=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.
例8
、已知3a =5b =c ，
，求c 的值.
解：由3a =c 得：
同理可得
.
例9、设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.
证明：
.
例10、已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：.
证明：∵ a2+b2=7ab，∴ a2+2ab+b2=9ab，即 (a+b)2=9ab，∴ lg(a+b)2=lg(9ab)，　∵ a>0，b>0，∴ 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb
即
.
类型四、换底公式的运用
例11、(1)已知log x y=a，用a 表示；
(2)已知log a x=m， log b x=n， log c x=p，求log abc x.
解：(1)原式=；
(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.
方法一：a m=x， b n=x， c p=x
，
；
方法二：.
例12、求值：(1)；(2)；(3).解：
(1)
（2
）；
（3)
法一：
法二：.
总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.
类型五、对数运算法则的应用
例13、求值
(1) log89·log2732
(2)
(3)
(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52) 解：(1)原式=.
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)
例14、已知：log23=a， log37=b，求：log4256=?
解：∵∴，。