将式 ( 8) 代入式 ( 12) 得
0 0
Rr L L r m iB iA
= -
+
3 -
+
2ωr 3 -
ωrm为转子机械角速度 ; J 为转动惯量 ; 下标 r 表示 ・ 转子 , 下标 g 表示运动项 ; 下标 A , B , C 表示在定子 三相静止轴系 ABC 下 , 下标 a , b , c 表示在转子三 相旋转轴系 abc 下 .
( 13)
( 4)
由式 ( 3) 和式 ( 4) 可得定子和转子磁链间的关系式
=
iA rA Lm ψ +σ Ls Lr ψ iB rB Lm . L r Ls iA iB
2
( 5)
式中 σ = 1 -
ABC 轴系下定子电压方程 uA uB
= Rs
+p
ψ A ψ B
iA iB irA irB
( 6)
将式 ( 3) 代入式 ( 6) 得
Fig. 1 Sub2module block diagram of solving iA , iB
根据式 (13) , 将 iA , iB ,ωr 作为输入量 , 可求解输 ψr A , p ψr B , 子模块框图如图 2 所示 . 出量 ψr A ,ψr B , p 根据式 ( 18 ) , 将 iA , iB , ψr A , ψr B 作为输入量 , 可 求解输出量 Te , 子模块框图见图 3 . 根据式 ( 19 ) , 将 Te , Tl 作为输入量 , 可求解输出量 ωr , 子模块框图见 图 4 . 图 1～4 中 ,S 为拉普拉斯算子 .
( 14) 、 ( 15) 代入式 ( 16) 可得 将式 ( 8) 、 Pm = 3ω r Lm (ψ r A iB - ψ r B iA ) Lr Lm
转子轴系 abc 下转子电压方程
ua ub
= Rr
ia ib
+pψa ψb( 10)( 17)由式 ( 17) 可得电磁转矩方程为
(ψ ψ ) ( 18) ωrm = 3 p n L r r AiB - r B iA 电机运动方程和转速公式分别为 dω dω rm r 1 ω ω ) Te - Tl = R = (R Ω Ω rm + J r + J Te = dt pn dt ( 19) n= Pm
第 32 卷 第 4 期 2004 年 4 月
华南理工大学学报 (自然科学版) J ournal of South China University of Technology ( Natural Science Edition )
Vol . 32 No. 4 April 2004
文章编号 : 1000- 565X ( 2004) 04- 0070- 04
图4 求解 ωr 子模块框图
Fig. 4 Sub2module block diagram of solving ω r
由上面各子模块很容易构成三相异步电机定子 三相静止轴系 ABC 下的 Simulink 仿真模型 , 如图 5 所示 . 给定 uA , uB 和负载转矩 Tl , 合理设置仿真参 数就可得到仿真结果 .
ab 定子三相静止轴系 ABC 的变换矩阵 CAB 分别为 [ 4 ] ) ) cos (θ r + 30 ° r + 90 ° 2 cos (θ ( 1) CAB ab = ) ) cos (θ 3 cos (θ r - 90 ° r - 30 ° ) ) cos (θ r - 30 ° r - 90 ° 2 cos (θ ab ( 2) CAB = ) ) cos (θ 3 cos (θ r + 90 ° r - 30 ° ABC 轴系下定子和转子磁链方程分别为
三相异步电机是一个多变量非线性强耦合的系 统 , 研究时对电机可作如下假设 : 1 ) 电机磁路不饱 和 ; 2) 忽略铁心损耗 ; 3) 线圈产生的磁动势波和磁密 波在空间按正弦分布 ; 4 ) 不考虑频率和温度的变化 对绕组电阻的影响 ; 5) 电源为三相对称电源 . 相对于定子来说 , 转子轴系 abc 是旋转的 , 而定 子轴系 ABC 是静止的 , 要建立定子三相静止轴系 ABC 的数学模型 , 必须将转子三相旋转轴系 abc 变 换到定子三相静止轴系 ABC. 考虑三相对称情况 , 定子或转子三相电压或电 流只有两个独立变量 , 在建立数学模型时可以只考 虑两相 , 定子三相静止轴系 ABC 到转子三相旋转轴 系 abc 的变换矩阵 CAB ab 和转子三相旋转轴系 abc 到
第4期 ψ A ψ B ψr A ψr B ψ A ψ B
杨向宇 等 : 三相异步电机定子轴系 ABC 下的 Matlab/ Simulink 仿真模型
iA iB irA irB ir A ir B iA iB
71
= Ls = Lr
+ Lm + Lm
( 3)
ψr A ψr B
+p
ψr A ψr B
p
ωr × 60 πp n 2
( 20)
ψr B ωr
Rr Lr
( 12)
