第3章 圆的基本性质
3.4 圆心角（第1课时）
学习目标
1.经历探索圆的中心对称性和旋转不变性的过程. 2.理解圆心角的概念，并掌握“在同圆或等圆中，相等的圆心 角所对的弧相等，所对的弦也相等”的定理（圆心角定理）. 3.体验利用旋转来研究圆的性质的思想方法.
重点与难点
本节学习的重点是圆心角定理. 根据圆的旋转不变性推出圆心角定理，需用到图 形的旋转，是本节学习的难点.
已知：如图，在⊙O中，∠AOB=∠COD，OE是弦AB的弦心距， OF是弦CD的弦心距. 求证：OE=OF. 证明 ：∵∠AOB=∠COD，∴AB=CD（圆心角定理）. ∵OE⊥AB，
∴AE=DF. 又∵OA=OD，∴Rt△AOE≌Rt△DOF，
∴OE=OF.
课内练习
1.如图，AB，CD是⊙O的两条直径，找出图中各对相等的弧(半圆 和优弧除外)，并说明理由．
O
B
C
2.任意画两个半径不相等的圆，然后在每一个圆上任意取一段90° 的弧．这两段弧的度数相等吗？能说这两段弧相等吗？为什么？
解：度数相等，但不能说这两段弧相等，因为这两段弧不能重合．
典例精讲
例1用直尺和圆规把⊙O(如图)四等分．
典例精讲
例2 求证：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.
叫弦心距 , 图中OM为AB弦的弦心距。
B
M
O
A
合作探究
判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由．
①
②
③
④
合作探究
已知两个圆心角相等，探索这两个圆心角所对两
段弧、两段弦之间有什么关系？
Ｂ Ａ
圆心角定理 : 在同圆或等圆中，相等的圆 心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
Ｏ
数学表示：若∠ＡＯＢ=ＣＯＤ,
课堂测评
2.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，∠COD＝100°．
求
的度数．
解： 的度数为50°， 的度数为130°．
课堂测评
3．任意画一个圆，用量角器把它三等分．
解：将周角分为3个120 °
课堂测评
4．观察如图的图案，画法中运用了圆的几等分？请利 用圆的等分制作一幅美丽的图案． 解：六等分．
则ＡＢ=ＣＤ;ＡＢ=ＣＤ.
Ｃ Ｄ
合作Байду номын сангаас究
问题：如果把圆360等分，最小的圆心角多少度？ 1 °的弧 : 1 °的圆心角所对的弧叫做的1 °的弧。
合作探究
1.如图，在⊙O中，∠AOB=135°，求AB，ACB 的度数．
解： AB的度数=135°，
A
ACB的度数=360°- 135 ° =225°．
合作探究
圆是轴对称图形，那是不是中心对称图形呢？请将图中的圆旋 转任意角度，观察旋转后的圆是否原来的图形重合？
（注意观察红色的圆和白色形状的对比运动）
圆是中心对称图形，圆具有旋转不变性.
合作探究
顶点在圆心的角,叫圆心角，如A O B , 圆心角 AOB 所对的弧为 AB，
所对的弦为AB； 过点O作弦AB的垂线, 垂足为M,则 垂线段OM的长度,即圆心到弦的距离，
解：
．
理由：相等的圆心角所对的弧相等．
课堂练习
2.如图，等边三角形ABC内接于⊙O.求AB，BC，AC的度数．
A
解：∵ △ABC为等边三角形，
∴ AB=AC=BC，
∴ AB=BC=AC，
O
又∵ AB+BC+AC=360°，
B
C
∴ AB=BC=AC=120°．
课堂小结
课堂测评
1．已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2． 求证：AC＝BD． 证明： ∵ ∠1＝∠2， ∴ ∠1＋∠BOC＝∠BOC＋∠2， 即 ∠AOC＝∠BOD． ∴ AC＝BD．