称为广义坐标。对完整系统，广义坐标数目等于系统的
自由度数。 如上面的质点M的位置由x,y 确定，则，x,y 就是其一组 广义坐标，此外，我们可以选取其它的一组独立参量 来表达其位置：
x ,
2
y
2
z c R2 ( a)2 ( b)2
2
2
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动力学
第十八章 分析力学基础
上式说明广义坐标的选择并不是唯一的。考虑n 个质点组
n
WF WFi k 1
n i 1
N
( Fx i
k 1
xi qk
q
N
Fyi
k 1
yi qk
q
Fzi
N k 1
zi qk
q )
N n (Fxi
k 1 i1
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
zi qk
)q
0
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动力学
第十八章 分析力学基础
WF
N n
k 1 i1
(Fxi
xi qk
本章针对矢量力学所遇到的困难，采用分析数学的方法 来求解动力学问题，它利用能量和功来描述物体运动与相互 作用之间的关系，在达朗伯原理和虚位移原理的基础上，导 出动力学普遍方程和拉格朗日方程。成为研究动力学问题的 有力手段，在解决非自由质点系的动力学问题时，显得十分 简捷、规范。
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动力学
第十八章 分析力学基础
由于广义坐标的独立性，q可以任意选取，则若上式成立，必 须有
Q1 Q2 QN
上式说明，质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零。 这就是用广义坐标表示的质点系的平衡条件。
求广义力的方法有两种：一是直接由下式计算
Qk
n
( Fxi
i 1
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
zi ) qk
(k 1,2,3, , N )
第十八章 分析力学基础
§18–1 自由度和广义坐标 §18–2 以广义坐标表示的质点系平衡条件 §18–3 动力学普遍方程 §18–4 第一类拉格朗日方程 §18–5 第二类拉格朗日方程 §18–6 拉格朗日方程的初积分
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动力学
第十八章 分析力学基础
§18-1 自由度和广义坐标
一个自由质点在空间的位置可以用三个参数来确定，我 们说该自由质点有3个自由度。一般质点运动会受到约束限制， 则其自由度数会减少，在完整约束条件下，确定质点系位置 的独立参数的数目等于系统的自由度数。
例如：一质点M 限制在球面的上半部 运动，则
(x a)2 ( y b)2 (z c)2 R2
z c R2 (x a)2 ( y b)2
故该质点在空间的位置由x,y 就可 确定，其自由度数为2。
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动力学
第十八章 分析力学基础
一般讲，一个由n 个质点组成的质点系，若受到s 个完整 约束作用，则其在空间的位置可由N=3n-s 个坐标完全确 定下来，我们把描述质点系在空间中位置的独立参数，
Qk
( Fxi
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
zi qk
)
( V xi V yi V zi )
xi qk yi qk zi qk
V qk
(k 1,2,3, , N )
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动力学
第十八章 分析力学基础
则由广义坐标表示的平衡条件可写成下面形式
Qk
V qk
0
(k 1,2,3, , N )
ri
N k 1
ri qk
qk
(i 1,2,3, , n)
其中qk (k 1,2,3, , N )为广义坐标qk的变分，称为
广义虚位移。
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动力学
第十八章 分析力学基础
§18-2 以广义坐标表示的质点系平衡条件
设作用在第 i 个质点上的主动力的合力Fi在三个坐标 轴上的投影分别为（Fxi ,Fyi ,Fzi ），由虚功方程，得到
zi )
V
这样，虚位移原理的表达式成为
V 0
上式说明：在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件
为质点系的势能在平衡位置处的一阶变分为零。
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动力学
第十八章 分析力学基础
如果用广义坐标 q1,q2,…,qN 表示质点系的位置，则有
V V (q1, q1, q1, , qN )
由广义力表达式，在势力场中可将广义力Qk 表示为
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动力学
第十八章 分析力学基础
另一种是利用广义虚位移的任意性，令某一个广义虚位移 不等于零，而其余N-1个广义虚位移等于零，计算虚功
从而
WF Qk qk
Qk
WF qk
在解决实际问题时，往往采用第二种方法比较方便
下面研究质点系在势力场中的情况，如果作用在质点系上的 主动力都是有势力，则势能应为各质点坐标的函数，为
即：在势力场中，具有理想约束的质点系的平 衡条件是势能对于每个广义坐标的偏导数分别 等于零。上式对于求解保守系统的平衡问题具 有重要意义。
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动力学
第十八章 分析力学基础
如图示，给图a、b、c所示的球体一个小扰动，图a中球会 回到原来位置，该平衡状态称为稳定平衡；图b中小球会 在附近任何位置平衡，该平衡称为随遇平衡；图c中小球 会滚下去，不会回到原来的平衡位置，该平衡状态称为不 稳定平衡。
成的系统受到s 个完整双侧约束
fk (r1, r2 , , rn , t) 0
(k 1,2,3, , s)
设 q1, q2, , qn (N 3n s) 为系统的一组广义坐标，可
以将各质点的坐标表示为
ri ri (q1, q2 , , qN ,t) 0
(i 1,2,3, , n)
由虚位移的定义，对上式进行变分运算，得到
Fyi
yi qk
Fzi
zi qk
)q
0
令Qk
n
( Fx i
i 1
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
zi ) qk
(k 1,2,3, , N )
则上式可以写成
N
WF Qk qk 0 k 1
上式中 Qkqk具有功的量纲，所以称Qk 为与广义坐标qk 相对 应的广义力。
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动力学
第十八章 分析力学基础
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动力学
第十八章 分析力学基础
牛顿力学研究的主要内容在于确定物体运动与相互作用 之间的关系，前面用矢量形式建立了质点系动力学普遍定理 （动量定理、动量矩定理和动能定理），这种处理动力学问 题的方法和体系称为“矢量力学”，它形式简单，概念清晰， 但由于矢量力学要求事先对系统中个质点的受力情况进行分 析，所以在研究求解具有复杂约束系统和变形体的动力学问 题方面会遇到很大困难。
V V (x1, y1, z1, , xn , yn , zn )
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动力学
第十八章 分析力学基础
则虚功方程中各力的投影可以表达为
V
V
V
Fxi xi , Fyi yi , Fzi zi
于是有
WF (Fxixi Fyiyi Fzizi )
( Vi xi
xi
Vi