2.2.5《解一元二次方程—换元法》典例解析与同步训练【知识要点】1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．【典例解析】例1．用适当方法解下列方程：（1）2x2﹣5x﹣3=0（2）16（x+5）2﹣9=02 2 2．（3）（x+x）+（x+x）=6例题分析：本题考查了一元二次方程的几种解法：①公式法；②直接开平方法；③换元法（1）用公式法解一元二次方程，先找a，b，c；再求△；再代入公式求解即可；（2）用直接开平方法解一元二次方程，先将方程化为（x+5）2= ，直接开方即可；（3）设t=x2+x，将原方程转化为一元二次方程，求解即可．解：（1）∵a=2，b=﹣5，c=﹣3，△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×（﹣3）=25+24=49，∴x= = = ，∴x1=3，x2=﹣；（2）整理得，（x+5）2=，开方得，x+5=±，即x1=﹣4 ，x2=﹣5 ，2+x，将原方程转化为2，（3）设t=x t+t=6 因式分解得，（t﹣2）（t+3）=0，解得t1=2，t2=﹣3．2 2∴x+x=2或x+x=﹣3（△＜0，无解），∴原方程的解为x1=1，x2=﹣2．例2．解方程：（1）（x+3）（x﹣1）=5（2）．例题分析：本题主要考查了解一元二次方程的方法和解分式方程．解一元二次方程时，要注意选择合适的解题方法，这样才会达到事半功倍的效果．还要注意换元思想的应用．（1）先去括号，将方程化为一般式，然后再运用二次三项式的因式分解法进行求解．（2）先设x2﹣x=y，采用换元法，然后解方程即可．解：（1）x2+2x﹣8=0，（x+4）（x﹣2）=0∴x1=﹣4，x2=2．（2）设x2﹣x=y∴原方程化为 y﹣=1∴y2﹣2=y∴y2﹣y﹣2=0∴（y+1）（y﹣2）=0∴y1=﹣1，y2=2∴x2﹣x=﹣1或x2﹣x=2解x2﹣x=﹣1知：此方程无实数根．解x2﹣x=2知x1=2，x2=﹣1；∴原方程的解为： x1=2，x2=﹣1．例3．解下列方程：（1）2x2+5x﹣3=02 2（2）（3﹣x）+x=9（3）2（x﹣3）2=x（x﹣3）（4）（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+6=0例题分析：本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后，方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为 0的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．（1）方程左边可以利用十字相乘法进行因式分解，因此应用因式分解法解答．（2）先移项，然后把x2﹣9因式分解为（x+3）（x﹣3），然后再提取公因式，因式分解即可．（3）先移项，然后用提取公因式法对左边进行因式分解即可．（4）把（x﹣1）看作是一个整体，然后套用公式2 2 2a±2ab+b=（a±b），进行进一步分解，故用因式分解法解答．解：（1）因式分解，得（2x﹣1）（x+3）=0，所以2x﹣1=0或x+3=0，解得，x=或x=﹣3；2 2（2）移项得，（3﹣x）+x﹣9=0，变形得，（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）=0，因式分解，得（x﹣3）[（x﹣3）+（x+3）]=0，解得，x=3或x=0；（3）移项得，2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）=0，因式分解得，（x ﹣3）[2（x ﹣3）﹣x]=0，解得x=3或x=6；（4）化简得：（x ﹣1﹣2）（x ﹣1﹣3）=0 即（x ﹣3）（x ﹣4）=0解得x=3或x=4．例4．阅读下面材料：解答问题为解方程（x 2﹣1）2﹣5（x 2﹣1）+4=0，我们可以将（x 2﹣1）看作一个整体，然后设 x 2﹣2﹣5y+4=0，解得y 1 2 =4．当y=1 时，x 2﹣1=1，∴x2 1=y ，那么原方程可化为y =1 ，y =2，∴ x=±；当y=4时，x 2﹣1=4，∴x 2=5，∴x=± ，故原方程的解为 x1= ，x2=﹣ ，x3= ，x4=﹣．（x 2﹣x ）2﹣4（x 2﹣x ）﹣12=0． 上述解题方法叫做换元法；请利用换元法解方程．例题分析：此题考查了学生学以致用的能力，解题的关键是掌握换元思想．先把x 2﹣x 看作一个整体，设x 2﹣x=y ，代入得到新方程y 2﹣4y ﹣12=0，利用求根公式可以求解．22解：设x ﹣x=y ，那么原方程可化为 y ﹣4y ﹣12=0（2分）当 y=6时，x 2﹣x=6即x 2﹣x ﹣6=0 ∴x1=3，x2=﹣2（6分）当 y=﹣2时，x 2﹣x=﹣2即x 2﹣x+2=0 ∵△=（﹣1）2﹣4×1×2＜0∴方程无实数解（8分）∴原方程的解为：x1=3，x2=﹣2．