建筑力学行动导向教学案例教案提纲模块六：静定结构的位移计算及刚度校核6.1.1 杆系结构的位移杆系结构在荷载或其它因素作用下，会发生变形。

由于变形，结构上各点的位置将会移动，杆件的横载面会转动，这些移动和转动称为结构的位移。

图6-1 刚架的绝对位移图6-2刚架的相对位移我们将以上线位移、角位移及相对位移统称为广义位移。

除荷载外，温度改变、支座移动、材料收缩、制造误差等因素，也将会引起位移，如图11.3(a) 和图11.3(b)所示。

图6-3其他因素引起的位移6.1.2 计算位移的目的在工程设计和施工过程中，结构的位移计算是很重要的，概括地说，计算位移的目的有以下三个方面：1、验算结构刚度。

即验算结构的位移是否超过允许的位移限制值。

2、为超静定结构的计算打基础。

在计算超静定结构内力时，除利用静力平衡条件外，还需要考虑变形协调条件，因此需计算结构的位移。

3、在结构的制作、架设、养护过程中，有时需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定的施工措施，因而也需要进行位移计算。

建筑力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为基础的。

本章先介绍虚功原理，然后讨论在荷载等外界因素的影响下静定结构的位移计算方法。

6.2.构件的变形与刚度校核6.2.1轴心拉压变形一、纵向变形1、拉压杆的位移：等直杆在轴向外力作用下，发生变形，会引起杆上某点处在空间位置的改变，即产生了位移△l。

2、计算公式N N F F l l dx dx dx E EA EA σε∆====⎰⎰⎰ 图6-4轴心受拉变形EAlF l N =∆—— EA 称为杆的拉压刚度 （4-2）上式只适用于在杆长为l 长度N 、E 、A 均为常值的情况下， 即在杆为l 长度内变形是均匀的情况[例6.2-1]某变截面方形柱受荷情况如图6-5所示，F=40KN 上柱高3m 边长为240mm,下柱高4m 边长为370mm ，E=0.03×105 Mpa 。

试求：该柱顶面A 的位移。

解：1.绘内力图图6-5二、横向变形 1、横向变形(公式6-1)2.横向变形因数或泊松比（公式6-2）【例6.2-2】 一矩形截面钢杆，其截面尺寸b ×h =3mm ×80mm ，材料的E =200GPa 。

经拉伸试验测得：在纵向100mm 的长度内，杆伸长了0.05mm ，在横向60mm 的高度内杆的尺寸缩小了0.0093mm ，试求：⑴ 该钢材的泊松比；⑵ 杆件所受的轴向拉力F P 。

解：（1）求泊松比。

求杆的纵向线应比ε求杆的横向线应变ε′求泊松比μ（2）计算杆受到的轴向拉力由虎克定律σ=ε·E 计算图示杆件在F P 作用下任一横截面上的正应力 σ=ε·E =5×10-4×200×103=100MPa333352522.4010310120104100.03102400.03103701.86BC BC AB AB AB BC AB BCN l N l l l l EA EA ∆=∆+∆=+-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=+⨯⨯⨯⨯=-求变形：a a d -1=∆a a∆-='εεεν'=νεε-='410510005.0-⨯==∆=l l ε4'1055.1600093.0-⨯-=-=∆=a a ε31.01051055.144'=⨯⨯-==--εεμAF N=σM eM eγOBAϕ可求得在F P 作用下，杆件横截面上的轴力F N=σ·A =100×3×80=24×103 =24kN该杆为二力杆，任一截面上的轴力与两端拉力相等，即F N=F P ，所以该杆受到的轴向外力F P=24kN 。

6.2.2等直圆轴扭转时的变形及刚度条件1、转角计算公式扭转角（ϕ）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。

图6-6pp 1dx d e e ll M M lx GI GI ϕγρ===⎰⎰pe M lGI ϕ=（公式6-3） p GI 称为圆轴扭转刚度，它表示轴抵抗扭转变形的能力。

2、刚度校核（公式6-4）6.2.3梁的位移及刚度校核 一、梁的位移 1、 梁的位移梁平面弯曲时，每个截面都发生了移动和转动，如图6-7所示。

横截面形心在垂直于轴线方向的线位移称为挠度，用w 表示。

对于水平方位的梁，规定w 向下为正。

实际上梁平面弯曲时横截面形心沿梁的轴线方向还有线位移。

工程中梁的变形一般为小变形，曲率很小，弯曲引起的最大轴向位移不足杆长的十万分之一，所以忽略这种轴向位移。

横截面的角位移θ称为转角。

在图6-7b 所示的坐标系下，以顺时针转向的θ为正。

图6-7 梁的弹性曲线与梁的位移梁的位移计算方法有挠曲线方程法、叠加法、图乘法，一般采用图乘法。

[]θφ≤⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛=π180max p max GI T2、挠曲线方程法通常梁的挠度是沿x 轴变化的，称为挠度方程：()w f x =，如图6-7所示。

//()tan ()dwf x dxf x θθθ==≈∴= ()//()322//11x w M EIw ρ==±⎡⎤+⎢⎥⎣⎦由于1dwdxθ=<< 所以2()//2x M d w w dx EI==± 积分得 图6-8挠度w 正负号确定（相反）/()1x w M dx C EIθ==-+⎰()1x w M dx dx Cx D EI⎡⎤=-++⎣⎦⎰⎰ 积分常数C 、D 利用梁的边界条件确定。

