加法原理和乘法原理的应用【教学目标】1．进一步理解两个基本原理．2．会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题【教学重点】两个基本原理的进一步理解和体会．【教学难点】正确判断是分类还是分步，分类计数原理的分类标准及其多样性．【教学过程】一、复习引入：1．分类计数原理：2．分步计数原理：3．原理浅释分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事．只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以．分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏．如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理．可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同．这种变形还提醒人们，分类和分步，常是在一定的限制之下人为的，因此，在这里我们大有用武之地：可以根据解题需要合理、灵活而巧妙地分类或分步．强调知识的综合是近年的一种可取的现象．两个原理，可以与物理中电路的串联、并联类比．两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”二、范例分析：例1．在1～20共20个整数中取两个数相加，使其和为偶数的不同取法共有多少种?解：取bb+是同一种取法．分类标准为两加数的奇偶性，第一类，偶偶相加，a+与取a由分步计数原理得(10×9)/2=45种取法，第二类，奇奇相加，也有(10×9)/2=45种取法．根据分类计数原理共有45+45=90种不同取法．例2．在1～20共20个整数中取两个数相加，使其和大于20的不同取法共有多少种?解：分类标准一：固定小加数．小加数为1时，大加数只有20这1种取法;小加数为2时，大加数有19或20两种取法;小加数为3时，大加数为18，19或20共3种取法…小加数为10时，大加数为11，12，…，20共10种取法;小加数为11时，大加数有9种取法…小加数取19时，大加数有1种取法．由分类计数原理，得不同取法共有1+2+…+9+10+9+…+2+1=100种．分类标准二：固定和的值．有和为21，22，…，39这几类，依次有取法10，9，9，8，8， …，2，2，1，1种．由分类计数原理得不同取法共有10+9+9+…+2+2+1+1=100种．例3．《教学与测试》第66节例3．用5种不同颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色．（1）共有多少种不同的涂色方法？（2）若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？ 分析：由于各号区域都涂色后这件事才算完成，因此完成这件事的首选方法是分步．（1）54=625． （2）方法一：分类：第1类：2号、4号区域同色，有5×4×3=60种；第2类：2号、4号区域异色：有5×4×3×2=120种．共60+120=180种涂法．方法二：分步：先涂1号区域有5种涂法，再涂3号区域有4种，2号、4号区域各有3种，共有5×4×3×3=180种．类题： 如图一，要给①，②，③，④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同涂色方法种数为( )A ． 180B ． 160C ． 96D ． 60若变为图二，图三呢?(240种，5×4×4×4=320种)例4．如下图，共有多少个不同的三角形?解：所有不同的三角形可分为三类”第一类：其中有两条边是原五边形的边，这样的三角形共有第二类：其中有且只有一条边是原五边形的边，这样的三角形共有5×4=20个第三类：没有一条边是原五边形的边，即由五条对角线围成的三角形，共有5+5=10个 由分类计数原理得，不同的三角形共有5+20+10=35个．例5．75600有多少个正约数?有多少个奇约数?解：75600的约数就是能整除75600的整数，所以本题就是分别求能整除75600的整数和奇约数的个数．由于 75600=24×33×52×7(1) 75600的每个约数都可以写成l k j l 7532⋅⋅⋅的形式，其中40≤≤i ，30≤≤j ，20≤≤k ，10≤≤l于是，要确定75600的一个约数，可分四步完成，即l k j i ,,,分别在各自的范围内任取一图一 图二 图三个值，这样i 有5种取法，j 有4种取法，k 有3种取法，l 有2种取法，根据分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个．(2)奇约数中步不含有2的因数，因此75600的每个奇约数都可以写成l k j 753⋅⋅的形式，同上奇约数的个数为4×3×2=24个．三、课堂练习：1．用1，2，3，4，5可组成多少个三位数?(各位上的数字允许重复)2．用数字1，2，3可写出多少个小于1000的正整数? (各位上的数字允许重复)3．集合A=｛a ，b ，c ，d ，e ｝，集合B=｛1，2，3｝，问A 到B 的不同映射f 共有多少个?B 到A 的映射g 共有多少个?4．将3封信投入4个不同的邮筒的投法共有多少种?5． 