成都七中期末练习题（7）1、解关于x 的不等式)1(log 2log )13(log +≥++x x x a a a ，（1,0.≠>a a ）． 解：要使不等式有意义，则01,0,013>+>>+x x x 得0>x ， 原不等式22)1(log )3(log +≥+x x x a a ，当10<<a 时，22)1(3+≤+x x x ，解得10≤<x ， 当1>a 时，22)1(3+≥+x x x ，解得1≥x ．2、(1) 若函数]41)1([log )(22+-+=x a ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围． (2)若函数]41)1([log )(22+-+=x a ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围．（１）3322a << （２）2530-≤≤a 或253+≥a3、已知函数xxx f +-=11log )(2，（Ⅰ）判断并证明)(x f 的奇偶性；（Ⅱ）若关于x 的方程)(log )(2k x x f -=有实根，求实数k 的取值范围． 解：（Ⅰ）要使解析式有意义，则-1<x<1， 所以函数f(x)的定义域为)1,1(-， 因为)()(x f x f +-=+-+-+=x x x x 11log 11log 2201log 1111log 22==+-⋅-+xxx x ， 所以)()(x f x f -=-，即)(x f 是奇函数， （Ⅱ）方程)(log )(2k x x f -=整理地k x xx-=+-11， 即x x x k +--=11在)1,1(-内有解，所以实数k 属于函数xxx y +--=11在)1,1(-内的值域， 令t x =+1，则)2,0(∈t ，因为t t y 2-=在(0,2)内单调递增，所以tt 2-)1,(-∞∈， 故实数k 的取值范围是)1,(-∞．4、若二次函数12-+-=mx x y 的图象与两端点为A(0,3),B(3,0)的线段AB 有两个不同的交点,求m 的取值范围.解析:线段AB 的方程为)30(3≤≤=+x y x .由题意得方程组⎩⎨⎧-+-=≤≤=+)2(,1)1(30,32mx x y x y x 有两组实数解,(1)代入(2)得)30(04)1(2≤≤=++-x x m x 有两个实根.令4)1()(2++-=m x x f .所以问题转化为二次函数4)1()(2++-=m x x f 在[]3,0∈x 上有两互异实根,故有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥++-=>=<+<>-+=∆,04)1(39)3(04)0(,3210,016)1(2m f f m m 解得.3103≤<m 故m 的取值范围是]310,3( 5、求函数2)1lg(2)(-++=x x f x的零点个数.解析:.03lg 223lg 4)2(,01201)0(>+=-+=<-=-+=f f 所以)(x f 在)2,0(上必定存在零点.又2)1lg(2)(-++=x x f x在),1(+∞-上为增函数,故)(x f 有且只有一个零点.6、已知关于x 的二次方程x 2+2mx+2m+1=0.（1）若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. （2） 若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.解 （1）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ⇔ 2165-<<-m ，∴实数m 的范围是)21,65(--. (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇔.01,2121,21,21m m m m m 或 ⇔ - 12 <m≤1- 2 , 7、求实数m 的范围，使关于x 的方程062)1(22=++-+m x m x ． （1）有两个实根，且一个比２大，一个比２小． （2）有两个实根βα,，且满足410<<<<βα． （3）至少有一个正根．解 设62)1(2)(2++-+==m x m x x f y ．（1）依题意有0)2(<f ，即062)1(44<++-+m m ，得1-<m ．（2）依题意有⎪⎩⎪⎨⎧>+=<+=>+=01410)4(054)1(062)0(m f m f m f 解得：4557-<<-m ．（3）方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->≥∆02)1(20)0(0m f ，即⎪⎩⎪⎨⎧<->≥-≤1351m m m m 或13-≤<-∴m ． ②有一个正根，一个负根，此时可得0)0(<f ，得3-<m ．③有一个正根，另一根为０，此时可得⎩⎨⎧<-=+0)1(2026m m 3-=∴m ．综上所述，得1-≤m ．8、以100元/件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的相同价格出售，羊毛衫的销售有淡季与旺季之分，标价越高，购买的人数越少，我们称刚好无人购买时的标价为羊毛衫的最高价格，某商场经销某品牌的羊毛衫，无论销售淡季还是旺季，进货价都是100元/件，针对该品牌羊毛衫的市场调查显示：①购买该品牌羊毛衫的人数是标价的一次函数；②该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格是淡季最高价的23倍；③在销售旺季，商场以140元/件价格销售时能获取最大利润。

