案
y
u
y y ( v lu n v u ) u v ( v lu n v u ) u v 1 ( u v lu n v u )
u
u
例如
武
汉 科
y x c x o u s x , v c x o y s u v 1 ( u v u v lu n )
技
学
院 数
y x co x 1 s (cx o x ssix ln n x )
武 汉 科 技
yy[1(1111)] 2x 1x3 x5 x7
学
院 数 理 系
1(x 1 )x ( 3 )(1111) 2(x 5 )x (7 )x 1x 3x 5x求 y ' ((x ) 0 ,(x ) 0 )
学
电 子
解:
ln y ln(x) (x)
数
学 解:将题设方程两边都对x求导,得到
电
子 教
yxd d y x ex eyd d y x0 d d y xe yy e x x
案
方程两边对x求导,要记住y是x的函数,则y的函数是x的
复合函数,
武 汉
例如 1/y, y2, lny, ex 等都是x的复合函数,对x求导应按
科 技
复合函数求导方法做.
武 汉
x 2 3 x 2 x 2 2 x x 2 x 3 x 2 6 x 2
科 技
2 可把右式展开后求导,也可用复合函数求导.后者方便.
学
院
数 理
y 3 ( 1 2 x ) 3 y 9 ( 1 2 x ) 2 ( 2 ) 1 ( 1 2 8 x ) 2
系
高 等
学
院
数
理
系
高
等 例2 求由方程y=sin(x+y)所确定的隐函数的导数.
数
学 解: 对两边都对x求导,我们得到
电
子
y x cx o y )x s ( y ) ( cx o y ) 1 s ( y ) (
教 案
co x y s ) ( co x y s )y (
y cosx(y) 1cosx(y)
高 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数
等 数
导数相关变化率
学 电
一. 隐函数的导数
子
在方程F(x,y)=0中,如果当x在某区间I上取任意一值
教 案
时,相应地 总有唯一一个满足该方程的y值存在,这种由方
程所确定的函数称为隐函数,它的定义域为I,有时也记作
y=f(x).不过这里的f的具体表 示 式不一定能求得出来. 例
教 案
y ( x) (x)(x)[l n(x)](x)
y
2(x)
武
[(x )(x ) (x )(x )l n(x ) ]2(x 1 )(x )
汉
科
技 学 院 数
y (x ) (x ) [(x )(x )(x )(x )ln (x )] 1 2 (x )(x )
理
系
高
等 例6 试用比较简单的方法求下列函数的导数
武 如, 方程x+3y-4=0, xy+ex - ey＝0都确定了y是x的隐函数,
汉
科 技
对于前一个方程,可以解出,我们称为隐函数的显化.后面一
学 院
个方程就解不出 y=f(x). 这里为了满足计算 的需要,我
数
理 系
们用下面的例题说 明隐函数的求导方法
高
等 例1 求由方程 xy+ex-ey=0 所确定的隐函数的导数 dy/dx
数
学
1 ,y x ( x 1 ) ( x 2 ) ; 2 ,y 3 ( 1 2 x ) 3 ; 3 ,y 5 x 2 3 x x ;
电
x
子 教 案
4,ylnabx; abx
5,y1x; 1x
6,yx(1(1xx))32.
分析:1 可把右式展开后求导,也可利用乘积求导.后者方便.
y x ( x 1 ) x 2 ) ( y , ( x 1 ) x 2 ) ( x ( x 2 ) x ( x 1 )
对于隐含数还有一种求导数的方法 对 数 求 导 法
武
汉 科
对于幂指函数或连乘除形式函数的求导,先取对数再取
技
学 院
导数,比用通常方法计算简单.
数
理
系
高
等 例3 求幂指数函数 y = uv(u>0) 的导数，其中u, v是x的函
数 学
数,且都在点x处可导.
电 分析: 先取对数
子 教
ly n v lu n (l y n v lu n ) 1 y v lu n v u
教
1y123 1 5 x
案
y x1 x1 x x(1 x)1 (x)
yx (1 (1 x x ))3 2x(1 1 x)5 1 x (x)(1 (1 x )1 x ( )4 5 x)
同样的问题采用好的方法,不但计算方便而且正确.通过上
武
汉 科
述研究我们知道初等函数的导数仍然是初等函数.而隐函数,
理
系
高 等
例4
求
y
(x1)(x3) (x5)(x7)
的导数
数
学 解： (lnx)1,当x0时，结论成立。
电
x
子 教
当 x 0 时 ,(lx) n [l n x )]( 1( 1 ) 1 x x
案
y (x1)x (3) (x1)x (3)
(x5)x (7) (x5)x (7)
ly n 1 (l x n 1 lx n 3 lx n 5 lx n 7 ) 2
3 用商的求导公式,也可先化简后求导的方法,后者方便
数 学
y 5 x 2 3 xx 5 x 3 x 1 2 . y 5 1 x 2 3
电
x
2
子 教
4 可用复合函数求导或对数性质把函数变形后再求导.后者好
案
yln a b xln a (b) xln a (b)x
a bx
y b b 2ab abxabx(ab)xa (b)x
武 汉
5 (1)可用商的求导方法(2)用乘积求导方法(3)可化简后再求导;
科
技 学 院 数
y 1 1 x x 2 1 ( 1 x x ) 1 2 x 1 y ( 1 2 x )2
理
系
高 6 方法和5一样,用商和乘积的方法不如用对数的方法化 等 数 7 简后求导.
学 电 子
yx (1 x )2 ln y ln x 2 ln 1 ( x ) 3 ln 1 ( x ) (1 x )3
技
学 院
参数方程确定的函数不一定是初等函数,但可用上述求导方
数
理 系
法得到它的导数.
高 等
例7 设f(x) ＝ x(x-1)(x-2)(x-3)...(x-100) 求 f ‘(0)分析: 本题