（9分） 例5．阅读下面的材料，回答问题：解方程x 4﹣5x 2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x 2=y ，那么x 4 =y 2，于是原方程可变为 y 2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4． 2，∴x=±1； 当y=1时，x=12，∴x=±2； 当y=4时，x=4∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3 =2，x4 =﹣2． （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 换元 法达到 降次的目的，体现了数学的转化思想． 22 2（2）解方程（x +x ） ﹣4（x +x ）﹣12=0．例题分析：应用换元法，把关于x 的方程转化为关于 y 的方程，这样书写简便且形象直观， 并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程．（2）利用题中给出的方法先把 x 2+x 当成一个整体 y 来计算，求出y 的值，再解一元二次方程．解：（1）换元，降次（2）设x 2+x=y ，原方程可化为 y 2﹣4y ﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．2 2由x+x=﹣2，得方程x+x+2=0，2b﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无解．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．【同步训练】一．选择题（共10小题）1．解方程（x ﹣1） 2﹣5（x ﹣1）+4=0时，我们可以将 x ﹣1看成一个整体，设 x ﹣1=y ，则原方程可化为y 2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x ﹣1=1，解得x=2；当y=4时， 即x ﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为： x1=2，x2=5．则利用这种方法求得方程 （2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解为（ ）A ．x=1，x =3B ．x 1=﹣2，x=3C ．x=﹣3，x=﹣1D ．x=﹣1，x=﹣2 1 2 2 1 2 1 22．用换元法解方程（ 22 2 ）=6时，如果设 2 ） x+x ）+（x+x x+x=y ，那么原方程可变形为（ 2 2 ﹣y ﹣6=0 2 ﹣y+6=0D ．y 2 A ．y+y ﹣6=0 B ．y C ．y +y+6=0 3．用换元法解方程（ 22 2 2 +x ，则原方程可变形为（ ） x+x ）+2（x+x ）﹣1=0，若设y=x 2 2 ﹣2y+1=0 2 2 ﹣2y ﹣1=0 A ．y+2y+1=0 B ．y C ．y +2y ﹣1=0 D ．y2 =0，那么x+ 的值是（ ）4．已知实数x 满足x+ A ．1或﹣2B ．﹣1或2C ．1D ．﹣2 5．方程（x2﹣3）2﹣5（3﹣x 2）+2=0，如果设x 2﹣3=y ，那么原方程可变形为（） 2 ﹣5y+2=0 2 ﹣2=0 2 2 A ．y B ．y +5y C ．y ﹣5y ﹣2=0 D ．y+5y+2=02 ﹣2xy+y 2 ）6．若实数x ，y 满足x +x ﹣y ﹣6=0，则x ﹣y 的值是（ A ．﹣2或3 B ．2或﹣3 C ．﹣1或6 D ．1或﹣62 2 2 2 2 2 的值为（） 7．已知（x+y+1）（x+y+3 ）=8，则x+yA ．﹣5或1B ．1C ．5D ．5或﹣18．如果（x+2y ） 2（x+2y ）﹣4=0，那么x+2y 的值为（ ）+3 A ．1 B ．﹣4C ．1或﹣4 D ．﹣1或39．正整数x ，y 满足（2x ﹣5）（2y ﹣5）=25，则x+y 的值是（ ）A ．10B ．18C ．26D ．10或182 2 2 2 ﹣2）=8 2 2） 10．若（a+b ）（a +b ，则a+b=（ A ．﹣2 B ．4 C ．4或﹣2 D ．﹣4或2二．填空题（共5小题） 2=1，那么x+ +1的值为_________ ．11．已知，关于x 的方程x+12．解方程（x 2﹣5）2﹣x 2+3=0时，令x 2﹣5=y ，则原方程变为_________ ． 22 （a ﹣b ）+1=0，则a ﹣b= _________ ． 13．若a ﹣2ab+b+2 14．