( 4) 、 ( 9) 、 ( 13 ) 、 ( 18 ) 、 ( 19 ) 、 ( 20 ) 构成了三相 式 ( 3) 、 异步电机定子三相静止轴系 ABC 下的数学模型 . 式 ( 1) ～ ( 20) 中 : p 表示微分算子 d/ d t ;θ r 为转 子位置电角度 ; ωr 为转子电气角速度 ; Rs , Rr 为定 子、 转子电阻 ; L m 为定转子间互感 ; L s , L r 为定子 、 转子自感 ( 自感等于漏感加互感) ; p n 为极对数 ; Te , Tl 为电磁转矩与负载转矩 ; R Ω 为旋转阻力系数 ;
图2 求解 ψ r A ,ψ r B 子模块框图
Fig. 2 Sub2module block diagram of solving ψ r A ,ψ rB
图3 求解 Te 子模块框图
Fig. 3 Sub2module block diagram of solving Te
图1 求解 iA , iB 子模块框图
2ωr 3
ωr
Rr + 3 Lr
72
华 南 理 工 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版)
第 32 卷
2 Matlab/ Simulink 仿真模型的建立
Matlab 中的 Simulink 软件界面友好 , 面向结构
图 , 利 用 Simulink 很 容 易 建 立 仿 真 模 型 , 特 别 是 Simulink 是面向对象的软件 , 可以将一个复杂的系 统分成多个子模块 , 由子模块很容易构成复杂系统 仿真模型 [ 3 ] , 且 Simulink 内含有丰富的模块库 . 构建 好结构图仿真模型后 , 只需合理选择仿真参数 ( 算 法、 步长 、 仿真时间和精度等) 即可得到满意的结果 , 输出波形图比例可调 . 对一个复杂系统的仿真 , 建立模型时 , 常将其拆 分成多个子系统 , 建立子模块 , 由子模块相互连接构 成整个系统的仿真模型 . 具体实现时 , 可以采用从上 到下或从下到上的建模方法 . 所谓从上到下是指先 建立整体框架模型 , 再建立具体子模块模型 ; 所谓从 下到上是指先建立子模块模型 , 再由子模块建立整 个系统仿真模型 . 本文采用从下到上的建模方法 . ψr A , p ψr B 作为输入量 , iA , 根据式 (9) , 将 uA , uB , p iB 作为输出量 , 可求解 iA , iB , 子模块框图见图 1 .
三相异步电机的仿真模型通常采用两相静止
dq 轴系模型或同步旋转坐标系 MT 轴系模型 , Mat2 lab 自带的三相异步电机模型也采用 dq 轴系模型 ,
模型 ,并通过实例仿真验证了该数学模型的有效性.
1 三相异步电机定子轴系 ABC 下的
这种模型求解方便 , 但与外部电压接口需要经过 ABC 坐标系到 dq 坐标系变换 , 以及由 dq 坐标系变 换到 ABC 坐标系 , 若采用 MT 轴系 , 还要进行旋转 MT 系与静止 dq 系之间的变换 ( Matlab 自带的三相 异步电机模型在模型内部进行了坐标变换) . 如果采 用定子三相静止轴系 , 则无需进行坐标变换 . 利用 Matlab 的 Simulink 仿真工具箱可以方便地 建立三相异步电机的 dq 轴系仿真模型 [ 1 ] 和同步旋 转坐标系 MT 轴系下磁场定向仿真模型[ 2 ] , 可见这 种仿真工具的优越性 . Matlab 自带有丰富的模型库 , SimPowerSystems 仿真工具箱已封装了多类电机模 型库 [ 3 ] , 在实际应用中可以直接调用 , 但是它不能包 罗万象 , 遇到一些具体情况还是需要自己建立电机 模型 . 本文首先提出了三相异步电机定子轴系 ABC 下的数学模型 , 然后利用 Matlab/ simulink 构建其仿真
uA uB
= ( Rs + L s p )
+ Lm p
( 7)
由式 ( 4) 得
irA irB
=
1 ψr A
Lr ψ rB
-
L m iA L r iB
rA Lm ψ p Lr ψr B
( 8)
将式 ( 8) 代入式 ( 7) 得
uA uB
= ( Rs + σ Ls p )
iA iB
+
( 9)
式 ( 9) 和 ( 13) 即为定子三相静止轴系 ABC 下的 电压方程 . 从中可以看出 , 系数不再含有 θ r 角 , 当转 子速度 ωr 为常数时 , 电压方程为一组常系数微分方 程组 , 这给求解带来很大方便 . 从形式上看 , 上述方 程与三相异步电机变换后的 dq 方程类似 . 但 dq 方 程要对定子电压或电流进行变换 . 而上述方程中定 子电压和电流就是电机的实际值 , 这对由变频器供 电的电动机控制系统来说是有利的 , 因为在变频器 和定子之间无需进行电流或电压的变换 . 从 ABC 下的电压方程可以看出 , 定子电压方程 不含运动电动势项 , 转子电压方程运动电动势项为 ωr 2ωr u gr A 3 3 ψr A ( 14) = ωr ψr B u gr B 2ωr 3 3 由三相对称 , 可得 C 相运动电动势项为 ωr (ψ ( 15) u gr C = - u gr A - u gr B = rA - ψ rB) 3 显然 , 运动电动势项与机电能量转换有关 , 转化的机 械瞬时功率为 Pm = i r A u gr A + i r B u gr B + ( - i r A - i r B ) u gr C ( 16)