2021年中考数学压轴题二次函数与矩形问题一．解答题（共11小题）1．（2020•犍为县二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m=PMDM，试求m的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．2．（2019•海州区二模）如图，一次函数y＝x+3与坐标轴交于A、C两点，过A、C两点的抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于另一点B，抛物线顶点为E，连接AE．（1）求该抛物线的函数表达式及顶点E坐标；（2）点P是线段AE上的一动点，过点P作PF平行于y轴交AC于点F，连接EF，求△PEF面积的最大值及此时点P的坐标；（3）若点M为坐标轴上一点，点N为平面内任意一点，是否存在这样的点，使A、E、M、N为顶点的四边形是以AE为对角线的矩形？如果存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．3．（2018•曲靖）如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=13x−43与x轴交于点A，经过点A的抛物线y＝ax2﹣3x+c的对称轴是x=3 2．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PF＝3PE．求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE ⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．4．（2018•正阳县二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+h与x轴相交于点A（﹣1，0），与y轴相交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+3的一交点为点D，抛物线过x轴上的AB两点，且CD＝4AC．（1）求直线l和抛物线的解析式；（2）点E是直线l上方抛物线上的一动点，求当△ADE面积最大时，点E的坐标；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，四边形APDQ能否为矩形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．5．（2016•工业园区一模）如图，已知二次函数y＝m2x2﹣2mx﹣3（m是常数，m＞0）的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接AD．点E为该函数图象上一点，AB平分∠DAE．（1）①线段AB的长为．②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示）（2）设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由．6．（2018秋•南浔区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝a （x+3）（x﹣1）（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求点A与点B的坐标；（2）若a=13，点M是抛物线上一动点，若满足∠MAO不大于45°，求点M的横坐标m 的取值范围．（3）经过点B 的直线l ：y ＝kx +b 与y 轴正半轴交于点C ．与抛物线的另一个交点为点D ，且CD ＝4BC ．若点P 在抛物线对称轴上，点Q 在抛物线上，以点B ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．7．（2018•太原一模）综合与探究：如图1，抛物线y =−√33x 2+23√3x +√3与x 轴分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点．经过点A 的直线l 与y 轴交于点D （0，−√3）．（1）求A 、B 两点的坐标及直线l 的表达式；（2）如图2，直线l 从图中的位置出发，以每秒1个单位的速度沿x 轴的正方向运动，运动中直线l 与x 轴交于点E ，与y 轴交于点F ，点A 关于直线l 的对称点为A ′，连接F A ′、BA ′，设直线l 的运动时间为t （t ＞0）秒．探究下列问题：①请直接写出A ′的坐标（用含字母t 的式子表示）；②当点A ′落在抛物线上时，求直线l 的运动时间t 的值，判断此时四边形A ′BEF 的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，探究：在直线l 的运动过程中，坐标平面内是否存在点P ，使得以P ，A ′，B ，E 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由．8．（2018•琼中县二模）如图，已知抛物线y =12x 2+bx +c 与直线AB ：y =−12x +12相交于点A（1，0）和B （t ，52），直线AB 交y 轴于点C ． （1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D 是x 轴上的一个动点，连接BD 、CD ，请问△BCD 的周长是否存在最小值？若存在，请求出点D 的坐标，并求出周长最小值；若不存在，请说明理由．（3）设点M 是抛物线对称轴上一点，点N 在抛物线上，以点A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是否可能为矩形？若能，请求出点M 的坐标，若不能，请说明理由．9．（2020秋•姑苏区期中）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过A （﹣1，0），B （3，0）两点，且与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交x 轴于点E ，连接BD ．