V ijij dv
V
定义：单位体积弹性体的应变能(或称应变能 密度)为
有：
与前式 得
比较
由于弹性体的应变能由其变形状态唯一确定， 它是状态函数，与变形过程无关，故有
比较:
此式称为格林(Green)公式，它适用于一般材 料，不局限于线弹性材料。
在状态 的应变能密度为
积分代表增量不断累积的过程
容许位移和应变不一定是真实的位移和应 变。但反之，真实的位移和应变必然是容许 的。
3、容许应力
比较
与容许应力对应的应变与位移不一定满足协 调方程和位移边界条件，不保证物体内部存 在单值连续的位移场，但真实应力对应于单 值连续的位移场。 容许应力不一定是真实的应力。但反之，真 实的应力必然是容许的。
拉伸试样发热、与周 围环境热交换
声子振动、声波传播
在弹性力学中，仅研究可逆过程。对于静 力学问题，认为外荷载对弹性体所做的功 全部转化为弹性体的应变能，并贮存于弹 性体内。若卸去外荷载，弹性体将释放出 全部的应变能，并恢复其未受载时的初始 状态。
弹簧
准静态加载
分析：从A状态到B状态 外荷载做功的增量： 弹性体应变能增量:
虚应力原理 几何方程＋位移边界条件
由 ij, j 0, 可知
0 ij, juidv
V
分部积分
ij n juids ijui, jdv
S
V
拆分边界
ij n juids ij n juids ijui, jdv
S
Su
V
tiuids ij
Su
V
1 2
ui, j
u j,i
• 变分原理已成为有限元法的理论基础，而广义变 分原理已成为混合和杂交有限元的理论基础。
问题的引入
弹性力学问题的两种基本解法 1、建立偏微分方程边值问题（直接法）
精确，但往往求解困难，有解答的问题有限
问题的引入
弹性力学问题的两种基本解法
2、建立变分方程：泛函极值问题，近似解法
优点：最终可以转化为求函数的极值问题，化 为代数方程，为近似解的寻求提供方便。也是 数值方法的理论基础。
本章包含了非常多的力学概念，这些概念是有限 元及其它力学分支中普遍用到的，需对其内涵有 一定了解
公式推导较多、较繁，但
公式的推导、证明过程理解思路即可
§11 — 2 应变能与余应变能
1.应变能---物体因变形而储存的能量。
功和能的关系-热力学定律：
外力做功
动能、应变能 热能、声能
可逆过程
耗散
不可逆过程
极值必是驻值，但驻值不一定是极值。
取极值的必要条件为 由二阶导数来判定
，其充分条件
2、泛函的驻值和极值
其中：
五、欧拉方程与自然边界条件
因为取驻值，所以
为欧拉微分方程，可见上述泛函的驻值问题等 同于欧拉微分方程边值问题的解。
如果问题是：
自变函数事先满足的边界条件称为本质边 界条件。 实例
本章学习重点：建立力学概念
由广义虚功原理：
fiuidv
tiuids
(ti
ti
)ui
ds 边条合并
V
S
Su
再考虑广义虚功原理
( ij ij )ijdv
V
tiuids ij ij dv
Su
V
外余虚功=内余虚功
表明
在已知位移的边界上，虚面力在真实位移 上作的功，等于整个弹性体的虚应力在真 实应变上作的功。即虚应力原理。
V
S
ij (ij ij )dv
V 再考虑广义虚功原理
fi uidv ti uids ij ijdv
V
S
V
即为：
虚位移原理
或称： 外力虚功=内力虚功
虚位移原理 平衡方程＋应力边界条件
虚位移原理右端项
ijij dv ij
V
V
1 2
ui, j
u j,i
dv ijui, j dv
V
S
虚位移是任意的，可得
ij, j fi 0 V内
ij n j fi 0 S 上
8、虚应力原理-发生虚应力
由广义虚功原理：
fiuikdv
tiuikds
s
ij
k ij
dv
V
S
V
设：uik 真实位移
s ij
ij
ij
真实应力 虚应力
则： ij, j 0(V ) ijnj 0(s ) 另：在su上： ijnj 泛的应用 ”热量与机械能的交换-蒸汽机 有趣的发展历史：迈尔(医生)、赫姆霍兹、焦耳
