考研讲义数三经济部分第十三章 微积分在经济学中的经济应用 (数三）《考试要求》1. 掌握导数的经济意义（含边际与弹性的概念）。

2. 了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。

3. 掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。

4. 会应用一阶差分方程、极限、级数等知识求解简单的经济应用问题。

一、.极限及级数在经济学中的应用(一)复利：设某银行年利率为r ，初始存款为0A 元，（1）一年支付一次利息（称为年复利），则t 年后在银行的存款余额为()t1tA A r =+;（2）若一年支付n 次，则t 年后在银行的存款余额为0(1)r nt A A t n =+;（3）由于lim [(1)]n rrt rtr e n n +=→∞，所以当每年支付次数趋于无穷时，t 年后得到的存款余额为0rttA A e =，称为t 年后按连续复利计算得到的存款余额。

(二)将来值与现值：上述结论中，称tA 是0A 的将来值，而0A 是tA的现值。

现值与将来值的关系为： 0(1)ttA A r =+ ⇔0(1)tt A A r -=+ 或0(1)tt A A r =+⇔0(1)tt A A r -=+例 1 现购买一栋别墅价值300万元, 若首付50万元, 以后分期付款, 每年付款数目相同, 10年付清,年利率 为6%, 按连续复利计算, 问每年应付款多少？例2（08）设银行存款的年利率为0.05r =，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？、二. 经济学中的常用函数需求函数：()Q Q P =, 通常()Q Q P =是P 的减函数； 供给函数：()Q Q P =, 通常()Q Q P =是P 的增函数；成本函数：1()()C Q C C Q =+, 其中0(0)CC =为固定成本, 1()C Q 为可变成本；收益函数：R PQ =; 利润函数：()()()L Q R Q C Q =-.例 1 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售, 售价分别为1p 和2p , 销售量分别为1q 和2q ,需求函数分别为112402qp =-, 22100.05qp =-, 总成本函数为123540()C q q =++, 试问：厂家如何确定两个市场的售价, 能使其获得的总利润最大？最大的总利润为多少？例 2（99）设生产某种产品必须投入两种要素, 1x和2x分别为两种要素的投入量, Q为产出量；若生产函数为12=, 其中,αβ为正常数,Q x xαβ2且1αβ+=, 假设两种要素的价格分别为1p和2p试问：当产出量为12时, 两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？解需要在产出量12x xαβ=的条件下, 求总费212用1122p x p x +的最小值, 为此作拉格朗日函数12112212(,,)(122)F x x p x p x x x αβλλ=++-.11121121221220,(1)20,(2)1220.(3)F p x x x F p x x x F x x αβαβαβλαλβλ--∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪⎪∂=-=⎪∂⎩由(1)和(2), 得1221216(),()p p x x p p αββααβ==；因驻点唯一, 且实际问题存在最小值, 故当211212(),6()p p x x p p βααββα==时, 投入总费用最小.三. 利用导数求解经济应用问题（一）、边际量：当某经济量()y y x =的自变量x 增加一个单位时经济量的改变量称为该经济量的边际量, 如边际成本、边际收益、边际利润等, 由于(1)()()y x y x y x '+-≈, 且对于大数而言, 一个单位可以看成是微小的, 习惯上将()y x '视为()y y x =的边际量. 1、 定义 ： 设()y f x =或(),y f x t =，则称dydx或y x∂∂为y 关于x 的边际函数。

2、经济学含义：dy dx表示自变量x 增加一个单位时经济量()y x 的改变量。

(二）、弹性函数：1、定义：设某经济量()y y x =，称η=dyEyx dy y dx Ex y dxx==为 ()y y x =的弹性函数。

2、经济学含义：当自变量x 增加1%时, 经济量()y y x =增加（η>0时）或减小（0η<时）%η。

3、需求弹性：由于一般情况下需求函数()Q Q P =是P 的减函数, 因此定义需求对价格的弹性 =p EQ P dQE EP Q dP=--（恒正，表示价格增加1%时需求减小%pE ）例 1 设某产品的成本函数为21()40032C x x x =++, 而需求函数为P=, 其中x 为产量(假定等于需求量), P 为价格, 试求(1)边际成本； (2)边际收益；(3)边际利润；（4）收益的价格弹性 ；例2设某商品的需求函数为p P f Q 2112)(-== （1）求需求弹性函数及P=6时的需求弹性，并给出经济解释。