（1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）点Q 在该抛物线的对称轴上，若△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形，求点Q 的坐标；（3）若P 为BD 的中点，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，G 为抛物线上一动点，M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，当以F 、M 、N 、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M 的坐标．10．（2020•宝山区二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：y ＝kx +b 与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC ．（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k 、b 用含a 的式子表示）；（2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为54，求a 的值； （3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，当以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P 的坐标．2021年中考数学压轴题二次函数与矩形问题参考答案与试题解析一．解答题（共11小题）1．（2020•犍为县二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m=PMDM，试求m的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．【专题】压轴题．【解答】解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），∵OC＝2OA，OA＝2，∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a=−1 2，∴y=−12（x+2）（x﹣4）或y=−12x2+x+4或y=−12（x﹣1）2+92．（2）如图1中，由题意，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F．∵CD ∥PE ，∴△CMD ∽△FMP ，∴m =PM DM =PF DC， ∵直线y ＝kx +1（k ＞0）与y 轴交于点D ，则D （0，1），∵BC 的解析式为y ＝﹣x +4，设P （n ，−12n 2+n +4），则F （n ，﹣n +4），∴PF =−12n 2+n +4﹣（﹣n +4）=−12（n ﹣2）2+2，∴m =PF CD =−16（n ﹣2）2+23，∵−16＜0，∴当n ＝2时，m 有最大值，最大值为23，此时P （2，4）．（3）存在这样的点Q 、N ，使得以P 、D 、Q 、N 四点组成的四边形是矩形．①当DP 是矩形的边时，有两种情形，a 、如图2﹣1中，四边形DQNP 是矩形时，有（2）可知P （2，4），代入y ＝kx +1中，得到k =32，∴直线DP 的解析式为y =32x +1，可得D （0，1），E （−23，0），由△DOE ∽△QOD 可得OD OQ =OE OD ，∴OD 2＝OE •OQ ，∴1=23•OQ ，∴OQ =32，∴Q （32，0）． 根据矩形的性质，将点P 向右平移32个单位，向下平移1个单位得到点N ， ∴N （2+32，4﹣1），即N （72，3） b 、如图2﹣2中，四边形PDNQ 是矩形时，∵直线PD 的解析式为y =32x +1，PQ ⊥PD ，∴直线PQ 的解析式为y =−23x +163， ∴Q （8，0）， 根据矩形的性质可知，将点D 向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N ， ∴N （0+6，1﹣4），即N （6，﹣3）．②当DP 是对角线时，设Q （x ，0），则QD 2＝x 2+1，QP 2＝（x ﹣2）2+42，PD 2＝13， ∵Q 是直角顶点，∴QD 2+QP 2＝PD 2，∴x 2+1+（x ﹣2）2+16＝13，整理得x 2﹣2x +4＝0，方程无解，此种情形不存在，综上所述，满足条件的点N 坐标为（72，3）或（6，﹣3）． 2．（2019•海州区二模）如图，一次函数y ＝x +3与坐标轴交于A 、C 两点，过A 、C 两点的抛物线y ＝ax 2﹣2x +c 与x 轴交于另一点B ，抛物线顶点为E ，连接AE ．（1）求该抛物线的函数表达式及顶点E 坐标；（2）点P 是线段AE 上的一动点，过点P 作PF 平行于y 轴交AC 于点F ，连接EF ，求△PEF 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）若点M 为坐标轴上一点，点N 为平面内任意一点，是否存在这样的点，使A 、E 、M 、N 为顶点的四边形是以AE 为对角线的矩形？如果存在，请直接写出N 点坐标；若不存在，请说明理由．【专题】压轴题；数形结合；分类讨论；几何直观．