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【内封面】南通大学毕业论文摘要数学归纳法是一种常用的证明方法，它的应用极其广泛。
本文讨论了数学归纳法的原理，以数学归纳法原理为基础，在不同条件下对数学归纳法原理进行变易，扩大数学归纳法的应用范围。
并对数学归纳法的分类、应用进行总结，给出数学归纳法在初等代数、高等代数中的应用典例。
关键字：数学归纳法、原理、变易、应用。
ABSTRACTMathematical induction is a common method of proof, and its applications is very broad. This article discusses the principle of mathematical induction, promotes the principle of mathematical induction under different conditions, and expands the range of applications induction on the basis of the principle. It summarizes the classification and application of mathematical induction. Typical examples of applications of mathematical induction are given in elementary algebra and advanced algebra.Key words: Mathematical induction,Principle,Variation,Application目录摘要 (I)ABSTRACT.................................................................................................... I I1.引言 (1)2.数学归纳法原理及变易 (1)2.1数学归纳法的本原 (3)2.2数学归纳法原理 (3)2.3数学归纳法原理变易 (4)3．数学归纳法的表现形式 (6)3.1 第一数学归纳法 (6)3.2 第二数学归纳法 (6)3.3 跳跃归纳法 (7)3.4 双向归纳法 (8)3.5 反向归纳法 (8)4.数学归纳法的应用 (10)4.1数学归纳法在初等代数中的典型应用 (10)4.1.1 证明恒等式 (10)4.1.2 证明不等式 (12)4.1.3 证明整除问题 (12)4.1.4 证明几何问题 (12)4.2 数学归纳法在高等数学中的应用 (13)4.2.1 数学归纳法证明德摩根定律推广式 (13)4.2.2 数学归纳法证明行列式 (14)5.结论 (16)参考文献 (17)致谢......................................................................... 错误!未定义书签。
1.引言数学归纳法是一种重要的推理方法，它在用于确定一个表达式在一切自然数范围内是成立的，或者用来确定其他形式的表达式在无穷序列也成立的应用中最为典型。
它是一种非常重要的数学方法，不仅在我们中学数学学习中有很大应用，而且对我们进一步学习研究高等数学也有很深的影响。
从最为普通的、不严密的“归纳法”到广泛精确的“数学归纳法”及更大范围的推广，数学归纳法的历史已经有两千多年了。
根据文献[1]:英国数学家创立了“数学归纳法”的名称，并被英国教科书的作者广泛采用和推广。
在1838年伦敦出版的《小百科全书》中，德摩根在条目归纳法里提到建议使用“逐收归纳法”完善数学语言，在该条目的最后他偶然地使用了术语“数学归纳法”，这是这一术语最早的使用。
数学归纳法最早的应用是在印度和希腊时代的著作中，如印度婆什迦罗的“循环方法”和欧几里得的素数无限证明，但数学归纳法被真正比较明确的使用是从莫洛里科斯开始。
16世纪后，意大利数学家莫洛里科斯首先深入的探究了与自然数有关的命题，由此数学归纳法产生。
数学归纳法的基础是观察与实践，准确的理解数学归纳法原理及其变易，是掌握这种证明方法的关键。
数学归纳法既不是归纳法，也不是演绎法，而是一种递归推理。
1889年，意大利数学家皮亚诺在其著作《算数原理新方法》中提出自然数公理体系，其中“归纳公理”成为数学归纳法的理论依据。
他提出：（1）1是正整数（2）每一个确定的正整数a,都有一个确定的'a,'a也是正整数。
（3）如果b、c都是正整数a的后继数，那么b c（4）1不是任何数的后继数（5）（归纳公理）一个正整数集合，如果包含1，并且假设包含x，也一定包含它的后继，那么这个集合包含所有正整数。
由此总结得出递归推理思想方法是：首先确定命题对第一个自然数是成立的，然后再证明对以后自然数具有递推性，也就是如果该命题对于第一个自然数是成立的，那么作为一种逻辑必然关系，它对于第一个自然数的后继数也是成立的。