（1）分别求出该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格与淡季的最高价格； （2）在淡季销售时，商场要获得最大利润，羊毛衫的标价应定为多少？解析：（1）设在旺季销售时羊毛衫的标价为x 元/件，购买人数为()0k ＜b kx +， 则旺季的最高价格为kb-元/件， 利润函数()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈---=+-=k b x b x b k kx b kx x x L ,1001001001002，。

当kbk b k x 2502100-=-=时， ()x L 最大。

由题意知140250=-k b ，解得180=-kb。

即旺季的最高价格是180（元/件），则淡季的最高价格是12032180=⨯（元/件）。

（2）设在淡季销售时羊毛衫的标价为t 元/件，购买人数为()0m ＜n mt +。

则淡季的最高价格为120=-mn（元/件），即m n 120-=，利润函数()()()()[]1201001001101201002，m ，，t t m m mt t t L ∈--=--=。

当110=t 时，()t L 最大。

所以，在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为110元/件。

9、求函数21()()2f x ax x a =+<在[2,1]--上的最小值．【解析】当0a =时，()f x x =在[2,1]--上单增，min ()(2)2f x f =-=-．当0a ≠时， 2()f x ax x =+为二次函数，对称轴为12x a=-， 1 当0a <时，()f x 开口向下， 由1012a->>-知对称轴位于区间右侧，()f x 在[2,1]--上单增，min ()(2)42f x f a =-=-， 2 当102a <<时，()f x 开口向上， 可知112a-<-， 2.1 当1212a -<-<-时，即1142a <<，此时对称轴位于区间内，()f x 在[2,1]--先减后增，min 11()()24f x f a a=-=-， 2.2 当122a -≤-时，即104a <≤，此时对称轴位于区间左侧，()f x 在[2,1]--单增，mi n ()(2)42f x f a =-=-， 综上，min142,4()111,442a a f x a a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩． 10、已知函数f (x ) = x 2 – 2x – 3，若x ∈ [t ，t +2]时，求函数f (x )的最值.【解析】∵函数图像开口方向向上，对称轴x = 1，易知离对称轴越远的点对应的函数值越大，区间[t ，t +2]的中点为1t +.结合图像可得：（1）当1≥t +2即t ≤–1时，()f x 在[t ，t +2]上单调递减，故f (x )max = f (t ) = t 2 –2t –3，f (x )min = f (t +2) = t 2 +2t –3.（2）当1t +≤1＜t +2，即–1＜t ≤0时，()f x 在[t ，1]上单调递减，在[1，t +2]上单调递增， 故f (x )max = f (t ) = t 2 –2t –3，f (x )min = f (1) = – 4.（3）当t ≤1＜1t +，即0＜t ≤1，()f x 在[t ，1]上单调递减，在[1，t +2]上单调递增，故f (x )max = f (t +2) = t 2 + 2t – 3，f (x )min = f (1) = – 4.（4）当1＜t ，即t ＞1时，()f x 在[t ，t +2]上单调递增，故f (x )max = f (t +2) = t 2 +2t –3，f (x )min = f (t ) = t 2 –2t –3.设函数最大值记为g (t )，最小值记为ϕ(t )时，则有g (t) =2223,(0)23,(0)t t tt t t⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩，2223,(1)()4,(11)23,(1)t t tt tt t tϕ⎧--≤-⎪=--<≤⎨⎪-->⎩.。