若 lim k C 0 , 则称 是关于 的 k 阶无穷小; 若 lim 1, 则称 是 的等价无穷小, 记作 ~ 或 ~
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定理2 . 设
且
存在 , 则
lim
证:
lim lim lim lim lim lim
利用和差代替与取大规则
说明
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内容小结
1. 无穷小的比较
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 0
是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小
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第一章
x 2
2
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2.
推广形式： lim (1 x) e
x0
1 x
1 ) ( x ) e , 则 说明 ：若利用 lim (1 ( x)
( x )
原式 lim (1
x
1 ) x 1 x

e 1
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例6. 求
例如,
2x 2 tan 2 x lim lim x 0 5 x 5 x 0 sin 5 x
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说明: 设对同一变化过程 , , 为无穷小 , 由等价
无穷小的性质, 可得简化某些极限运算的下述规则.
(1) 和差取大规则: 若 = o() , 则 ~ 1 x sin x lim 例如, lim 3 3 x 0 3 x x 0 x 3 x (2) 和差代替规则: 若 ~ , ~ 且 与 不等价 , lim . 则 ~ , 且 lim
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2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定义. 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小,
若 lim 0 , 则称 是比 高阶的无穷小, 记作 o( ) 若 lim , 则称 是比 低阶的无穷小; 若 lim C 0 , 则称 是 的同阶无穷小;
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6、无穷小的比较
2
第一章
引例 . x 0 时 , 3 x , x , sin x 都是无穷小, 但
sin x 1 x lim , 0, lim x 0 3 x 3 x 0 3 x sin x lim 2 , x 0 x
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
lim ( x) lim ( x) 1 1 lim arcsin x sin lim x sin 0 x 0 x x 0 x
tan x sin x 例3. 求 lim . 3 x 0 x
解: 原式
xx 原式 lim 3 x 0 x
lim
2 x 1 x 2 x 0
第一章
5、两个重要极限
5.1、
5.2、
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5.1、 两个重要极限
O C A
1 x
B D
第一种重要极限的推广形式
注
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例2. 求
tan x sin x 1 解: lim lim x 0 x x 0 x cos x sin x 1 lim 1 lim x 0 x x 0 cos x
解: 令 t x , 则
t t lim (1 1 ) t
lim
1
t
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例7. 求
解: 原式 =
1 ) 2 ]2 lim [(sin 1 cos x x x
x 2
x
lim (1 sin 2 ) x
x
(1 sin 2 ) x
1 sin 2 x
例3. 求
解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此
t 原式 lim t 0 sin t
sin t t
1
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例4. 求
解: 原式 = lim
x 2 sin 2 2 2
x 0
x
1 2 sin 1 lim x 1 2 2 x0 2
7、函数的连续性与间断点
7.1、 函数连续性的定义 7.2、 函数的间断点
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7.1、 函数连续性的定义
定义: 设函数 在 的某邻域内有定义 , 且 则称函数 f ( x) 在 x0 连续. 可见 , 函数 (1) (2) 极限 (3) 在点 在点 x0 连续必须具备下列条件:
有定义 , 即
存在 ;
存在 ;
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若
在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 上的连续函数的集合记作 C [ a , b ]. ( 有理整函数 ) 在 上连续 .
x3
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(1 1 . 例4. 求 lim x 0 cos x 1
解:
1 x2 )3
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例5. 证明: 当
证:
时,
ln(1 x) ~ x
ln( 1 x ) ln(1 ( x )) ~ ( x ) ln( 1 x ) 与ln(1 x)不等价
2x x tan 2 x sin x lim 1 例如, lim 2 1 x 1 x 0 x x 0 2
(见下页例3) 注意 ~ 时此结论未必成立！
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(3) 因式代替规则: 若 ~ , 且 ( x) 极限存在或有 界, 则 例如,
e
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例8. 求
例9. 求
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2. 两个重要极限
或
注: 代表相同的表达式
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思考与练习
填空题 ( 1～4 ) sin x 0 ; 1. lim _____ x x 1 0 ; 3. lim x sin ____ x 0 x
1 1 2. lim x sin ____ ; x x 1 n e 1 4. lim (1 ) ____ ; n n