【解答】解：（1）一次函数y ＝x +3与坐标轴交于A 、C 两点，则点A 、C 的坐标为（﹣3，0）、（0，3），将点A 、C 的坐标代入二次函数表达式得：{0=9a +6+c c =3，解得：{a =−1c =3， 故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2﹣2x +3，顶点E （﹣1，4）；（2）将点A 、E 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AE 的表达式为：y ＝2x +6，设点P （x ，2x +6），则点F （x ，x +3），S △PEF =12PF ×（x E ﹣x ）=12×（2x +6﹣x ﹣3）（﹣1﹣x ）=−12（x +3）（x +1）， 当x ＝﹣2时，S △PEF 有最大值为12，此时点P （﹣2，2）；（3）点A 、E 的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣1，4），AE 2＝20，①当点M （m ，0）在x 轴上时，设点N （s ，t ），则AE ＝MN ，且AE 中点坐标为MN 中点坐标，即：{m +s =−4t =4(m −s)2+t 2=20，解得：{t =4s =−1或−3m =−3或−1，故点N （﹣3，4）；②当点M 在y 轴上时，同理可得：点N （﹣4，3）或（﹣4，1）；综上，点N 坐标为：N （﹣3，4）或（﹣4，3）或（﹣4，1）．3．（2018•曲靖）如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y =13x −43与x 轴交于点A ，经过点A的抛物线y ＝ax 2﹣3x +c 的对称轴是x =32．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PF ＝3PE ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【专题】压轴题．【解答】解：（1）当y ＝0时，13x −43=0，解得x ＝4，即A （4，0），抛物线过点A ，对称轴是x =32，得{16a −12+c =0−−32a =32， 解得{a =1c =−4，抛物线的解析式为y ＝x 2﹣3x ﹣4； （2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，∴直线m 的解析式为y =13x ．∵点P 是直线m 上任意一点，∴设P （3a ，a ），则PC ＝|3a |，PB ＝|a |．又∵PF ＝3PE ，设PB ＝n ，PC ＝3n ，PE ＝m ，PF ＝3m ，则CF =√9m 2−9n 2=3√m 2−n 2，BE =√m 2−n 2，∴PC PB =PF PE =FC EB =3，∵∠PCF ＝∠PBE ＝90°，∴△PCF ∽△PBE ，∴∠FPC ＝∠EPB ．∵∠CPE +∠EPB ＝90°，∴∠FPC +∠CPE ＝90°，∴FP ⊥PE ．（3）如图所示，点E 在点B 的左侧时，设E （a ，0），则BE ＝6﹣a ．∵CF ＝3BE ＝18﹣3a ，∴OF ＝20﹣3a ．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形，∴Q x +P x 2=F X +E x 2，Q y +P y 2=F y +E y 2，∴Q x +6＝0+a ，Q y +2＝20﹣3a +0，∴Q x ＝a ﹣6，Q y ＝18﹣3a ．将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a ＝（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a ＝4或a ＝8（舍去）．∴Q （﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE ＝a ﹣6．∵CF ＝3BE ＝3a ﹣18，∴OF ＝3a ﹣20．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形，∴Q x +P x 2=F X +E x 2，Q y +P y 2=F y +E y 2，∴Q x +6＝0+a ，Q y +2＝20﹣3a +0，∴Q x ＝a ﹣6，Q y ＝18﹣3a ．将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a ＝（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a ＝8或a ＝4（舍去）．∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．4．（2018•正阳县二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝kx +h 与x 轴相交于点A （﹣1，0），与y 轴相交于点C ，与抛物线y ＝﹣x 2+bx +3的一交点为点D ，抛物线过x 轴上的AB 两点，且CD ＝4AC ．（1）求直线l 和抛物线的解析式；（2）点E 是直线l 上方抛物线上的一动点，求当△ADE 面积最大时，点E 的坐标；（3）设P 是抛物线对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，四边形APDQ 能否为矩形？若能，请直接写出点P 的坐标；若不能，请说明理由．【专题】压轴题．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+3，得b＝2，所以抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，过点D作DF⊥x轴于点F，如图1易证△AOC∽△AFD，∴ACAD =AOAF，∵CD＝4AC，∴ACAD =AOAF=15，∴点D横坐标为4，把x＝4代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝﹣5，∴D（4，﹣5），把x＝4，y＝﹣5；x＝﹣1，y＝0代入y＝kx+h，解得k＝﹣1，h＝﹣1，∴直线l的解析式为y＝﹣x﹣1．（2）过点E 作EM ⊥x 轴，交AD 于点M ，如图2设点E （m ，﹣m 2+2m +3），则M （m ，﹣m ﹣1），∴EM ＝﹣m 2+2m +3﹣（﹣m ﹣1）═﹣m 2+3m +4，∴S △ADE =12•EM •（x D ﹣x A ）=12×5（﹣m 2+3m +4）=−52m 2+152m +10，当m =32时，△ADE 的面积最大，此时，E （32，154）．