4名学生从3个不同的楼梯下楼的方法数．6． 4名学生分配到3个车间去劳动，共有多少中不同的分配方案?7． 求集合｛1，2，3，4，5｝的子集的个数8．某小组有10人，每人至少会英语和日语中的一门，其中8人会英语，5人会日语． 问：（1）从中任选一个会英语或日语的，有多少种选法？（2）从中选出的人去做英语和日语翻译，有多少种选法？答案：1． 5×5×5×5=625 2． 3+32+33=39 3． 35，53 4． 43 5． 34 6． 347． 在集合｛1，2，3，4，5｝的子集中，每个元素都只有出现和不出现这2种可能，所以这个集合的子集的个数为2×2×2×2×2=25=32个．8．10人中有3人既会英语又会日语，只会英语5人，只会日语2人．法一：（1）10；（2）①不选两者都会的有：5×2=10种；②选两者都会的1人，若此人说英语：3×2=6种，若此人说日语：3×5=15，共6+15=21种；③选两者都会的2人：3×2=6种．因此共有37种选法．法二：按说英语的人分类：①只会英语的5人中选1人，那能说日语有2+3=5（中会日语+两语都会）种，共5×5=25种选法．②从两者都会的3人中选1人说英语，那能说日语的共有5-1=4人，共3×4=12种．因此共有37种选法．四、小结 ：分类计数原理和分步计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题，区别在于：分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，每一种方法只属于某一类，用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤，只有各个步骤都完成才算做完这件事 应用两种原理解题：1．分清要完成的事情是什么；2．是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；3．有无特殊条件的限制五、课后作业：1．用0，1，2，3，4，5这六个数字，（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？（5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？解（1）分三步：①先选百位数字．由于0不能作百位数，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法．由乘法原理知所求不同三位数共有5×5×4=100个．（2）分三步：(1)百位数字有5种选法；(ii)十位数字有6位选法；(iii)个位数字有6种选法．所求三位数共有5×6×6=180个．（3）分三步：①先选个位数字，有3种选法；②再选百位数字，有4种选法；③选十位数字也是4种选法，所求三位奇数共有3×4×4=48个．（4）分三类：①一位数，共有6个；②两位数，共有5×5=25个；③三位数共有5×5×4=100个．因此，比1000小的自然数共有6+25+100=131个．（5）分4类：①千位数字为3，4之一时，共有2×5×4×3=120个；②千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3=48个；③千位数字是5，百位数字是4，十位数字为0，1之一时，共有2×3=6个；④还有5420也是满条件的1个．故所求自然数共120+48+6+1=175个．说明：⑴排数字问题是最常见的一种类型，要特别注意首位不能排0．⑵第（5）题改成：可以组成多少个大于3000，小于5421的四位数？答案：588个2．求下列集合的元素个数．（1）{(,)|,,6}M x y x y N x y=∈+≤；（2）{(,)|,,14,15}=∈≤≤≤≤．H x y x y N x y解：(1)分7类：①0x=，y有5种取法；x=，y有6种取法；③2x=，y有7种取法；②1④3x=，y只x=，y有2种取法；⑦6 x=，y有4种取法；⑤4x=，y有3种取法；⑥5有1种取法因此M共有765432128++++++=个元素(2)分两步：①先选x，有4种可能；②再选y有5种可能．由乘法原理，H共有4520⨯=个元素3．有四位同学参加三项不同的比赛，（1）每位同学必须参加一项竞赛，有多少种不同的结果？（2）每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同的结果？解：（1）每位学生有三种选择，四位学生共有参赛方法：333381⨯⨯⨯=种；（2）每项竞赛被选择的方法有四种，三项竞赛共有参赛方法：44464⨯⨯=种．4．①设{,,,,,}B x y z=，从A到B共有多少个不同映射？A a b c d e f=，{,,}②6个人分到3个车间，共有多少种分法？解：（1)分6步：先选a的象，有3种可能，再选b的象也是3种可能，…，选f象也有3种=种不同映射；可能，由乘法原理知，共有63729(2)把6个人构成的集合，看成上面(1)中之A，3个车间构成的集合，看成上面的B，因此，所求问题转化为映射问题，如上题所述，共有729种方案5．甲、乙、丙、丁四个人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同的取法?解：列表排出所有的分配方案，共有3+3+3=9种，或33119⨯⨯⨯=种．六、板书设计（略）七、教学后记：。