数学运算之几何问题专题
面积基本公式：（1）三角形的面积S＝1/2ah （2）长方形的面积S＝a×b
（3）正方形的面积S＝a2 （4）梯形的面积S＝(a+b)/2×h
（5）圆的面积=πr2＝1/4πd2
（1）等底等高的两个三角形面积相同；
（2）等底的两个三角形面积之比等于高之比；
（3）等高的两个三角形面积之比等于底之比。
解决面积问题的核心是“割、补”思维，即当我们看到一个关于求解面积的问题，不要立刻套用公式去求解，这样做很可能走入误区，最后无法求解或不能快速求解。对于此类问题通常的使用的方法就是“辅助线法”即通过引入新的辅助线将图形分割或者补全为很容易得到的规则图形，从而快速求得面积。
体积基本公式：(1)长方体的体积V＝abc (2)正方体的体积V＝a3
(3)圆柱的体积V＝Sh ＝ πr2， S为圆柱底面积。
(4)圆锥的体积V＝1/3Sh ＝1/3πr2h ，S为圆锥底面积。
周长基本公式：（1）长方形的周长C＝(a＋b)×2
（2）正方形的周长C＝a×4 （3）圆的周长C＝2πr ＝πd
例1、现有边长1米的一个木质正方体，已知将其放入水里，将有0.6米浸入水中，如果将其分割成边长0.25米的小正方体，并将所有的小正方体都放入水中，直接和水接触的表面积总量为（）。
A3.4平方米B9.6平方米C13.6平方米D16平方米
【解析】边长1米的一个木质正方体放入水里，有0.6米浸入水中，说明要考虑水的浮力的作用，并且告诉了浮力的大小。可以得到的小正方体有64个，每一个直接和水接触的表面积包括一个底面和4个侧面的60%。根据题意，直接和水接触的表面积总量为64×（0.25×0.25+40.6×0.25×0.25）=13.6（平方米）。答案选C。
例2、甲、乙两个容器均有50厘米深，底面积之比为5∶4，甲容器水深9厘米，乙容器水深5厘米，再往两个容器各注入同样多的水，直到水深相等，这时两容器的水深是（）。
A20厘米B25厘米C30厘米D35厘米
【解析】不妨假设两个容器的底面积分别为5和4，设注入同样多的水后相等的水深为x厘米，根据题意，注入水的体积相等，得到方程5（x-9）=4（x-5），解方程得x=25（厘米）。答案选B。
例3、半径为5厘米的三个圆弧围成如右图所示的区域，其中AB弧与AD弧为四分之一圆弧，而BCD弧是一个半圆弧，则此区域的面积是多少平方厘米?()
A25B10+5πC50D
【解析】作辅助线如右图所示，显然所求区域面积等于矩形BDEF的面积，即5×10=50（平方厘米）。答案选C。
例4、一个边长为8的正立方体，由若干个边长为1的正立方体组成，现在要将大立方体表面涂漆，请问一共有多少个小立方体被涂上了颜色?()
A296B324C328D384
【解析】解法一：大立方体的表面积就是被涂了色的小立方体的面数，等于8×8×6=384（面），其中顶点上的8个小立方体每个都有3个面被涂了颜色，12条棱每条棱上有6个小立方体每个都有2个面被涂了颜色。可以想象，被涂色的小立方体的个数与被涂了色的小立方体的面数相比，3个面被涂了颜色的小立方体算了3次，2个面被涂了颜色的小立方体算了2次，因此，被涂色的小立方体的个数=384-2×8-12×6=296（个）。答案选A。
解法二：小立方体共有83=512（个），其中在内部（没有一个面在外侧）的共有63=216（个），则在外部的共有512-216=296（个），因此，被涂色的小立方体有296个。答案选A。
例5、右图中心线上半部与下半部都是由3个红色小三角形，5个蓝色小三角形与8个白色小三角形所组成。当把上半图沿着中心线往下折叠时，有2对红色小三角形重合，3对蓝色小三角形重合，以及有2对红色与白色小三角形重合，试问有多少对白色小三角形重合?()
A4B5C6D7
【解析】依题意，该图共有6个红色小三角形，10个蓝色小三角形，16个白色小三角形，折叠后有6个红色小三角形，6个蓝色小三角形，2个白色小三角形重合，可以想象剩余的4个蓝色小三角形要与4个白色小三角形重合，于是剩余的10个白色小三角形重合，即5对。答案选B。
例6、半径为1厘米的小圆在半径为5厘米的固定的大圆外滚动一周，小圆滚了几圈?()
A4B5C6D7
【解析】小圆在大圆外滚动一周的圈数等于大圆周长与小圆周长比较的倍数。圆周等于2，即圆周的倍数等于半径的倍数，即答案为5。选B。
例7、欲建一道长100尺，高7尺的单层砖墙，能够使用的砖块有两种：长2尺高1尺或长1尺高1尺(砖块不能切割)。垂直连接砖块必须如右图所示交错间隔，且墙的两端必须砌平整。试问至少需要多少砖块才能建成此墙?()
A347B350C353D366
【解析】由墙高7尺可知共需砌7层，要用砖尽量少，则第1、3、5、7层用50块长2尺高1尺的砖，2、4、6层两头各用一块长1尺高1尺的砖，中间用49块长2尺高1尺的砖。所以共需用砖4×50+3×（49+2）=353（块）。答案选C。
例8、设有边长为2的正立方体。假定在它顶上的面再粘上一个边长为1的正立方体(如右图)。试问新立体的表面积比原立方体的表面积增加的百分比最接近于下面哪一个数?()
A10B15C17D21
【解析】原立方体的表面积为：2×2×6=24，新立方体的表面积为：2×2×6+1×1×4=28，增加的百分比为：28-2424≈17%。答案选C。
