二、圆锥曲线的范围问题 【考情快递】 圆锥曲线中的范围问题是高考中的常见考点， 一般出选择题、填空题． 方法1：曲线几何性质法
①由几何性质建立关系式； 解题步骤
②化简关系式求解． 适用情况 利用定义求解圆锥曲线的问题.
【例1】►已知双曲线
x2 a2
－
by22＝1(a＞0，b＞0)的左来自右焦点分别即|PA|＋|PF|≥9，等号当且仅当A，P，F′三点共线，
即P为图中的点P0时成立，故|PF|＋|PA|的最小值为9.故填9. 答案 9
方法2：切线法 ①求与直线平行的圆锥曲线的切线；
解题步骤 ②求出两平行线的距离即为所求的最值． 当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直
适用情况 线的距离的最值时用此法.
3代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0，
解得x＝－233，此时y＝ 33，
即椭圆上的点－233， 33到直线y＝x＋2 3的距离最小，最小
值是 26； 当b＝－ 3 时，直线y＝x－ 3 到直线y＝x＋2 3 的距离d2＝
326，将b＝－ 3代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0，
解得x＝233，此时y＝－ 33，
方法2：判别式法
①联立曲线方程，消元后求判别式； 解题步骤 ②根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲
线性质求解． 当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别 对应着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的 适用情况 一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于
零．此类问题可用判别式法求解.
【例2】►(2011·浏阳一中月考)在平面直角坐标系xOy中，经过
即椭圆上的点233，－ 33到直线y＝x＋2 3的距离最大，最大
值是3
6 2.
方法3：参数法 ①选取合适的参数表示曲线上点的坐标；
解题步骤 ②求解关于这个参数的函数最值．
适用情况 可以用参数表示某个曲线并求得最值的问题.
【例3】►在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆
x2 3
＋y2＝1
上的一个动点，则S＝x＋y的最大值为________．
h1＝|x1＋2k5x1－2|＝21＋25k＋1＋41k＋2 4k2， h2＝|x2＋2k5x2－2|＝21＋25k－1＋41k＋2 4k2， 又|AB|＝ 22＋1＝ 5，所以四边形AEBF的面积为 S＝12|AB|(h1＋h2)＝12· 5·4511＋＋24kk2＝211＋＋42kk2 ＝2 1＋1＋4k24＋k24k≤2 2， 当2k＝1，即k＝12时，取等号． 所以四边形AEBF面积的最大值为2 2.
解析 因为椭圆x32＋y2＝1的参数方程为
x＝ 3cos φ y＝sin φ，
(φ为参数)．
故可设动点P的坐标为( 3cos φ，sin φ)，
其中0≤φ＜2π.
因此S＝x＋y＝
3 cos
φ＋sin
φ＝2
3 2 cos
φ＋12sin
φ
＝
2sinφ＋3π，所以，当φ＝6π时，S取最大值2.故填2.
点(0，
2
)且斜率为k的直线l与椭圆
x2 2
＋y2＝1有两个不同的交
点P和Q.
(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否
存在常数m，使得向量
→ OP
＋
→ OQ
与
→ AB
共线？如果存在，求m
值；如果不存在，请说明理由．
解 (1)由已知条件，知直线l的方程为y＝kx＋ 2， 代入椭圆方程，得x22＋(kx＋ 2)2＝1， 整理得12＋k2x2＋2 2kx＋1＝0.① 由直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q， 得Δ＝8k2－412＋k2＝4k2－2＞0， 解得k＜－ 22或k＞ 22， 即k的取值范围为－∞，－ 22∪ 22，＋∞.
【例2】►求椭圆
x2 2
＋y2＝1上的点到直线y＝x＋2
3 的距离的最
大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．
解 设椭圆的切线方程为y＝x＋b，
代入椭圆方程，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.
由Δ＝(4b)2－4×3×(2b2－2)＝0，得b＝± 3.
当b＝ 3时，直线y＝x＋ 3与y＝x＋2 3的距离d1＝ 26，将b＝
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则O→P＋O→Q＝(x1＋x2，y1＋y2)． 由方程①，知x1＋x2＝－14＋22kk2.② 又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2 2＝1＋2 22k2.③ 由A( 2，0)，B(0,1)，得A→B＝(－ 2，1)．
方法技巧2 圆锥曲线的综合应用
一、圆锥曲线的最值问题 【考情快递】 最值问题是高考的热点，可能出选择题、填空 题和解答题． 方法1：定义转化法
①根据圆锥曲线的定义列方程； 解题步骤
②将最值问题转化为距离问题求解． 此法为求解最值问题的常用方法，多数 适用情况 题可以用.
【例1】►已知点F是双曲线
为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲
线的离心率e的取值范围是________．
解析 根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，设|PF2|＝r， 则|PF1|＝4r，故3r＝2a，即r＝23a，|PF2|＝23a. 根据双曲线的几何性质，|PF2|≥c－a，即23a≥c－a， 即ac≤53，即e≤53.又e＞1， 故双曲线的离心率e的取值范围是1，53.故填1，53. 答案 1，53
x2 4
－
y2 12
＝1的左焦点，定点A的坐标
为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为
________．
解析 如图所示，根据双曲线定义|PF|－|PF′|＝4，
即|PF|－4＝|PF′|.又|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5，
将|PF|－4＝|PF′|代入，得|PA|＋|PF|－4≥5，
答案 2
方法4：基本不等式法 ①将最值用变量表示．
解题步骤 ②利用基本不等式求得表达式的最值．
适用情况 最值问题中的多数问题可用此法.
【例4】►设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶 点，直线y＝kx(k＞0)与椭圆相交于E，F两点，求四边形AEBF 面积的最大值． 解 依题设得椭圆的方程为x42＋y2＝1. 直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k＞0)． 设E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1＜x2， 且x1，x2满足方程(1＋4k2)x2＝4，故x2＝－x1＝ 1＋2 4k2.① 根据点到直线的距离公式和①式， 得点E，F到AB的距离分别为