• 系统的Bode图及Nyquist曲
线
GK
s
s
500
10s 3s
1
s
50
3
1 s 1s 1
10 3
第五章 控制系统的频域分析与综合
5-10
2008
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Nyquist稳定判据举例（续2）
• 例5.5：
GK
s
s2 s2
广义D型围线
第五章 控制系统的频域分析与综合
5-11
2008
•如何进行围线映射
•如何确定F(s)相应的映射围线对原点的包围圈数N，并
将F(s)和系统的开环频率特性G j H 相j关 联
第五章 控制系统的频域分析与综合
5-6
2008
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Nyquist判据的推导
• 对问题（1）:构造围线Q,称之为“D型围线”
•对问题（2）:围线Q三部分分别映射，得出映射围线F(s)
zNp
•若z=0,系统稳定 •若z不为零，则系统不稳定
第五章 控制系统的频域分析与综合
5-8
2008
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• Nyquist稳定判据应用举例
– 例5.4
GK
s
s
500
10s 3s
1
50
3
s 10
1
s 3
1s
1
第五章 控制系统的频域分析与综合
5-9
2008
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Nyquist稳定判据应用举例（续1）
2008
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Nyquist稳定判据举例（续5）
• Nyquist稳定判据的另一种描述形式
保证系统稳定的增益K的范围是: 开环频率特性的相角为-1800时, 幅值小于1.
通过正虚轴的映射与(-1,j0)点的 相对位置确定系统的稳定性.
保证系统稳定的增益K的范围是: 开环频率特性的相角为-1800时, 幅值大于1.
n-:为自上而下的穿越数(负穿越数)，而始自负实轴的（-1 ，-∞）区间向下穿越为半次负穿越。
第五章 控制系统的频域分析与综合
5-16
2008
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•基于Bode图的奈奎斯特稳定判据
在Bode图上:(与极坐标图上相反) n+:为自上而下的穿越数(正穿越数)，而始自-1800相位线向
下的穿越为半次正穿越。 n-:为自下而上的穿越数(负穿越数)，而始自-1800相位线向
第五章 控制系统的频域分析与综合
5-5
2008
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•Nyquist判据的推导 – 奈奎斯特判据
• 指导思想：如果有一个s平面的封闭围线能包围 整个右半平面，则该封闭围线在F(s)平面上的映 射围线包围原点的圈数N应为
N zp
实现该指导思想应解决三个问题：
•如何建立一个能包围整个s右半平面的围线，且该围线 符合柯西幅角定理
5-4
2008
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•Nyquist判据的推导
设F(s)在围线A及A内除有限数目的极点外是解析的，F(s) 在A上既无极点也无零点，则当围线A的走向为顺时针时， 有：
N zp
其中：N为映射围线B包围原点的圈数，顺时针为正，逆 时 针为负。z为F(s)在围线A内的零点数目，p为F(s)在 围线A内的极点数目。
•对问题（3）:由映射围线F(s)可得到其对原点的包围圈数N 进而得到Nyquist曲线对(-1,j0)点的包围圈数
第五章 控制系统的频域分析与综合
5-7
2008
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•Nyquist判据的推导
– Nyquist判据
• 若系统开环传递函数在s右半平面有p个极点， 且Nyquist曲线对（-1，j0)点包围的圈数为 N(N>0为顺时针，N<0为逆时针），则系统闭 环极点在s右半平面的数目为
上的穿越为半次负穿越。
第五章 控制系统的频域分析与综合
5-17
2008
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• 基于Bode图的奈奎斯特稳定判据
– 若系统开环传递函数在s右半平面有p个极点，其 Bode图的正、负穿越数分别为n 和n , 则系 统闭环极点在s右半平面的数目为
z 2 n n p
• 若z=0系统稳定 • 若z不等于零，则系统不稳定。
第五章 控制系统的频域分析与综合
5-14
2008
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Nyquist稳定判据举例（续6）
• 例5.7
GK
s
s 2
2sK2s来自2第五章 控制系统的频域分析与综合
5-15
2008
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• 基于Bode图的奈奎斯特稳定判据
– 穿越数与包围次数
在极坐标图上:
n+:为自下而上的穿越数(正穿越数)，而始自负实轴的（-1 ，-∞）区间向上穿越为半次正穿越。
第五章 控制系统的频域分析与综合
5-2
2008
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– Nyquist判据的推导
点的映射 围线的映射
m
s zi
F s i1
n
s
pj
j 1
第五章 控制系统的频域分析与综合
5-3
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•Nyquist判据的推导
– 柯西幅角定理
F s s 2
s
第五章 控制系统的频域分析与综合
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Nyquist稳定判据举例（续3）
• 例5.6
GK
s
ss
K
3s
5
第五章 控制系统的频域分析与综合
5-12
2008
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Nyquist稳定判据举例（续4）
• 例5.7
GK
s
60.33s 1 s s 1
GK
s
1.50.33s 1 s s 1
第五章 控制系统的频域分析与综合
5-13
2008
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第3节：奈奎斯特判据
• 奈奎斯特(Nyquist)判据的推导
– 几个基本概念
R(s)
C(s)
G(s)
H(s)
令：
Gs
NG DG
s s
,
H
s
NH DH
s s
则有：
GsH
s
NG DG
sNH sDH
s s
,1
GsH
s
DG
sDH s NGsNH DG sDH s
s
第五章 控制系统的频域分析与综合
5-1
2008
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GsH
s
NG sNH DG sDH
ss ,1
GsH
s
DG sDH s NG sNH DG sDH s
s
而
GB s
1
Gs GsH s
NG sDH s DG sDH s NG sNH
s
对比，有
1 Gs H s的极点=G(s)H(s)的极点
1 G s H s的零点 闭环极点
第五章 控制系统的频域分析与综合
5-18
2008
第4节自动控制原稳理A定I 裕度
在设计系统时，对系统的要求：
• 系统是稳定的。
• 系统必须具备适当的相对稳定性。
频域中衡量相对稳定性的指标：稳定裕度
稳定裕度表现:
Gk(jw)=G(j)H(j)曲线离(1,j0)点远近, 原因： G(j)H(j)曲线穿越(1,j0)点，系统临界稳定。
G(j)H(j)曲线离(1,j0)点越远，系统稳定程度越高。