2010年第七届苏北数学建模联赛题目不确定环境下供应链的生产与订购决策问题摘要供应链管理作为一种新型企业关系管理模式在现代市场竞争中为企业生产和发展提供了一种工具，本文就A题给出的在不确定环境下供应链的生产和订购决策问题进行研究，展开讨论、分析和建立数学模型，利用数学软件进行求解。

对于问题一：只考虑包含一个生产商和一个销售商的供应链，在假设商品的最终需求量是确定的，而生产商生产商品量是不确定的情况下采用线性规划的方法建立数学模型，分别建立生产商和销售商获得利润的两个方程式，针对两个方程中的一些变量进行限制，当生产商和销售商的利润同时达到最大值时就是该供应链的最优解，最后利用lingo软件进行编程和求解。

对于问题二：在问题一的供应链的基础上，增加了一个条件那就是我们商品的市场需求量也是随机的，并且有一个商品市场需求量的期望值μ=400，需求量的波动区间是[0.8,1.2],利用正态分布中的3σ原则,求解出σ,再利用正态分布的密度公式Ρ(χ)=1√2∗π∗σ∗e−(x−μ)22∗σ2,−∞<x<+∞列出一个相关式求解出求解出销售商的最优订购量O i再利用线性规划的方法将所求的O i做为一个已知数列解一个生产商所获利润的方程，并且加入相应的限制条件就可求出生产商最优计划产量的最优解.对于问题三：考虑在实际生产中，大多数供应链具有两级不确定性，即原产品生产的不确定性和产成品生产的不确定性；总体再利用线性规划的相关性列出两个线性方程，以及对其加入相应的限制条件，求解出供应链中二级生产商的最优订购量和一级生产商的最优计划产量。

关键词：供应链线性规划正态分布最优订购量最优计划产量1 问题的重述1.1背景随着现在经济的快速发展,在企业发展和经济管理领域中，不确定环境下供应链的研究是使我们企业和销售商能更好的协调供应链上物料物、信息流、价值流、保持灵活和稳定的需求关系，使整个供应链上生产商和销售商的效益达到最大，是一个关系到国计民生的重要问题。

供应链是一种新的企业组织形态和运营方式,包括从客户需求信息开始经过原材料供应、生产批发销售等环节,到最后把产品送到最终用户的各项制造和商业活动。

供应链运作过程中需要应对生产和需求的不确定性。

在不确定环境下，研究供应链成员的生产与订购决策问题，具有重要的理论和现实意义。

1.2 问题对于第一问和第二问，只考虑包含一个生产商和一个销售商的供应链，即销售商向生产商订购商品，生产商将商品按批发价格批发给销售商，销售商将商品按销售价格销售给最终顾客。

其中相关已知条件有如下表所示：（1）若假设商品的最终需求量是确定的，即商品市场需求量为400。

而生产商生产商品量是不确定的，即由于受到各种随机因素的影响，商品实际产量可能不等于计划产量，呈随机波动，若生产商计划生产量为Q，则商品生产量的波动区间为[0.85,1.15]，即产品实际产量的区间为[0.85Q,1.15Q].。

建立数学模型，确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。

根据建立的数学模型，求解供应链中销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。

（2）在问题（1）的供应链中，如果商品的市场需求量也是随机的，商品市场需求量的期望为400，市场需求量的波动区间为[0.8,1.2]，即实际市场需求量的区间为[320,480]。

请建立数学模型，确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。

根据建立的数学模型，求解供应链中销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。

对于第三问，考虑在实际上，大多数供应链具有两级生产不确定性，即原产品生产的不确定性和产成品生产的不确定性，一级生产商生产原产品（或原材料），二级生产商向一级生产商订购原产品（或原材料），并通过加工原产品（或原材料）生产产成品，进而销售给最终顾客，两级生产均具有不确定性。

相关的已知条件如下表所示：（3）若假设产成品的市场需求量是确定的，即产成品市场需求量为280。

原产品生产量的波动区间为[0.85,1.15]，产成品生产量的波动区间为[0.9,1.1]。

请建立数学模型，研究在两级生产不确定的供应链中，二级生产商（产成品生产商）的最优订购量和一级生产商（原材料或原产品生产商）的最优计划产量。

根据建立的数学模型，求解供应链中二级生产商的最优订购量和一级生产商的最优计划产量。

2符号说明P1销售商的利润P2生产商的利润P3一级生产商利润P4二级生产商利润Q1销售商订购量Q2二级生产商的订购量X1商品生产量的波动区间和原产品生产量的波动区间系数X2产成品生产量的波动区间系数X3实际市场需求量波动系数Q生产商和一级生产商的最优计划生产量μ商品市场需求量的期望值3模型假设1.生产商的计划生产量始终大于订购量；2.市场的最终需求是确定的；3.商品生产量波动是连续的；4.市场需求量波动是连续的且服从正态分布；5.原材料生产量的波动是连续的。

4、问题分析这是一个优化问题，要决策的是生产商的最优计划量和销售商的最优订购量，即所谓的优化组合，要达到的目标有二，。

一般来说这两个目标是矛盾的，销售商订购的越多（在生产商的能力范围之内），生产商的净收益越大，但销售商的市场需求量是有约束的，销售商卖不出去，就要储存需要库存成本，那销售商的净收益就会很小．所以需要更多的约束条件使这两个目标同时达到最优的即所谓的最优决策，我们追求的只能是，在确定的订购量下生产商的净收益最大的决策，和在确定的生产量下销售商净收益最大的决策，使生产商的计划生产量和销售商的订购量按一定比例组合最优的决策。