用换元法解方程：（x2﹣x ）2﹣5（x 2﹣x ）+6=0，如果设x 2﹣x=y ，那么原方程变为_________ ．2﹣1）2﹣2x 2﹣1=0时，通过换元并整理得方程 y 2﹣2y ﹣3=0，则y= 15．在解方程（x _________ ． 三．解答题（共4小题）16．解方程：（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2=017．如果a为不等于±2的整数，证明方程4 没有有理根．x+ax+1=018．对于有理数x，用[x]表示不大于 x的最大整数，请解方程．19．用适当方法解下列方程（1）（2y﹣1）2=（2）x﹣=5x（﹣x）2 2 2（3）（x﹣3）+（x+4）﹣（x﹣5）=17x+24（4）（2x+1）2+3（2x+1）﹣4=0参考答案一．选择题（共10小题）1．解：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0，设y=2x+5，y2﹣4y+3=0，方程可以变为∴y1=1，y2=3，当y=1时，即2x+5=1，解得x=﹣2；当y=3时，即2x+5=3，解得x=﹣1，所以原方程的解为： x1=﹣2，x2=﹣1．故选D．22．解：把 x+x整体代换为y，2y+y=6，即y2+y﹣6=0．故选A．2 23．解：设y=x+x，得y+2y﹣1=0．故选C．4．解：∵x2+ =0∴∴[（x+）+2][（x+）﹣1]=0∴x+=1或﹣2．∵x+=1无解，∴x+=﹣2．故选D．5．解：∵x2﹣3=y2∴3﹣x=﹣y所以y2+5y+2=0．故选D．6．解：设 x﹣y=m，则原方程可化为：2m+m﹣6=0，解得x1=2，x2=﹣3；故选B2 2 2 2 2，7．解：原方程变形得，（x+y ）+4（x+y）﹣5=02 2 2 2﹣1）=0，（x+y+5）（x+y又∵x2+y2的值是非负数，2 2∴x+y的值为只能是1．故选B．8．解：∵x、y为正整数，∴或或或解得，x=5，y=5，或x=3，y=15，∴x+y=10或18．故选D．2 210．解：设a+b=x，则有：x（x﹣2）=8即x2﹣2x﹣8=0，解得x1=﹣2，x2=4；2 2∵a+b≥0，2 2故a+b=x2=4；故选B二．填空题（共5小题）2 211．解：原方程可化为x+（）+2x? +2（x+ ）+1=2+2x?2（x++1）=4x++1=±2．12．解：∵x 2﹣5=y，2，∴x=5+y2 2 2 22﹣5）﹣y﹣5+3=y∴（x ﹣x+3=y ﹣y﹣2=0，故本题的答案是y2﹣y﹣2=0．213．解：设 t=a﹣b，则原方程可化为：t+2t+1=0，2解得：t=﹣1．∴a﹣b=﹣1．14．解：根据题意2﹣x=y，把原方程中的2x x﹣x换成y，所以原方程变化为： y2﹣5y+6=015．解：方程整理，得（ x2﹣1）2﹣2（x2﹣1）﹣3=0故y=x2﹣1三．解答题（共4小题）16．解：设 y=x2﹣2x2原方程可变为：y+y﹣2=0解方程得y=﹣2或1所以x2﹣2x=﹣2或1．当x2﹣2x=﹣2时，△＜0，没实数根，当x2﹣2x=1时，解得x=1±．∴原方程的根是x1=1+，x2=1﹣．17．证明：若a=2或者﹣2，方程有有理根，当=2时，有理根x=﹣1；等于﹣2时，有理根x=1．这个根据配方法得来．4 4 2 2 2 2 ，此等式有公因式，可得x=±1．x±2x+1=0，即x﹣x+x±2x+1=x（x+1）（x﹣1）+（x±1）=0而由题意知：a≠±2，即x≠±1．则有a=﹣=﹣x3﹣，其中x≠±1．a为整数，而a=﹣x3﹣，若x为整数且x≠±1，那么x3为整数，为小数，整数与小数之和或者差，皆为小数，故x不能是整数．若x为分数，那么设x= ，其中c、b互质且为整数，b≠0．那么﹣x3﹣= ﹣=﹣．由此代数式知：因为c、b互质，故此代数式的值不为整数．故当x为整数或者分数时，a为整数均不能成立．故当a为整数时，方程没有有理根．18．解：因为方程左边的第1、3项都是整数，所以3y是整数．注意到，代入方程，得到，．所以是整数，3y是10的倍数．令3y=10k，k是整数，代入得，其中，对于有理数x，x=x﹣[x]．所以有，．当k取不同整数时，的情况如下表：k ≤﹣2=﹣1=0=1 =2 =3＞31﹣k﹣＜﹣1= =0＜﹣1 =﹣=1=k的可能值是﹣1和3，相应的和y=10．代入验算得到或y=10．故答案：或y=10．19．解：（1）方程原式两边同乘以2，2得（2y﹣1）=∴2y﹣1=±，y= ±；（2）移项、提取公因式得（x﹣）（5x+1）=0，解得x1=，x2=﹣；（3）去括号、移项、合并同类项得（x+3）（x﹣8）=0，解得x1=﹣3，x2=8；（4）解方程（2x+1）2+3（2x+1）﹣4=0可以用换元法和配方法，设2x+1为y，得y2+3y﹣4=0，2利用配方法得（y+ ）=4+ ，y+ =±，得y=1或﹣4，设2x+1为y，则x1=0，x2=﹣．。