[f a 4f( ) f b ]
辛卜生公式为 a
6
2
应用辛卜生公式得
11
10
10
dx
[f 0 4f( ) f 1]
01 x
6
2
11
11
[ 61
0
4 1
1
] 11
25
2
36
四、证明题（本题 10 分） 确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有
证明题答案
h
f x dx
h
A 1f
h
A0 f 0
（ 2）请用牛顿法求出近似根，精确到
计算题 3.答案
0.0001.
3. 解 f x x3 3x 1 ， f 1
3 0， f 2 1 0
f x 3x2 3 ， f x 12x ， f 2 24 0 ，故取 x 2 作初始值
迭代公式为
xn xn 1
f xn 1
f xn 1
xn 1
xn3 1
3xn 1
1 (或 2xn3 1
一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1. 3.142 和 3.141 分别作为 的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字 .
A．4和 3
B．3 和 2
C． 3 和 4
D．4 和 4
2
1
21
f x dx f 1 Af ( ) f (2)
2. 已知求积公式 1
6
36
，则 A ＝（ ）
1
1
A． 6 B． 3
0.2x1
0.2x2
0.84 (m
0,1...)
X 1 0.720 00,0.830 00,0.840 00 用雅可比迭代公式得
X 1 0.720 00,0.902 00,1.164 40 用高斯－塞德尔迭代公式得
3. 用牛顿法求方程 x3 3x 1 0 在 1,2 之间的近似根
（ 1）请指出为什么初值应取 2？
x2 x1
21
，
f x2, x3
5.
y0 1
三、计算题（每题 15 分，共 60 分）
1
y
1. 已知函数
1
x 2 的一组数据：
求分
段线性插值函数，并计算 f 1.5 的近似值 .
计算题 1.答案
1.
解 x 0,1 ， L% x
x1 x 0
1
0.5 1 0.5x
01 10
x
1,2
L% x ，
x2
x1
0.5
0.2
12
21
0.3x 0.8
（ 2）
0
对于初始值 X
0,0,0 ，应用雅可比迭代公式、 高斯－塞德尔迭代公
式分别计算 X 1 （保留小数点后五位数字） .
计算题 2.答案
1.解 原方程组同解变形为
x1 0.1x2 0.2x3 0.72 x2 0.1x1 0.2x3 0.83 x3 0.2 x1 0.2x2 0.84
雅可比迭代公式为
又由于
h x3dx
h
3
h
h h3
h
3
3
h
x4 dx
h
4
h
h h4
h
3
3
h
h
4
h
f x dx f h
f0
fh
故h
3
3
3
具有三次代数精确度。
一、
填空（共 20 分，每题 2 分）
1. 设 x 2.3149541... ，取 5 位有效数字，则所得的近似值 x= .
f x1, x2
2.设一阶差商
f x2 f x1 1 4 3
1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
1. 设 X (2,3, 4) T , 则 || X ||1
， || X ||2
.
2. 一阶均差 f x0 , x1
31 3
33
3. 已知 n 3时，科茨系数 C0
, C1 8
C2
3
8 ，那么 C3
4. 因为方程 f x
内有根。
x 4 2x 0 在区间 1,2 上满足
，所以 f x 0 在区间
y y x2 y
5. 取步长 h 0.1，用欧拉法解初值问题 y 1 1 的计算公式
.
填空题答案
1. 9 和 29
f x0 f x1
2.x0 x11来自3.84.
f1f 2 0
0.1
yk 1
yk 1.1
1
2
0.1k
,k
0,1,2 L
A1 f h
3 次代数精确度
证明：求积公式中含有三个待定系数， 即 A 1, A0 , A1 ，将 f x 并令其左右相等，得
1,x,x2 分别代入求积公式，
A 1 A0 A1 2h h( A 1 A1) 0
h2( A 1 A1) 2 h3 3
1
4h
A 1 A1 h A0
得
3，
3 。所求公式至少有两次代数精确度。
）敛速。
A ．超线性 B．平方 C．线性
D．三次
5. 用列主元消元法解线性方程组 程（ ） .
x1 2 x2 x3 0
2 x1 2 x2 3 x3 3
x1 3 x2 2
作第一次消元后得到的第
3 个方
A ． x2 x3 2
B． 2x2 1.5x3 3.5
C． 2x2 x3 3
单项选择题答案
D． x2 0.5x3 1.5
1 C． 2
2 D． 3
3. 通过点 x0, y0 , x1, y1 的拉格朗日插值基函数 l0 x ,l1 x 满足（ ）
A ． l0 x0 ＝ 0， l1 x1 0
B． l0 x0 ＝ 0， l1 x1 1
C． l0 x0 ＝ 1， l1 x1 1
D． l0 x0 ＝ 1， l1 x1 1
4. 设求方程 f x 0 的根的牛顿法收敛，则它具有（
x1m 1 x2m 1
m1
x3
0.1x2m 0.1x1 m
m
0.2x1
0.2 x3m 0.2x3m
m
0.2 x2
0.72 0.83 0.84 (m
0,1...)
高斯－塞德尔迭代法公式
x1m 1 x2m 1
m1
x3
0.1x
m 2
0.2 x3 m
0.72
0.1x1m 1 0.2x3m 0.83
m1
m1
所以分段线性插值函数为
L% x 1 0.5 x x 0,1 0.8 0.3 x x 1,2
L% 1.5 0.8 0.3 1.5 0.35
2. 已知线性方程组
10x1 x2 2 x3 7.2 x1 10x2 2x3 8.3 x1 x2 5 x3 4.2
（ 1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；
x3 x2
0.00006 0.0001
方程的根 x 1.87939
4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分
计算题 4.答案
1 1 dx 01 x .
b
ba
f x dx
fa fb
4 解 梯形公式 a
2
应用梯形公式得
11
11 1
dx [
] 0.75
01 x 2 1 0 1 1
b
ba
ab
f x dx
1 )
3x
2 n
1
3
3 xn2 1 1 ， n 1,2,...
2 33 1
x1 x0 2 ，
3
22 1
1.88889 x2 ，
2 1.888893 1 3 1.888892 1
1.87945
x2 x1 0.00944 0.0001
2 1.879453 1 x3 3 1.879452 1
1.87939 ，