常见分布的期望与方差的计算
这些分布的期望和方差要求同学们熟记，以下是计算过程，供课下看。
1. 0－1分布
已知随机变量 X 的分布律为
X1
0
p
p 1− p
则有 E( X ) = 1 ⋅ p + 0 ⋅ q = p, D( X ) = E( X 2 ) − [E( X )]2 = 12 ⋅ p + 02 ⋅ (1 − p) − p2 = pq.
− ( x− μ)2
e 2σ2 d x
−∞ 2πσ
∫ = 1
+∞
−t2
(μ + σt)e 2 dt
2π −∞
∫ ∫ = μ 1
+∞ −t2
e 2 dt +
σ
+∞ −t2
te 2 d t
2π −∞
2π −∞
= μ.
∫ D( X ) =
+∞
(x
−
μ)2
f
(x)d
x
−∞
∫=
+∞
(x
−
μ)2
⋅
1
−
e
(
x− μ)2 2σ2
= np(1 − p)
3. 泊松分布
设 X ~ π(λ ), 且分布律为
P{ X = k} = λk e−λ , k = 0,1,2,", λ > 0.
k!
∑ ∑ 则有 E( X ) = ∞ k ⋅ λk e−λ = e−λ ∞ λk−1 ⋅ λ
k=0 k!
k=1 (k − 1)!
= λe−λ ⋅ eλ = λ
(法二) X 的分布律为
P{ X = k} = ⎜⎛ n ⎞⎟ pk (1 − p)n−k ,(k = 0,1,2,", n),
⎝k⎠
∑ ∑ 则有 E( X ) = n k ⋅ P{ X = k} = n k⎜⎛ n ⎞⎟ pk (1 − p)n−k
k=0
k=0 ⎝ k ⎠
∑n
=
kn! pk (1 − p)n−k
k=0 k!(n − k )!
∑n
=
np(n − 1)!
pk−1(1 − p)(n−1)−(k−1)
k=1 (k − 1)![(n − 1) − (k − 1)]!
∑n
= np
(n − 1)!
pk−1(1 − p)(n−1)−(k−1)
k=1 (k − 1)![(n − 1) − (k − 1)]!
= np[ p + (1 − p)]n−1 = np
E( X 2 ) = E[ X ( X − 1) + X ] = E[ X ( X − 1)] + E( X )
∑ = n k(k − 1)⎜⎛ k ⎞⎟ pk (1 − p)n−k + np
k=0
⎝n⎠
∑ = n k(k − 1)n!pk (1 − p)n−k + np
0< p<1
λ>0
a<b
θ>0 μ,σ > 0
数学期望 方差
p
p(1 − p)
np
np(1 − p)
λ
λ
(a + b) 2 (b − a)2 12
θ
θ2
μ
σ2
f (x) =
1
e , −
(
x− μ)2 2σ2
σ > 0,
− ∞ < x < +∞ .
2πσ
则有
∫+∞
E( X ) = xf ( x)d x −∞
∫+∞
= x⋅
1
−
e
( x− μ)2 2σ2
d
x.
−∞ 2πσ
令 x − μ = t ⇒ x = μ + σt, σ
∫ 所以
+∞
E(X) = x ⋅
1
−∞
0θ
∫ = θ = − xe− x θ +∞ + +∞ e− x θ d x
0பைடு நூலகம்
0
∫ D( X ) = E( X 2 ) − [E( X )]2 = +∞ x2 ⋅ 1 e−x θ d x − θ2
0
θ
= 2θ 2 − θ 2 = θ 2
6. 正态分布
设 X ~ N ( μ,σ2 ), 其概率密度为
∫=
bx2
a
b
1 −
a
d
x
−
⎜⎛ ⎝
a
+ 2
b
⎞⎟2 ⎠
=
(b
− a)2 12
5. 指数分布
设随机变量 X 服从指数分布 , 其概率密度为
f
(
x)
=
⎪⎧ 1 ⎨θ
e− x
θ
,
x > 0,
其中 θ > 0.
⎪⎩0,
x ≤ 0.
则有
∫ ∫ E( X ) =
+∞
xf ( x)d x =
+∞ x ⋅ 1 e−x θ d x
d
x.
−∞
2πσ
令 x − μ = t,得
σ
∫ D( X ) = σ2
+∞
t
e2
−t2 2
d
t
2π −∞
∫ =
σ2 2π
⎜⎛ ⎜
−
−t2
te 2
+∞
+
+∞ −∞
−t2
e2
d
t
⎟⎞ ⎟
⎝
−∞
⎠
= 0 + σ2 2π = σ2.
2π
分布 两点分布 二项分布
泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布
参数
0< p<1 n ≥ 1,
E( X 2 ) = E[ X ( X − 1) + X ]
= E[ X ( X − 1)] + E( X )
∑ = +∞ k(k − 1) ⋅ λk e−λ + λ
k=0
k!
∑+∞
= λ2e−λ ⋅
λk − 2
+ λ = λ2e−λeλ + λ = λ2 + λ .
k=2 (k − 2)!
所以 D( X ) = E( X 2 ) − [E( X )]2= λ2 + λ − λ2 = λ
2. 二项分布
设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布,
(法一) 设Xi为第i 次试验中事件 A 发生的次数，i =1,2,",n
则
n
X = ∑ Xi
i =1
显然，Xi 相互独立均服从参数为 p 的0－1分布，
n
所以 E( X ) = ∑ E( X i ) = np. i =1
n
D( X ) = ∑ D( X i ) = np(1 − p). i =1
泊松分布的期望和方差都等于参数 λ .
4. 均匀分布
设 X ~ U (a,b), 其概率密度为
f
(
x)
=
⎪⎧ ⎨b
1 −
a
,
⎪⎩0,
a < x < b, 其他.
∫ ∫ 则有
E(X) =
∞
xf ( x)d x =
−∞
b1 ab−a
xd x
=
1 (a + b). 2
D( X ) = E( X 2 ) − [E( X )]2
k=0 k!(n − k )!
∑n
= n(n − 1) p2
(n − 2)!
pk−2 (1 − p)(n−2)−(k−2) + np
k=2 (n − k)!(k − 2)!
= n(n − 1) p2[ p + (1 − p)]n−2 + np = (n2 − n) p2 + np.
D( X ) = E( X 2 ) − [E( X )]2 = (n2 − n) p2 + np − (np)2