【例6.2-3】一悬臂梁在自由端受集中力Fp 作用。

试求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度。

（EI 为常数）解：1、弯矩方程为()()x M F l x =--2、挠曲线近似微分方程为()"x M Fl Fxw EIEI-=-=3、一次积分得 21()2Fx Flx C EI θ=-+ （1） 二次积分得 231()26Flx Fx w Cx D EI =-++ (2) 4、边界条件 x=0 w=0θ=0代入（1）（2）式得C=0;D=0 5、转角方程及挠度方程为22Flx Fx EI EI θ=- 2326Flx Fx w EI EI=-6、转角、挠度的最大值均发生在自由端。

2max2Fl EI θ= 3max 3Fl w EI= 3、叠加法在工程设计手册中列有常见梁的位移的计算结果（如表6-1所示），可供计算时查用。

表6-1 梁的最大挠度与最大转角公式梁及荷载类型最大转角最大挠度EIl F P B 22=θEIl F w P 33max =EIMl B =θEIMl w 22max =EIql B 63=θEIql w 84max =2l b a ==时 =A θ－EIl F P B 162=θb a =2l =时 EIl F w P 483max ==A θ-EIql B 243=θEIql w 38454max =二、梁的刚度校核梁的位移过大，则不能正常工作。

比如桥梁的挠度过大，车辆通过时将发生很大的振动。

必须将位移限制在工程允许的范围内。

对于梁的挠度，其许可值以许可的挠度与梁跨长之比⎥⎦⎤⎢⎣⎡l w 为标准。

土木工程的⎥⎦⎤⎢⎣⎡l w 值对于不同类型的梁差别较大，在10001~2501 之间，铁路钢桁梁为9001. 梁的刚度条件为: []θθ≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤max max l w l w （公式6-5）应当指出，对于一般土建工程中的构件，强度要求如能满足，刚度条件一般也能满足。

因此，在设计工作中，刚度要求比起强度要求来，常处于次要地位。

但是，当正常工作条件对构件的位移限制很严，或按强度条件所选用的构件截面过于单薄时，刚度条件也可能起控制作用。

【例6.2-5】 如6-11图示简支木梁。

横截面为圆形。

已知F P=3.6kN ，l =4m 木材的容许应力[σ]=10MPa ，弹性模量E =10×103MPa,容许相对挠度[f /l ]=1/250，试选择木梁的直径。

图6-11解 (1)画梁的弯矩图。

（2）由梁的正应力强度条件设计截面由得满足正应力强度时梁的抗弯截面系数为：又圆形截面的抗弯截面系数计算公式为所以梁满足正应力强度时应有 F M3.6kN/mmkN 6.3max ⋅=M ][maxmax σσ≤=zW M 3536max mm 103.6mm 10106.3][⨯=⨯=≥σM W z 323d W z π=53106.332⨯≥d π实际结构取(3) 对直径为d =160mm ，的梁进行刚度校核由表查得该梁的最大挠度发生在跨中，其值为：满足刚度要求因此，该木梁的直径取为d =160mm 。

三、提高梁抗弯刚度的措施梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度EI 、梁的跨度l 、荷载作用情况有关，那么，要提高梁的抗弯刚度可以采取以下措施：（1） 增大梁的抗弯刚度EI梁的变形与梁的抗弯刚度EI 成反比，增大梁的抗弯刚度EI 将使梁的变形减小，从而提高其刚度。

增大梁的EI 值主要是设法增大梁截面的惯性矩I 值，一般不采用增大E 值的方法。

在截面面积不变的情况下，采用合理的截面形状，即来用材料尽量远离中性轴的截面形状，比如采用工字形、箱形、圆环形等截面，可显著提高惯性矩。

（2） 减小梁的跨度L梁的变形与其跨度的n 次幂成正比。

设法减小梁的跨度L ，将有效地减小梁的变形，从而提高其刚度。

在结构构造允许的情况下，可采用两种办法减小L 值。

①增加中间支座 如图 6-12 a 所示简支梁跨中的最大挠度为EIql f a 38454=；图6-12b 所示在跨中增加一中间支座，则梁的最大挠度约为原梁的38１，即=bf 38１a f 。

图6-12②两端支座内移 如图6-13所示，将简支梁的支座向中间移动而变成外伸梁，一方面减小了梁的跨度，从而减小梁跨中的最大挠度；另一方面在梁外伸部分的荷载作用下，使梁跨中产生向上的挠度（图6-13c ），从而使梁中段在荷载作用下产生的向下的挠度被抵消一部分，减小了梁跨中的最大挠度值。

mm154≥d mm160=d ()mm 9.14mm 6416014.3101048104106.348433333max =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==P EI l F y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡<=⨯=l f l y 26911049.143max图6-13(3) 改善荷载的作用情况在结构允许的情况下，合理地调整荷载的位置及分布情况，以降低弯矩，从而减小梁的变形，提高其刚度。

如图6-14所示，将集中力分散作用，甚至改为分布荷载，则弯矩降低，从而梁的变形减小，刚度提高。

图6-146.3结构的位移计算6.3.1 虚功原理和单位荷载法 一、 变形体的虚功原理W 11=21F P1∆11 梁弯曲后，再在点2外加静力荷载F P2，梁产生新的弯曲(图6-15c)。