（2）当P 取什么值时，总收益最大？最大总收益是多例3（15）为了实现利润最大化，厂商需要对某种商品确定其定价模型。

设Q 为需求量，P 为价格，MC 为边际成本，η为需求弹性（正数），（1）证明定价模型=11MCP η-(2)若成本函2()1600,40,1C Q Q Q P =+=-需求函数试由（）中的定价模型确定此商品的价格。

例4(04)某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)； (II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.例5(12)某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000(万元)，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x (件)和y (件)，且固定两种产品的边际成本分别为202x +(万元/件)与6y +(万元/件).(I)求生产甲乙两种产品的总成本函数..(万元).(II)当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本.(III)求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意 义。

例6（09） 设某产品的需求量函数为()Q Q P =, 其对价格P 的弹性0.2Pε=, 则当需求量为 10000件时, 价格增加1元, 会使产品收益增加元.例 7 已知某商品的需求量x对价格p的弹性3η=, 而市场对该产品的最大需求量为 1 (万3p件), 求需求量函数.例8 设生产某产品的固定成本为10, 当产量为x时的边际成本为232040=--, 边际收益为MC x x=+. 试求1032MR x(1) 总利润函数；(2) 使总利润最大的产量.例9 设产品的需求函数为()Q Q p =，收益函数R pQ=，其中p 为产品价格，Q 为需求量（产品的产量），()Q p 是单调减少函数。

如果当价格为0p 对应产量为0Q 时，边际收益0dR a Q QdQ=>=，收益对价格的边际效应 0dRc p p dp=<=。

需求对价格的弹性为1E b p=>，求,00p Q 。

四、差分方程及其在经济学中的应用（一）、差分与差分方程的概念及性质定义：若记()y y t =为ty ，则称差1t tyy +-为函数ty 的一阶差分，记为1tt ty y y +∆=-；含有1,t t y y + 或ty ∆的 等式叫一阶差分方程。

定理：线性差分方程的性质： 1、若()Y Y t =为线性齐次差分方程()1t t yp t y ++=的解，则通解()y cY t =；2、若y *为线性非齐次差分方程()()1t t yp t y f t ++=的一个特解，()y cY t =为对应的 线性齐次差分方程()10t t y p t y ++=的通解，则y cY y *=+为()()1t t yp t y f t ++=的通解。

3、若1y *为()()11t t y p t y f t ++=的特解，2y *为()()12t t y p t y f t ++=的特解， 则 12y y **+为()()()112t t yp t y f t f t ++=+的特解。

4、若12,y y 均为()()1t t yp t y f t ++=的解，则12y y -为()10t t y p t y ++=的解；121()2y y +仍为()()1t t y p t y f t ++=的解。

（二）一阶线性常系数差分方程的解法1、一阶线性常系数齐次差分方程 1t t y ay +-=的解法：特征方程：r a -=, 特征值:r a=, 通解:tty Ca =.2、 一阶线性常系数非齐次差分方程1()t t y ay f t +-=的解法:方程的通解为*t t t y Ca y =+，其中*t y 为原非齐次方程的特解。

当()()tmf t P t d =时，设特解形式为*()kttmyt Q t d=, 其中0,1,d ak d a≠⎧=⎨=⎩.，*ty 可用待定系数法求之：（三）、典型例题例1 (01,I) 某公司每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上再追加2百万元，若以tW 表示第t 年的工资总额(单位：百万元), 则tW 满足的差分方程是 .例 2 (98)差分方程121050t t y y t ++-=的通解为 。

例3 差分方程123tt ty y +-=的通解为 .例 4 （97）差分方程 122tt t yy t +-= 的通解为 。

例5 求1232t tt ty y t +-=+的通解。

例 6 已知12()2,()23t t Y t Y t t ==-为1()()t t y p t y f t ++=.(),()p t f t 的解，求 。

例7 设某养鱼池一开始有某种鱼A条，鱼的平均年净繁殖率为R，每年捕捞x条，要使n年后鱼池仍有鱼可捞，应满足什么条件？。