例9、一个油漆匠漆一间房间的墙壁，需要3天时间。如果用同等速度漆一间长、宽、高都比原来大一倍的房间的墙壁，那么需要多少天?()
A3B12C24D30
【解析】长、宽、高都比原来大一倍，表面积就是原来的4倍，因此需要3×4=12（天）。答案选B。 例10、对右图方格板中的两个四边形，下列表述正确的是()。
A
B
C
D
【解析】将两个四边形分成四个三角形，如下图所示，四个三角形等底等高，面积相等，因此，两个四边形有相同的面积；同时，2，4完全相同，1和3的两条底边相等，第二、三条边3比1长。因此，Ⅰ的周长小于Ⅱ的周长。答案选D。
例11、设S、R、T三点为一等边三角形的三个顶点，X、Y、Z为△SRT三边的中点。若用此六个点中的任意三个点作顶点，可有多少类面积不等的三角形?()
A2B3C4D5
【解析】如图所示，可以看到，不同形状的三角形有△SRT、△XRY、△SYR、△SXY四类，其中△SXY和△XRY面积相等，所以，共有3类面积不等的三角形。答案选B。
例12、一家冷饮店，过去用圆柱形的纸杯子装汽水，每杯卖2元钱，一天能卖100杯。现在改用同样底面积和高度的圆锥形纸杯子装，每杯只卖1元钱。如果该店每天卖汽水的总量不变，那么现在每天的销售额是过去的多少?（）
A50％B100％C150％D200％
【解析】过去每天的销售额是2×100=200（元）。由于等底等高的圆柱体的体积是圆锥体的3倍，那么如果该店每天卖汽水的总量不变，每天要卖300杯，则现在每天的销售额是1×300=300（元），是原来的1.5倍。答案选C。
例13、一个长方体形状的盒子长、宽、高分别为20厘米、8厘米和2厘米，现在要用一张纸将其六个面完全包裹起来，要求从纸上剪下的部分不得用作贴补，请问这张纸的大小可能是下列哪一个?（）
A25厘米、宽17厘米B26厘米、宽14厘米
C24厘米、宽21厘米D24厘米、宽14厘米
【解析】纸的面积一定大于或等于长方体的表面积，通过运算，符合条件的只有C。答案选C。
例14 如图，三角形ABC的面积为1，并且AE=3AB，BD=2BC，那么△BDE的面积是多少？
解：在△BDE与△ABC中，∠DBE+∠ABC=180°．因为AE=3AB，所以BE=2AB．又因为BD=2BC，所以S△BDE=2×2×S△ABC=4×1=4． 答：△BDE的面积是4．
例15 如图，在△ABC中，AB是AD的6倍，AC是AE的3倍．如果△ADE的面积等于1平方厘米，那么△ABC的面积是多少？
解：在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠DAE．因为AB=6AD，AC=3AE，所以S△ABC=6×3×S△ADE=18×1=18（平方厘米）．
答：△ABC的面积为 18平方厘米．
例16 如图，将△ABC的各边都延长一倍至 A′、 B′、 C′，连接这些点，得到一个新的三角形A′B′C′．若△ABC的面积为1，求△A′B′C′的面积．
解：在△A′B′B与△ABC中，∠A′BB′+∠ABC=180°．因为 AB=AA′，所以A′B=2AB，又因为B′B=BC，所以S△A′B′B=1×2×S△ABC=2S△ABC=2．
同理S△B′C′C=2×1×S△ABC=2． S△A′C′A=2×1×S△ABC=2．
所以S△A′B′C′=S△A′B′B+S△B′C′C+S△A′C′A+S△ABC
=2+2+2+1
=7
答：△A′B′C′的面积为7．
例17 如下图，将凸四边形ABCD的各边都延长一倍至 A′、B′、 C′、D′，连接这些点得到一个新的四边形A′B′C′D′，若四边形A′B′C′D′的面积为30平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少？
分析 要求四边形ABCD的面积，必须求出四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的关系，因而就要求出△A′B′B、△B′C′C、△C′D′D、△A′D′A与四边形ABCD的关系．
解：连结AC、BD．
在△A′B′B与△ABC中，∠A′BB′+∠ABC=180°．因为A′A=AB，所以A′B=2AB，又因为 B′B=BC，所以有S△A′B′B=2×1×S△ABC=2S△ABC．
同理 有S△B′C′C=2×1×S△BCD=2S△BCD S△C′D′D=2×1×S△ADC=2S△ADC
S△A′D′A=2×1×S△ABD=2S△ABD．
所以 S四边形A′B′C′D′=S△A′B′B+S△B′C′C+S△C′D′D+S△A′D′A+S四边形ABCD
=2S△ABC+2S△BCD+2S△ADC+2S△ABD+S四边形ABCD
=2（S△ABC+S△ADC）+2（S△BCD+S△ABD）+S四边形ABCD
=2S四边形ABCD+2S四边形ABCD+S四边形ABCD
=5S四边形ABCD
则S四边形ABCD=30÷5=6（平方厘米）．
答：四边形ABCD的面积为6平方厘米．
B1C1=C1C，△A1B1C1的面积为1平方厘米，则△ABC的面积为多少平方厘米？