（3）不存在理由如下：如图3中，设P （1，m ），不妨设四边形APDQ是矩形，AD交PQ于M，则M（1.5，−5 2），由题意AM＝DM＝PM=5√2 2，∴（1﹣1.5）2+（m+52）2＝（5√22）2，解得m＝1或﹣6，∴P（1，1）或（1，﹣6），∵PM＝MQ，∴Q（2，﹣6）或（2，1），∵x＝2时，y＝3，∴点Q不在抛物线上，∴四边形APDQ不能为矩形．5．（2016•工业园区一模）如图，已知二次函数y＝m2x2﹣2mx﹣3（m是常数，m＞0）的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接AD．点E为该函数图象上一点，AB平分∠DAE．（1）①线段AB的长为4m．②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示）（2）设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由．【专题】压轴题．【解答】解：（1）①令y＝0，则（mx﹣3）（mx+1）＝0，∴x=−1m或x=3m，∴A（−1m，0），B（3m，0），故答案为4m；②∵二次函数y＝m2x2﹣2mx﹣3，∴C（0，﹣3），对称轴l：x=1 m，∴D（2m，﹣3）∵AB平分∠DAE，∴点D关于x轴的对称点Q（2m，3）在直线AE上，∴直线AE的解析式为y＝mx+1，∵点E是抛物线和直线AE的交点，∴E（4m，5）．（2）设M（x，m2x2﹣2mx﹣3），N（1m，a）∵A（−1m，0），E（4m，5）．以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形，①以AE，MN为对角线时，AE，MN的中点重合，∴−1m+4m=x+1m，∴x=2 m，∴M（2m，﹣3），∵MA2+ME2＝AE2，∴9m2+9+4m2+64=25m2+25，∴m=−12（舍），或m=12，∴M（4，﹣3），②以AN，ME为对角线时，AN，ME的中点重合，∴−1m+1m=x+4m，∴M（−4m，21），∵AE2+AM2＝ME2，∴25m2+25+92+441=642+256，∴m=17（舍）或m=17∴M(−4√7，21)，③以AM，NE为对角线时，∴AM，NE的中点重合，∴x+（−1m）=1m+4m，∴x=6 m，∴M（6m，21），∵AE2+EM2＝AM2，∴25m +25+4m2+256=49m2+441，此方程无解，即：存在，M（4，﹣3）或M(−4√7，21)．6．（2018秋•南浔区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝a （x+3）（x﹣1）（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求点A与点B的坐标；（2）若a=13，点M是抛物线上一动点，若满足∠MAO不大于45°，求点M的横坐标m的取值范围．（3）经过点B的直线l：y＝kx+b与y轴正半轴交于点C．与抛物线的另一个交点为点D，且CD＝4BC．若点P在抛物线对称轴上，点Q在抛物线上，以点B，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．【专题】压轴题；创新意识．【解答】解：（1）y ＝a （x +3）（x ﹣1），令y ＝0，则x ＝1或﹣3，故点A 、B 的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0）；（2）抛物线的表达式为：y =13（x +3）（x ﹣1）…①，当∠MAO ＝45°时，如图所示，则直线AM 的表达式为：y ＝x …②，联立①②并解得：m ＝x ＝4或﹣3（舍去﹣3），故点M （4，7）；②∠M ′AO ＝45°时同理可得：点M （﹣2，﹣1）；故：﹣2≤m ≤4；（3）①当BD 是矩形的对角线时，如图2所示，过点Q 作x 轴的平行线EF ，过点B 作BE ⊥EF ，过点D 作DF ⊥EF ，抛物线的表达式为：y ＝ax 2+2ax ﹣3a ，函数的对称轴为：x ＝﹣1，抛物线点A 、B 的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0），则点P 的横坐标为：﹣1，OB ＝1， 而CD ＝4BC ，则点D 的横坐标为：﹣4，故点D （﹣4，5a ），即HD ＝5a ，线段BD 的中点K 的横坐标为：−4+12=−32，则点Q 的横坐标为：﹣2，则点Q （﹣2，﹣3a ），则HF ＝BE ＝3a ，∵∠DQF +∠BQE ＝90°，∠BQE +∠QBE ＝90°，∴∠QBE ＝∠DQF ，∴△DFQ ∽△QEB ，则DF QE=FQ BE，8a 3=23a，解得：a =±12（舍去负值），同理△PGB ≌△DFQ （AAS ），∴PG ＝DF ＝8a ＝4，故点P （﹣1，4）； ②如图3，当BD 是矩形的边时，作DI ⊥x 轴，QN ⊥x 轴，过点P 作PL ⊥DI 于点L ， 同理△PLD ≌△BNQ （AAS ），∴BN ＝PL ＝3， ∴点Q 的横坐标为4，则点Q （4，21a ）， 则QN ＝DL ＝21a ，同理△PLD ∽△DIB ， ∴PL DI=LD BI，即35a=21a 5，解得：a =±√77（舍去负值），LI ＝26a =26√77，故点P （﹣1，26√77），； 综上，点P 的坐标为：P （﹣1，4）或（﹣1，26√77）．7．（2018•太原一模）综合与探究： 如图1，抛物线y =−√33x 2+23√3x +√3与x 轴分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点．经过点A 的直线l 与y 轴交于点D （0，−√3）． （1）求A 、B 两点的坐标及直线l 的表达式；（2）如图2，直线l 从图中的位置出发，以每秒1个单位的速度沿x 轴的正方向运动，运动中直线l 与x 轴交于点E ，与y 轴交于点F ，点A 关于直线l 的对称点为A ′，连接F A ′、BA ′，设直线l 的运动时间为t （t ＞0）秒．