高考中特殊四面体的研究
四面体是立体几何中最基本,也是最重要的几何体,它的地位相当于平面几何中的三角形所处的地位。

因此对四面体的研究一方面可以作为平面三角形在空间的直接类比,可得出类似的性质(如勾股定理)或结论。

另一方面又可以观察它的外接平行六面体来证明它的大批性质,很有实用价值。

在这里,将高考复习中,较为常见的几种特殊四面体的性质进行梳理并配简单应用。

一、直角四面体
⒈定义:某顶点的三个面角都是直角的四面体称为直角四面体,或称对棱都互相垂直且有一个面角为直角的四面体是直角四面体。

⒉性质:直角四面体相当于三角形中的直角三角形,它可由三条两两互相垂直的棱作为长方体的长、宽、高,补成长方体.。

或可看作一个长方体切去一个角而形成的四面体。

设四面体abcd中,∠bac=∠cad=∠dab=90°,ao⊥面bcd,那么直角四面体有如下性质:
⑴直角四面体中,不含直角的面是锐角三角形,即△bcd是锐角三角形(可以用三垂线定理或余弦定理进行推证)。

⑵直角四面体的外接球的半径为r=1/2(可以补成长方体后进行证明)。

⑶直角四面体的对棱中点连线长相等,且等于外接球的半径。

⑷勾股定理的推广:s2△bcd=s2 △abc+s2△acd+s2△adb
注:此结论,可看作直角三角形中勾股定理在空间直角四面体中的推广。

这一结论,在2003年的高考试题中,出现在填空题里,考查了学生类比能力。

现证明如下:
如图:由已知条件有ac⊥面abd,ao⊥面bcd,得ac⊥bd,ao⊥bd。

从而.bd.⊥面aoc。

连co交bd于e,连ae,则ce⊥bd,ae⊥bd,ac⊥ae。

在rt△ace中:
ae2=eo×ec
从而(1/2ae×bd)2=(1/2eo×bd)(1/2ec×bd)
即s2△abd=s△bod×s△bcd
同理s2△abc=s△boc×s△bcd
s2△acd=s△cod×s△bcd
三式相加s2△abd+s2△abc+s2 △acd=s2△bcd
例1.(2006年高考题)如图,、是互相垂直的异面直线,mn是它们的公垂线段。

点a、b在上,c在上,am=mb=mn。

(ⅰ)证明ab⊥nb;
(ⅱ)若∠acb=60°,求nb与平面abc所成角的余弦值。

解:(ⅰ)由已知l2⊥mn,l2⊥l1,mn∩l1=m,可得l2⊥平面abn。

由已知mn⊥l1,am=mb=mn,可知an=nb且an⊥nb.又an为ac在平面abn内的射影。

∴ac⊥nb
(ⅱ)∵rt△can≌rt△cnb,∴ac=bc,又已知∠acb=60°,因此△abc为正三角形。

∵rt△anb≌rt△cnb,∴nc=na=nb,因此n在平面abc内的射影h 是正三角形abc的中心,连结bh,∠nbh为nb与平面abc所成的角。

在rt△nhb中,cos∠nbh=
二、正四面体:
⒈定义:四个面都是全等的正三角形的四面体叫做正四面体。

⒉性质:正四面体是四面体最为特殊的四面体,它相当于三角形中的等边三角形,正四面体内接于一个正方体,每一个正方体有两
个内接正四面体。

设正四面体的棱长为a,则它有如下性质:
⑴正四面体的全面积是棱长平方的倍。

体积是棱长立方的/12倍。

⑵正四面体的两侧面间的二面角为arcsin(2/3)。

⑶正四面体的内切球、外接球球心相同,半径分别为r=/12·a
r=/4·a
⑷正四面体各棱中点是正八面体的六个顶点。

⑸正四面体各棱中点的连线是对棱的公垂线,它的距离是
d=/2·a
⑹正四面体abcd中,过顶点d的高de的中点o,那么四面体oabc 是直角四面体。

以上一系列性质均可在正方体模型下证明.
例2.正三棱椎s---abc的侧棱于底面边长相等,如果e、f分别为sc、ab的中点则异面直线ef与sa所成的角等于()。

a90°b60°c45°d30°
分析:此正三棱椎即为正四面体,故可作正四面体的外接正方体,
则正方体的面对角线是正三棱椎的棱,e、f是上、下底面中心的连线,平移e、f到棱上,可知其与sa的夹角为45°,故选c。

注:本例利用正四面体的外接正方体很快捷的判断出结论。

三、等腰四面体
1定义:对棱都相等的四面体叫做等腰四面体。

⒉性质:等腰四面体相当于三角形中的等腰三角形,它内接于一个长方体,或可以把它补成一个长方体,使等腰四面体对棱分别为长方体的面的对角线。

则它有如下性质:
⑴等腰四面体各面的面积相等,且为全等的锐角三角形。

⑵等腰四面体对棱中点的连线共点,互相垂直平分,且为对棱的公垂线。

(以上一系列性质均可在长方体模型下证明)
例3.四面体s---abc中,三组对棱分别相等,依次为2、、5,求四面体的体积。

分析:本题若通过计算底与高,再求体积会碰到很多计算。

由题
目的条件知,此四面体即为等腰四面体,若把它补成一个长方体,使四面体的对棱分别为长方体的面对角线,那么计算就简单多了。

解:设补成的长方体的三度分别为a、b、c,体积为v,那么有
∴a=4
解得b=2
c=3
v长=24而vs—abg=vs--bce=vs--caf=va--bch=1/6abc=4
所以vs--abc=24-4×4=8
注:本例利用等腰四面体的外接长方体较为简便的解决。

例4.在正四面体内任取一点p,记p点到四个面的距离为,作集合m={d│d= ｝。

对一切p,集合m的元素有()个。

解:设正四面体a---bcd的体积为v,各侧面面积为s,连pa、pb、pc、pd.
则v=vp-abc+vp-acd+vp-abd=1/3()s
得d1+d2+d3+d4=3v/s(定值)
故集合m只有一个元素.
注:在平面上,正三角形内一点到三边距离之和为定值2s/a,而
在正四面体中,一点到三个面的面积之和为定值3v/a。

而此即为平面向空间的推广
以上对三种特殊四面体的性质进行了梳理,由以上几例可知,凡涉及以上三种特殊四面体的有关问题,均可利用它的外接平行六面
体(长方体或正方体)进行证明。

同时,在例3中处理问题的方法——割补法也充分体现了立体几何的重要数学思想。