知识点233 :两点间的距离(解答) 考点：两点间的距离；勾股定理。 专题：计算题；数形结合。 分析：(1)根据已知条件求出 A、B两点的坐标，再根据公式计算即可解答. (2) 根据公式直接代入数据计算即可解答. 解答：解：(1)根据题意得：A ( 0, 4), B (— 2, 0) •••(分)
在 Rt △ AOB 中，根据勾股定理： 扛「「-.J' .‘I-\].「•( 3 分)
(2)过M点作x轴的垂线 MF，过N作y轴的垂线NE, MF , NE交于点D ••- (4分) 根据题意：MD=4 —(— 1) =5 , ND=3 —(— 2) =5 …(5 分)
则：MN= ” ， …（6 分）
点评：本题考查了两点间的距离公式，属于基础题，关键是掌握设有两点 距离为 AB= ■ , -_ 一 I .
2.已知线段 AB=8cm ,回答下列问题：
(1) 是否存在点 C,使它到A、B两点的距离之和等于 6cm ,为什么？ (2) 是否存在点 C,使它到A、B两点的距离之和等于 8cm ,点C的位置应该在哪里？为什么？这样的点 C有多 少个？ 考点：两点间的距离。 分析：(1)不存在，可以分点 C在AB上或AB外两种情况进行分析； (2) 存在，此时点 C在线段AB上,且这样的点有无数个. 解答：解：(1)①当点C在线段AB上时，AC+BC=8 ,故此假设不成立； ②当点C在线段AB外时，由三角形的构成条件得 AC+BC > AB,故此假设不成立；
1. (2011?呼伦贝尔)根据题意，解答问题:
(1)如图① ，已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，求线段 AB的长. (3, 4)与点 N (— 2,— 1)
之间的距离.
A (X1, y1), B (X2, y2),则这两点间的 所以不存在点 C,使它到A、B两点的距离之和等于 6cm. (2)由(1)可知，当点C在AB上，AC+BC=8，所以存在点 C,使它到A、B两点的距离之和等于 8cm,线段是 由点组成的，故这样的点有无数个. 点评：此题主要考查学生对比较线段长短的理解及运用.
3.在直线a上任取一点 A，截取AB=16 cm，再截取AC=40 cm，求AB的中点D与AC的中点E之间的距离.
考点： 两点间的距离。 专题： 计算题；分类讨论。
分析： 题中没有指明点 C的具体位置故应该分两种情况进行分析，从而求得 DE的长.
解答： 解：(1)如右图，T AB=16 cm , AC=40 cm，点D , E,分别是 AB , AC的中点
A D B E C AD= =AB=8cm , AE==AC=20cm 2 2
••• DE=AE - AD=20 - 8=12cm ;
(2) 如上图，••• AB=16 cm , AC=40 cm，点D, E,分别是 AB, AC的中点 • • AD^ —AB=8cm , AE=：AC=20cm 2 2
• DE=AE+AD=20+8=28cm . 故AB的中点D与AC的中点E之间的距离为12cm或28cm . 点评：此题主要考查学生对比较线段的掌握情况，注意分类讨论思想的运用.
4.已知线段 AB=10cm，回答下列问题
(1) 是否存在点 P,使它到A、B两点的距离之和小于 10 cm?为什么？ (2) 当点P到A , B两点的距离之和大于 10 cm时，点P 一定在直线 AB外吗？点P有几种存在方式？ 考点：两点间的距离。 专题：分类讨论。 分析：(1)根据两点之间线段最短进行判断； (2)结合三角形的三边关系进行解答，点 P的存在方式，应按在直线 AB上和在直线AB外两种情况进行讨论. 解答：解：(1)由两点之间线段最短，可知不存在点 P,使它到A、B两点的距离之和小于 10 cm . (2)点P不一定在直线 AB夕卜. 点P可以在线段AB的延长线上，可以在线段 BA的延长线上，还可以在直线 AB夕卜. 所以点P有3种存在方式. 点评：解决此类问题的关键是理解线段的性质：两点之间线段最短.
5. 已知线段AB=6cm，在同一平面内讨论下列问题：
(1) 是否存在一点 C,使B、C和A、C之间的距离相等？在什么情况下， C才是线段AB的中点？
(2) 是否存在一点 C,使它到A、B两点的距离之和最小？若存在，点 C的位置在哪里？最小距离是多少?
(3) 当点C到A、B两点之间的距离之和大于 6cm时，点C的位置在什么地方？试举例说明. (4) 由(2), (3),你能得出一个什么结论？ 考点：两点间的距离。 分析：(1)根据等腰三角形的特点和线段的中点进行解答； (2) 根据两点之间线段最短进行解答； (3) 当C在线段AB外时，根据三角形的三边关系可解答； (4) 结合点C到A、B两点之间的距离之和进行总结. 解答：解：(1)存在，当C在AB上时，C才是线段AB的中点； (2)存在，当C才是线段AB的中点时距离最短，最短距离为 6cm ； (3) 当C在线段AB外时，C到A、B两点之间的距离之和大于 6cm .例如点A、B、C为三角形的三个顶点时; (4) 点C到A、B两点之间的距离之和一定不小于 6cm. 点评：本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解•注意运用线段 的性质：两点之间线段最短.