这就是说在不同的约束条件下，只要建模合理，答案可以是多种。

建立优化问题的模型最主要的是用数学符号和式子表述决策变量、构造目标函数和确定约束条件。

对于本题决策变量是明确的，即最优计划量、销售商的最优订购量商品、生产量的波动值和市场实际需求量的波动值（题中第一问的该值为一），目标函数之一是销售商的总收益最大，目标函数之二是生产商的总收益最大。

而生产商的总收益用他的实际生产量和销售商的订购量衡量，销售商的总收益用他的订购量和市场的实际需求量衡量。

5、模型建立5.1问题一、二供应链的相关关系图如下所示：5.2 问题一模型的建立对于问题1模型的建立，讨论如何调整销售商的订购量和生产商计划生产量使生产商和订购商的利润最大。

根据前面的模型假设，从生产商的角度考虑，由于单位商批发缺货成本太大，所以不予考虑缺货状态下销售商利润和生产商的利润。

计划生产量是假想情况下在规定的时间所能生产的产品量，但总有突发事件发生导致生产商的计划生产量与实际生产量有出入，生产商为了保证自己的利润最大即花费不至过大，一定不能缺货，因为缺货一个所损失的赔偿金抵上多生产三个产品在储存上的花费。

而不能缺货，生产商的计划产量就要始终大于订购商的订购量。

而从销售商的角度考虑，订购量与上述生产商一致，不能缺货，因为缺货一个所损失的赔偿金抵上多订购五个产品在储存上的花费，而在成本方面，现在卖不出去以后搞促销一样可以卖出去。

具体分析如下：1）当Q >400,既订购量大于市场需求量，所以销售商和订购商的利润分别为：max=60*400-40*Q 1-5*(Q 1-400); (1)max=40*Q 1-20*X 1*Q-5*(Q 1-X 1*Q) (2)当Q <400,即订购量小于市场需求量，所以销售商和订购商的利润分别为：max=60*400-40*Q 1 -25*(400-Q 1)(3)max=40*Q 1-20*X 1*Q-15*(X 1*Q-Q 1) (4)针对上述描述分析中的各种范围讨论，我们采用的是线性规划的方法，先利用供应链中各种数据存在的关系,列出生产商和销售商利润求值关系式，如下所示：P1=60∗400−40∗Q 1−5∗max{Q 1−400,0}−25∗max{400−Q 1,0}(5)P2=40∗Q 1−20∗X 1∗Q −5∗max {Q 1−X 1∗Q,0}−15∗max {X 1∗Q −O i ,0} (6)当供应链中生产商的利润P j 与销售商的利润P i 在应链的限制条件中同时达到最大值时，我们就可以利用数学软件编程求解出我们的销售商的最优订购量Oi 和生产商的最优计划产量Q .5.3 问题二模型的建立对于问题2模型的建立，在问题一的基础上，商品市场需求量变为随机的，讨论如何调整销售商的订购量和生产商计划生产量使生产商和订购商的利润最大。

我们首先知道了商品市场需求量的期望值为400,根据条件已知期望，属于概率与数理统计范围，又根据前面模型假设知道了销售商的实际订购量符合正态分布根据正态分布中3σ原则即：设Χ~Ν(μ,σ2),则Ρ(|Χ−μ|<kσ)=Φ(k )−Φ(−k)={0.6826,k =1;0.9545,k =2;0.9973,k =3.从上式中可以看出：尽管正态变量的取值范围是（−∞，+∞），但它的99.73%的值落在（μ−3σ,μ+3σ）内。

根据上述原则可求出σ=0.2/3=1/15;然后根据正态分布的密度公式Ρ(χ)=1√2∗π∗σ∗e −(x−μ)22∗σ2,−∞<x <+∞ 有下列方程式：μ(Q 1)=400=∫Q 1∗√2∗π480320∗ℯ−(Q 1−400)^2−15^22d Q 1 (9)利用此公式求解出销售商的最优订购量Q 1，运用线性规划，将几个自变量限定区域，再将的值带入生产商的利润公式Pj =40∗Q 1−20∗X 1∗Q −5∗max{Q 1−X 1∗Q,0}−15∗max{X 1∗Q −Q 1,0}(10)运用LINGO编程，求出得到最大利润时的生产商最优计划量Q。

5.4 问题三供应链的相关关系图如下所示：供货生产5.4问题三模型的建立对于问题3模型的建立,在实P4=280∗95−10∗X2∗Q2∗0.7−40∗X2∗Q2 −7∗max{Q2∗X2∗0.7−280,0} −30∗max{280−Q2∗X2∗0.7,0}(7)解出Q2代入P3=40∗Q2−20∗X1∗Q−5∗max{X1∗Q−Q2,0}−15∗max{Q2−X1∗Q,0}(8)6、模型求解和分析6.1 根据我们我们建立的模型，用ｌｉｎｇｏ软件求解。

（程序代码见附录Ａ）6.2 模型结果分析6.2.1对于问题一：由软件求解结果知，Linearization components added:Constraints: 13Variables: 8Integers: 5Local optimal solution found.Objective value: 7016000.Objective bound: 7016000.Infeasibilities: 0.1455192E-10Extended solver steps: 0Total solver iterations: 14Variable Value Reduced CostQ2 400.0 0.000000Q1 400.0000 0.000000X1 1.150000 0.000000Q 417.8261 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 7016000. 1.0000002 0.000000 0.0000003 0.3000000 0.0000004 0.000000 0.000000从结果得出，最优计划生产量是418件，实际生产量为400，销售商的订购量为400时，整条供应链的效益能到达最优。