[1]由于数学归纳法理论和应用的重要性，对于数学归纳法的研究和推广一直是国内外数学家比较关注的研究课题，关于这方面的研究情况可以参见文献[3]-[14]。
如文献[3]-[6]讨论了数学归纳法的原理，文献[3]对数学归纳法的理论依据和本原进行阐述，文献[4]-[5]给出数学归纳法的原理并对其进行细致分析，以数学归纳法原理的分析和比较，对部分范围或者更大范围的数学归纳法原理应用进行了推广，得出不同条件下数学归纳法原理的变易。
文献[7]-[8]给出数学归纳法的几种表现形式，并对其在具体问题中的应用给出示范。
由文献[9]-[12]给出数学归纳法在初等代数及高等代数中的应用。
本文主要是对数学归纳法的基本原理进行分析推广，由此得出数学归纳法在不同条件下的原理的变易，通过对不同条件下命题的分析，准确运用数学归纳法解决命题。
同时对数学归纳法的表现形式做出分类，利用以上结论得出数学归纳法在初等代数、高等代数的应用。
2.数学归纳法原理及变易2.1数学归纳法的本原先从少数示例中摸索出规律来，再从理论上证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一。
在华罗庚《数学归纳法》中提及：以认数为例，小孩子认数，先学会数一个、两个、三个；再过些时候，能数到十了；又过些时候，会数到二十、三十...一百了。
但后来，绝不是一段一段的增长，而是飞跃式前进。
到某一时候，他领悟了，到什么数都会数了，这一飞跃，就从有限跃到了无穷。
[3]那么，是如何做到这种飞跃的？首先，他知道从头数，其次，他知道一个一个按次序地数，而且数完一个，就会有下一个，也不用担心下一个不会数，这样他就理解了下一个数的表达方式，可以由上一个数来决定这种方法，这样，他就学会数任何数字了。
能解释这个现象的就是数学归纳法。
在很大程度上，数学归纳法帮助我们认识客观事物，从简单到复杂，从有限到无穷。
1979年，迈克凯尼用169713张骨牌搭出了一个诺骨牌阵。
迈克凯尼推倒第一张多米诺骨牌，第二张也倒下，紧接着第三张也倒下…在半小时内6900米长多米诺骨牌依次倒下，这就是神奇的多米诺骨牌现象。
由以上事例，要使多米诺骨牌全部倒下一定要满足这两个条件：（1）第一块多米诺骨牌要倒下；（2）任意两块相邻的多米诺骨牌，如果前一块倒下了，后一块也一定会倒下。
这就是数学中一种非常重要的证明方法——数学归纳法的原理。
2.2数学归纳法原理根据皮亚诺的归纳定理：“如果某一个正整数的集合M含有1，并且只要M 含有正整数K，就必定含有紧接着K后面的数K+1，那么M就是正整数集本身。
”可以总结得出正整数集一条最基本的性质——最小数原理：如果用S表示全体正整数集合，有S={1,2,3....}，那么任意正整数集S的一个非空集T必定有一个最小数，即数a T∈都有a≤b。
这也是第一、第二数学归原理的理论∈, 对任意b T依据。
定理2.1 (第一数学归纳法原理）设S(n)表示一个涉及变量n的命题，假设：（1）S(1)是成立的；（2）如果S(k)对于正整数k 成立，则对S(k+1)也成立；那么S(n) 对所有正整数n 成立。
证明：假设S(n)不是对所有正整数都成立，设S 表示使命题不成立的一切正整数集合，S ≠∅ ，由最小数原理可知，S 中存在最小数a ,由于S(1) 成立，所以有1a ≠ ，从而1a - 是一个正整数。
因为a 是S 中最小数，所以1a - 不属于S ，那就有当1n a =- 时S(n) 也成立。
由（2）可知，当n a = 时命题也成立。
这于a S ∉ 矛盾，所以假设不成立。
定理2.2（第二数学归纳法原理） 设S(n)表示一个涉及变量n 的命题，假设：（1）S(1)是成立的；（2）如果S(n)对一切小于等于k 的自然数来说成立，那么S(k+1) 也成立； 则S(n) 对于一切自然数n 都成立。
证明：假设S(n) 不是对所有正整数都成立，设S 是表示一切使命题不成立正整数构成的集合，S ≠∅，由最小数原理，a 是S 中最小数，由于S(n)对于1n =成立，所以1a ≠，从而S(n)对一切小于a 的自然数成立，由（2）可知n a =对S(n)也成立，所以有a S ∉，矛盾产生，假设不成立。
定理2得证。
数学归纳法原理也可以被用于证明涉及到离散值的更广范围的一些变量的情况。
2.3数学归纳法原理变易在用数学归纳法解决命题时，由于第一、第二数学归纳法原理应用条件的限制，很多情况定理并不能适用，这就需要我们在数学归纳法原理上进行变易，得到能适于更大范围的定理，帮助我们更有效的解决命题。
数学归纳法原理有许多变易，这些变易是由数学归纳法原理在特殊条件下进行推导变易得出，但其基本原理都是相同的。
选择恰当合适的定理解决命题，将会大大提高解题效率。
定理2.3 设S(n)表示一个涉及变量n 的命题，假设：（1）S(0k )对所有正整数0k 成立；（2）如果S(k)对0k k ≥的所有正整数成立，则S(k+1)成立；那么S(n)对0n k ≥的所有正整数成立。