微元体在某一应变状态获得的应变能增量为
其中，ui为弹性体变形过程中的位移增量。
利用高斯公式得： 高斯公式
考虑到应力张量的对称性，有
ijui, j
1 2
证明 因为广义虚功原理
fiuikdv
tiuik ds
' ij
k ij
dv
V
S
V
tiuik ds
' ij
uik,
j
dv
S
V
几何条件 分部积分
tiuik ds
' ij
n
j
uik
ds
' ij
,
juik
dv
S
S
V
(
' ij
,
j
fi )uik dv
(
' ij
n
j
ti
)uik
弹性力学的变分原理
• 变分原理--- f泛函极值（或驻值） 的问题，后者就称为该物理问题的变分原理。 物理学的一条基本原理：力学中的虚功原理、最小势 能原理、最小余能原理、哈密顿原理等，电磁理论，几 何光学中的费马原理，量子力学等；
ds
0
V
S
' ij
' ij
,j
n
fi j t
i
0
x V x S
表示内外力平衡
由（a）、（c)
(b) 类似可证明。
表述为：若有一组位移和应变，对于任
意容许应力，使广义虚功原理成立，则这组
位移和应变是可能的。
关系：
平衡条件
几何条件
广义虚功原理
几何条件
平衡条件
7、虚位移原理-发生虚位移
设：ui 真实位移
* ij
、
* ij
为 0~
ij 、 ij
的某个中间状态。
弹性体应变能是状态函数，故上式积分与 路径无关。
对于线性问题，可假设在变形过程中应力、 应变分量等比例增长。
2. 余应变能、余应变能密度
对于单向拉伸问题 应变能密度为
引入另一标量函数：
反转自变、因变关系
即余应变能密度 余应变能
一般地，应变能密度和余应变能密度满足关系 对于线弹性体
1 2
ilui,l
ilul,i
1 2
il
ui,l
ul,i
ilil
σ u il,iul ilul,i il,iul ilil σu σ :ε
V f udv σ udv
V
V
σ f udv σ :εdv σ :εdv
V
V
V
σ : ε ij eie j : klek el ij kl ik jl ij ij
V 分部积分
ij n jui ds ij, jui dv
拆分边界 S
V
ij n jui ds ij n jui ds ij, jui dv
S
Su
V
ij n jui ds ij, jui dv
S
V
代回到虚位移原理，即得 ij, j fi uidv ij n j fi uids 0
ij
ui, j
ui, j
1 2
ijui, j
ijui, j
1 2
ijui, j
jiui, j
1 2
ijui, j
iju j,i
1 2
ij
ui, j
u j,i
ijij
V f udv t uds f udv n σ uds
V
V
V
V
f udv σ udv 广义高斯公式
1、自变量的微分dx 2、函数的微分-因变量增量 3、函数的变分-与微分对应，仍为函数
注意到：
与(*)式比较，可见： 即：
结论：导数的变分等于变分的导数，或变分
记号与求导记号可以互换。
三、泛函的变分
一般情况下，泛函可写为：
1、按照泰勒级数展开法则，被积函数 f 的增 量可以写成
上式中右边的前两项是f 的增量的主部，定 义为 f 的一阶变分，表示为
2、再考察 定义泛函I 的变分
与上式比较，可得：
结论：变分运算和积分运算可以交换次序
* 导数的变分等于变分的导数
四、泛函的驻值与极值
1、函数的驻值和极值---对比理解 如果函数y(x)在x＝x0的邻近任一点上的值都 不大于或都不小于y(x0)，即
y(x)－y(x0)≤０或≥０（峰、谷）
则称函数y(x)在x＝x０处达到极大值或极小 值。极值的必要条件为
证明： isj是静力容许的
fiuik dv
s ij,
juik
dv
V
V
s ij
n
juik
d
s
isjuik, jdv
uw,idv uwnids wu,idv S
V
V
S
V
tiuik ds
isj
k ij
dv
移项后
S
V