探究下列问题： ①请直接写出A ′的坐标（用含字母t 的式子表示）；②当点A ′落在抛物线上时，求直线l 的运动时间t 的值，判断此时四边形A ′BEF 的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，探究：在直线l 的运动过程中，坐标平面内是否存在点P ，使得以P ，A ′，B ，E 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由．【专题】综合题．【解答】解：（1）当y ＝0时，−√33x 2+23√3x +√3=0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，则A （﹣1，0），B （3，0），设直线l 的解析式为y ＝kx +b ，把A （﹣1，0），D （0，−√3）代入得{−k +b =0b =−√3，解得{k =−√3b =−√3，∴直线l 的解析式为y =−√3x −√3； （2）①作A ′H ⊥x 轴于H ，如图2， ∵OA ＝1，OD =√3， ∴∠OAD ＝60°， ∵EF ∥AD ， ∴∠AEF ＝60°，∵点A 关于直线l 的对称点为A ′， ∴EA ＝EA ′＝t ，∠A ′EF ＝∠AEF ＝60°，在Rt △A ′EH 中，EH =12EA ′=12t ，A ′H =√3EH =√32t ， ∴OH ＝OE +EH ＝t ﹣1+12t =32t ﹣1， ∴A ′（32t ﹣1，√32t ）； ②把A ′（32t ﹣1，√32t ）代入y =−√33x 2+23√3x +√3得−√33（32t ﹣1）2+2√33（32t ﹣1）+√3=√32t ，解得t 1＝0（舍去），t 2＝2，∴当点A ′落在抛物线上时，直线l 的运动时间t 的值为2； 此时四边形A ′BEF 为菱形，理由如下：当t ＝2时，A ′点的坐标为（2，√3），E （1，0）， ∵∠OEF ＝60°∴OF =√3OE =√3，EF ＝2OE ＝2， ∴F （0，√3）， ∴A ′F ∥x 轴，∵A ′F ＝BE ＝2，A ′F ∥BE ， ∴四边形A ′BEF 为平行四边形， 而EF ＝BE ＝2，∴四边形A ′BEF 为菱形； （3）存在．当A ′B ⊥BE 时，四边形A ′BEP 为矩形，则32t ﹣1＝3，解得t =83，则A ′（3，4√33）， ∵OE ＝t ﹣1=53， ∴此时P 点坐标为（53，4√33）； 当A ′B ⊥EA ′，如图4，四边形A ′BPE 为矩形， 作A ′Q ⊥x 轴于Q ， ∵∠AEA ′＝120°， ∴∠A ′EB ＝60°， ∴∠EBA ′＝30° ∴BQ =√3A ′Q =√3•√32t =32t ， ∴32t ﹣1+32t ＝3，解得t =43， 此时A ′（1，2√33），E （13，0），点A ′向左平移23个单位，向下平移2√33个单位得到点E ，则点B （3，0）向左平移23个单位，向下平移2√33个单位得到点P ，则P （73，−2√33）， 综上所述，满足条件的P 点坐标为（53，4√33）或（73，−2√33）．8．（2018•琼中县二模）如图，已知抛物线y =12x 2+bx +c 与直线AB ：y =−12x +12相交于点A （1，0）和B （t ，52），直线AB 交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D 是x 轴上的一个动点，连接BD 、CD ，请问△BCD 的周长是否存在最小值？若存在，请求出点D 的坐标，并求出周长最小值；若不存在，请说明理由．（3）设点M 是抛物线对称轴上一点，点N 在抛物线上，以点A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是否可能为矩形？若能，请求出点M 的坐标，若不能，请说明理由．【专题】压轴题．【解答】解：（1）对于y =−12x +12， 令y =52得x ＝﹣4，∴B （﹣4，52）．分别把A （1，0）和B （﹣4，52）代入y =12x 2+bx +c ，得 {12+b +c =08−4b +c =52解得{b =1c =−32，则该抛物线解析式为：y =12x 2+x −32， ∵−b2a=−1， ∴对称轴为直线x ＝﹣1；（2）直线AB ：y =−12x +12相交于点C （0，12），作点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′（0，−12），连接BC ′交x 轴于点D ，根据“两点之间线段最短”可得BD +CD 的和最小， 从而△BCD 的周长也最小， ∵B （﹣4，52），C ′（0，−12），∴直线BC ′的解析式为y =−34x −12． 令y ＝0，可得x =−23， ∴D （−23，0），∴当△BCD 的周长最小时，点D 的坐标为（−23，0），最小周长＝BC +BC ′=√(−4−0)2+(52+12)2+√(−4−0)2+(52−12)2=5+2√5； （3）①若AB为四边形的边长，作AE⊥AB，交y轴于点E，又OA⊥CE，∴△AOC∽△EOA，∴OE＝2OA＝2，∴E（0，﹣2）∴直线AE为y＝2x﹣2，令2x﹣2=12x2+x−32，解得x1＝x2＝1，∴直线AE与抛物线只有一个交点为A，∴不存在满足题意的矩形；②若AB为四边形的对角线，当四边形是平行四边形时，对角线互相平分，有x A+x B＝x M+x N，即：1+（﹣4）＝﹣1+x N，解得x N＝﹣2．把x N＝﹣2代入y=12x2+x−32，得y N =−32，由y A +y B ＝y M +y N 得：y M ＝4， ∴M （﹣1，4），N （﹣2，−32）， 此时MN =√1+(112)2=5√52，AB =√52+(52)2=5√52， ∴MN ＝AB ，∴平行四边形AMBN 为矩形， 综上，能为矩形，M （﹣1，4）．9．（2020秋•姑苏区期中）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过A （﹣1，0），B （3，0）两点，且与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交x 轴于点E ，连接BD ． （1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）点Q 在该抛物线的对称轴上，若△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形，求点Q 的坐标；（3）若P 为BD 的中点，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，G 为抛物线上一动点，M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，当以F 、M 、N 、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M 的坐标．