6. A、B、C、D、E 5个车站的位置如图所示，分别求出 D、E两站和A、E两站的距离(单位：km).
考点：两点间的距离。 分析：在一条直线或线段上的线段的加减运算和倍数运算，首先明确线段间的相互关系，根据题目中的几何图形， 再根据题意进行计算. 解答：解：根据题意可得： DE=CE - CD= (3a+2b)-( 2a-b) = (a+3b) km; (3 分) AE=AB+BC+CE=a+b+3a+2b= (4a+3b) km . (6 分)
点评：利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于 解题的简洁性•同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点.
7.如图，点 C在线段 AB上，AC=10cm , CB=8cm，点M、N分别是 AC、BC的中点.
(1) 求线段MN的长； (2) 若点C为线段AB上任一点，满足AC+CB=a (cm), M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？ 并说明理由. (3) 若点C在线段AB的延长线上，且满足 AC - BC=bcm , M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想 MN的长度 吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由. I --- 1 ------ 1 --- 1 ---- 1 A M C N B
考点：两点间的距离；比较线段的长短。 分析：(1)根据 点M、N分别是AC、BC的中点”先求出MC、CN的长度，再利用 MN=CM+CN 即可求出MN 的长度； (2) 与(1)同理，先用 AC、BC表示出MC、CN , MN的长度就等于 AC与BC长度和的一半；
(3) 根据中点定义可得： AM=MC= AC , CN=BN= CB ,再根据线段之间的和差关系进行转化即可. 2 2
解答：解：(1)v点M、N分别是AC、BC的中点，
/• CM= AC=5cm , CN= BC=4cm , 2 2
••• MN=CM+CN=5+4=9cm ；
(2) MN= —a (cm), 2
理由如下：
同(1)可得 CM= AC , CN= BC , 2 2
• MN=CM+CN= —AC+—BC=— (AC+BC ) = a (cm). 2 2 2 2
(3) MN= b (cm), 2
如图所示： 根据题意得：AC - CB=b ,
11~1 < ------- AM=MC= AC , CN=BN= CB ,
2 2
••• NM=BM+BN= (MC - BC) + BC= ( AC - BC) + BC= AC+ (- BC+ BC) = AC - BC= (AC - BC) = b 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(cm). A N C 点评：此题主要考查了线段的中点，关键是准确把握线段之间的倍数关系，理清线段之间的和差关系，进行等量代 换即可.
&已知，如图， B, C两点把线段 AD分成2: 5: 3三部分，M为AD的中点，BM=6cm，求CM和AD的长.
A B V C D 考点：两点间的距离。 专题：方程思想。 分析：由已知B, C两点把线段 AD分成2: 5: 3三部分，所以设 AB=2xcm , BC=5xcm , CD=3xcm，根据已知分 别用x表示出AD , MD，从而得出BM，继而求出x，则求出CM和AD的长.
解答：解：设 AB=2xcm , BC=5xcm , CD=3xcm 所以 AD=AB+BC+CD=10xcm 因为M是AD的中点，
所以 AM=MD= AB=5xcm 2
所以 BM=AM - AB=5x - 2x=3xcm 因为 BM=6 cm , 所以 3x=6 , x=2 故 CM=MD - CD=5x - 3x=2x=2 >2=4cm , AD=10x=10 >2=20 cm .
点评：本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用 它的不同表示方法，有利于解题的简洁性.同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十 分关键的一点.
9.如图，A、B、C、D四点在同一直线上， M是AB的中点，N是CD的中点.
(1) 若 MB=3 , BC=2 , CN=2.5，贝U AD= 13 . (2) 若 MN=a , BC=b，用 a、b 表示线段 AD . i _________ i __________ J ________ i __________ J ___________ J A M B C N D
考点：两点间的距离。 专题：计算题。 分析：(1)由已知M是AB的中点，N是CD的中点，可求出 AB和CD，从而求出AD ;
(2)由已知 M是AB的中点，N是CD的中点，推出 AM=MB= AB , CN=ND= CD，则推出 AB+CD=2a - 2b, 2 2
从而得出答案. 解答：解：(1)v M是AB的中点，N是CD的中点， • AB=2MB=6 , CD=2CN=5 ,
• AD=AB+BC+CD=6+2+5=13 , 故答案为：13;
(2)v M是AB的中点，N是CD的中点， • AM=MB= AB, CN=ND= CD , 2 2