定理21.6(等价替换定理):设p,p1,p2P(Y)，p1

┣┫p2，现在p中将p1的某些(不一定所有)出现 替换为p2而得到的结果记为p'，则p┣┫p'。 证明:对p在P(Y)中的层次l用归纳法 l=0,则p是原子公式或p=F, 因此p=p1,当用p1替换为p2而得到p', 则p1┣┫p2得p┣┫p',成立 对l >0,假设对一切l <k结论成立, 对l=k,除p=p1这种平凡情况外, 分以下几种情况 (1)p=(q→r) (2)p=xq
(5)xp(x)┣┫'xp(x)，这里我们约定：用' 和'分别表示和； (6)pxq(x)┣┫x(pq(x))，xvar(p)； (7)pxq(x)┣┫x(pq(x))，xvar(p) ； (8)xp(x)xq(x)┣┫x(p(x)q(x))； (9)xp(x)xq(x)┣┫x(p(x)q(x))； (10)1xp(x)2yq(y)┣┫1x2y(p(x)q(y))， xvar(q(y)),yvar(p(x))； (11)1xp(x)2yq(y)┣┫1x2y(p(x)q(y))， xvar(q(y)),yvar(p(x))。
二、等价替换定理与代换定理
定义 21.16 ：设 p,qP(Y)，若 {p}┣q 且

{q}┣p，则称p,q语法等价，记为p┣┫q。 引理21.2:若p┣┫q，则xp┣┫xq 因为 {p}┣q, 由演绎定理知 ┣ p→q, 同样 有 ┣ q→p 然后分别证明{xp}┣xq, {xq}┣xp
例: 设yvar(p(x))，且p(x)中的自由变元
x不会出现在y的辖域中。证明： {xp(x)}┣yp(y)，这里p(x)P(Y).
定理 21.5:( 演绎定理 ) 设 AP=P(Y)，设

p,qP。则A┣p→q当且仅当A∪{p}┣q 证明:(1)由A┣p→q,证明A∪{p}┝q 存 在 A 导 出 p→q 的 有 限 证 明 序 列 p1,…,pn=p→q， 由MP规则即得. (2)若A∪{p}┣q 对证明序列长度用归纳法 其他与命题逻辑类似,主要考虑q=xr(x) 设A0是导出r(x)的假设集 (i)pA0 (ii)pA0
定理21.7(约束变元符可替换性):设在p中

将xq(x)的某些(不一定所有)出现替换为 yq(y) 而 得 到 p'( 这 里 yvar(q(x)) ， 且 p(x)中的自由变元x不会出现在y的辖域 中)，则p┣┫p'。 定理21.8:在P(Y)中有： (1)p→q┣┫pq； (2)pq┣┫(pq)(pq)； (3)pq┣┫(pq)(pq)； (4)p┣┫p；
如果存在一个由 A 导出 p 的证明 ，则记为
A┣p，且用 Ded(A) 表示满足 A┣p 所有 p 的 全体。对于 Ø ┣ p，简写为 ┣ p，并称 p 为 Pred(Y)的定理。 例:{xp}┣xp, pP(Y)

根据定义，xp就是xp。 p1=xp 假设 p2=xp→xp A3 p3=xp p1, p2 MP p4=xp→p A5 p5=p p3, p4 MP p6=p→p A3 p7=p p5, p6 MP p8=xp p7 G规则(xvar({xp}))
除了MP规则外，还要用一个推理规则，
这个规则在以后的论证中常会用到：对 任意的x证明了p(x)，则有xp(x)成立。 这个推理规则称为全称推广规则，它使 得在对一般的x证明了p(x)后，可推出 xp(x)。在使用全称推广规则时必须仔 细地陈述限制。全称推广规则也称为G 规则。
定义21.15:设pP(Y)，AP(Y)，由假设
在命题演算中，代换定理是基于同态映
射 :P1→P2，这里 P1,P2 为二个命题代数， 如果 P1,P2为谓词代数，则根据同态映射 的要求， P1,P2应该有相同的运算集，对 其个体符集有新的要求
作业:P423 18,19(1)
A导出p的长度为n的证明是一组有限序 列 p1,…Байду номын сангаасpn，这里piP(Y)(i=1,…,n)， pn=p，而p1,…,pn-1是长度为n-1的由A导 出pn-1的证明序列，并且：对所有kn， (1)pkA∪A，或者 (2)存在i,j(i,j<k)，有pi=(pj→pk)。或者 (3)pk=xw(x)，并且p1,…,pk-1的某个子序 列pk1,…,pkr是一个由A的子集 A0(xvar(A0))导出w(x)的证明(长度小于 n)。
§3 谓词演算的形式证明
一、形式证明
P(Y)上的一阶谓词演算用Pred(Y)表示 定义21.14：称A=A1∪A2∪A3∪A4∪A5 中的所有元
素为Pred(Y)上的公理集。其中： A1={p→(q→p)|p,qP(Y)}； A2={(p→(q→r))→((p→q)→(p→r))|p,q,rP(Y)}； A3={p→p|pP(Y)}。 A4={x(p→q)→(p→xq)|p,qP(Y),xvar(p)} A5={xp(x)→p(t)|p(x)P(Y),项t对p(x)中的x是自由的}