【专题】代数几何综合题；推理能力．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过A （﹣1，0），B （3，0）两点， ∴{−1−b +c =0−9+3b +c =0， 解得，{b =2c =3，∴经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式为y ＝﹣x 2+2x +3． （2）如图1，连接BC ，CD ．由题意，C（0，3），B（3，0），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵y＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线顶点D的坐标为（1，4），∵△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，当∠Q′BC＝90′时，∠ABQ′＝45°，∴EB＝EQ′＝2，∴Q′（1，﹣2），当∠QCB＝90°时，此时点Q与点D重合，Q（1，4），综上所述，满足条件的点Q的坐标为（1，4）或（1，﹣2）．（3）如图2中，设点M的坐标为（a，0），则点G的坐标为（a，﹣a2+2a+3），∵以F 、M 、N 、G 为顶点的四边形是正方形， ∴FM ＝MG ，即|2﹣a |＝|﹣a 2+2a +3|， 当2﹣a ＝﹣a 2+2a +3时， 整理得，a 2﹣3a ﹣1＝0， 解得，a =3±√132， 当2﹣a ＝﹣（﹣a 2+2a +3）时， 整理得，a 2﹣a ﹣5＝0， 解得，a =1±√212， ∴当以F 、M 、N 、G 为顶点的四边形是正方形时，点M 的坐标为（3+√132，0），（3−√132，0），（1+√212，0），（1−√212，0）． 10．（2020•宝山区二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：y ＝kx +b 与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC ．（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k 、b 用含a 的式子表示）； （2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为54，求a 的值；（3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，当以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P 的坐标．【专题】分类讨论；方程思想；函数的综合应用；运算能力；推理能力．【解答】解：（1）当y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3），得A（﹣1，0），B（3，0），∵直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0），∴0＝﹣k+b，即k＝b，∴直线l：y＝kx+k，∵抛物线与直线l交于点A，D，∴ax2﹣2ax﹣3a＝kx+k，即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4，∴﹣3−ka=−1×4，∴k＝a，∴直线l的函数表达式为y＝ax+a；（2）如图1，过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则F（x，ax+a），EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，∴S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF=12（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）−12（ax2﹣3ax﹣4a）x=12（ax2﹣3ax﹣4a）=12a（x−32）2−258a，∴△ACE的面积的最大值═258a，∵△ACE的面积的最大值为5 4，∴−258a=54，解得a=−2 5；（3）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴D（4，5a），∵抛物线的对称轴为直线x＝1，设P（1，m），①如图2，若AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q（﹣4，21a），∴m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ是矩形，∴∠ADP＝90°，∴AD2+PD2＝AP2，∴52+（5a）2+32+（26a﹣5a）2＝22+（26a）2，即a2=1 7，∵a＜0，∴a=−√7 7∴P（1，−26√7 7）；②如图3，若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q（2，﹣3a），∴m＝5a﹣（﹣3a）＝8a，则P（1，8a），∵四边形APDQ是矩形，∴∠APD＝90°，∴AP2+PD2＝AD2，∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2，即a2=1 4，∵a＜0，∴a=−1 2，∴P（1，﹣4），综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，−26√77）或（1，﹣4）．。