第四章 根轨迹法习题及答案4-1 系统的开环传递函数为)4s )(2s )(1s (K )s (H )s (G *+++=试证明3j 1s 1+-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。
解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图所示。
对于31j s +-=，由相角条件=∠)s (H )s (G 11-++-∠-)13j 1(0=++-∠-++-∠)43j 1()23j 1(ππππ-=---632满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。
将1s 代入幅值条件：143j 123j 113j 1K s H )s (G *11=++-⋅++-⋅++-=）（解出 ： 12K *= ， 238K K *==4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出2b =时系统的闭环传递函数。
（1）)b s )(4s (02)s (G ++=（2）)b s )(2s (s )b 2s (01)s (G +++=解 (1) )4j 2s )(4j 2s ()4s (b 20s 4s )4s (b )s (G 2-++++=+++='28s 6s 20)s (G 1)s (G )s (2++=+=Φ(2) )10s 2s (s )20s 2s (b )s (G 22++++='=)3j 1s )(3j 1s (s )19j 1s )(19j 1s (b -+++-+++ 40s 14s 4s )4s (10)s (G 1)s (G )s (23++++=+=Φ4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数)b s )(4s (s2)s (G ++=，试绘制参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。
解 )6s (s )4s (b )s (G ++='根轨迹如图。
2s -=时4b =， )8s )(2s (s216s 10s s 2)s (2++=++=Φ4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。
⑴ )1s 5.0)(1s 2.0(s k)s (G ++=(2) )1s 2(s )1s (k )s (G ++=(3) )3s )(2s (s )5s (k )s (G *+++= (4) )1s (s )2s )(1s (*k )s (G -++=解 ⑴ )2s )(5s (s K10)1s 5.0)(1s 2.0(s K )s (G ++=++=三个开环极点：0p 1=,2p 2-=,5p 3-= ① 实轴上的根轨迹：(]5,-∞-, []0,2-② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ππ±=π+=ϕ-=--=σ,33)1k 2(373520a a③ 分离点：02d 15d 1d 1=++++ 解之得：88.0d 1-=，7863.3d 2-(舍去)。
④ 与虚轴的交点： 特征方程为0k 10s 10s 7s )s (D 23=+++=令 ⎩⎨⎧=ω+ω-=ω=+ω-=ω010)]j (D Im[0k 107)]j (D Re[32 解得⎩⎨⎧==ω7k 10与虚轴的交点（0，j 10±）。
根轨迹如图所示。
⑵ )21s (s 2)1s (K )1s 2(s )1s (K )s (G ++=++=根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹：(]1,-∞-, []0,5.0- ② 分离点：1d 15.0d 1d 1+=++ 解之得：707.1d ,293.0d -=-=。
根轨迹如图所示。
⑶根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹：[]3,5--, []0,2-② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+==----=22)12(02)5(320ππϕσk a a③ 分离点： 5131211+=++++d d d d 用试探法可得886.0-=d 。
根轨迹如图所示。
(4) 根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹：[0, 1],[-1,-2] ②分离点：2d 11d 11d 1d 1+++=-+ 求解得：37.1d 37.0d 21-==， 根轨迹如图所示。
4-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为 )101s .0)(102s .0(s k)s (G ++=要求：(1) 绘制系统的根轨迹；(2) 确定系统临界稳定时开环增益k 的值； (3) 确定系统临界阻尼比时开环增益k 的值。
解 (1) )100s )(50s (s k5000)1s 01.0)(1s 02.0(s k )s (G ++=++=① 实轴上的根轨迹：[0, -50],[-100,-∞] ② 分离点：0100d 150d 1d 1=++++ 求解得87.78d 13.21d 21-=-=，③ 渐近线：o oa a 1806050，，±=ϕ-=σ根轨迹如图所示。
(2) 系统临界稳定时150k 750000k *==， (3) 系统临界阻尼比时62.9k 5.48112k *==，4-6 已知系统的开环传递函数为)20s 8s (s k )s (H )s (G 2*++=，要求绘制根轨迹并确定系统阶跃响应无超调时开环增益k 的取值围。
解 )20s 8s (s K )s (H )s (G 2++=*① 实轴上的根轨迹： (]0,∞-② 渐近线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ππ±=π+=ϕ-=--++-+=σ,33)1k 2(383)2j 4()2j 4(0a a ③分离点：02j 4d 12j 4d 1d 1=-+++++ 解之得：33.3d ,2d -=-=。
④与虚轴交点：*+++=ks 20s 8s )s (D 23把ω=j s 代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：⎩⎨⎧=ω-ω=ω=ω-=ω*020))j (D Im(08k ))j (D Re(32 解得：⎩⎨⎧==ω*0k 0⎪⎩⎪⎨⎧=±=ω*160k 52⑤起始角：由相角条件632p -=θ，633p =θ。
根轨迹如图所示。
所有根为负实根时阶跃响应无超调，此时，16k 8.14*≤≤ 所以8.0k 74.0≤≤4-7 单位反馈系统的开环传递函数为)1s 74()1s ()1s 2(k )s (G 2-++=，试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的k 值围。
解 ：根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹： []4/75.0，- ② 渐近线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧π±=π+=ϕ=--+--=σ22)1k 2(812)5.0(4/711a a③ 与虚轴交点：闭环特征方程为01k s )710k 2(s 71s 74)s (D 23=-+-++=把ω=j s 代入上方程，令⎪⎩⎪⎨⎧=ω-ω-=ω=ω--=ω074)710K 2())j (D Im(0711K ))j (D Re(32解得： ⎩⎨⎧==ω1K 0，⎪⎩⎪⎨⎧=±=ω79K 2根轨迹如图所示。
由图可知使系统稳定的K 值围为 79K 1<<。
4-8 已知控制系统的开环传递函数如下，试绘制系统根轨迹（要求求出起始角）。
22)9s 4s (2s K )s (H )s (G +++=*）（解 根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹： []2,-∞-② 渐近线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ππ±=π+=ϕ-=--+---=σ,33)1k 2(323)2(5j 25j 2a a ③ 分离点：2d 15j 2d 25j 2d 2+=-++++ 解之得：29.3d -= 71.0d = (舍去) ④ 与虚轴交点：闭环特征方程为02s K )9s 4s ()s (D 22=++++=*）（把ωj s =代入上方程，令⎪⎩⎪⎨⎧=ω-ω+=ω=++ω-ω=ω**8)K 72())j (D Im(0K 28134))j (D Re(324解得： ⎩⎨⎧=±=ω*96K 21⑤ 起始角： π+=⨯-θ-）（）（1k 29022901p解出135,4521p p -=θ=θ 根轨迹如图所示。
4-9 已知系统开环传递函数如下，试分别绘制以a 和T 为变化参数的根轨迹。
(1) )1s (s )a s (4/1)s (G 2++=，0a >；(2) )1Ts )(11s .0(s 6.2)s (G ++=，0T > 解 (1) 2)5.0s (s 4/a )s (G +=' ① 实轴上的根轨迹： )0(，-∞② 渐近线：o oa a 180603/1，，±=ϕ-=σ ③ 分离点：6/1d -= 根轨迹如图所示。
(2) 26s 10s )10s (Ts )s (G 22+++='① 实轴上的根轨迹： )0(，-∞ ② 起始角终止角：o o p 11o 180)90(51tg )51tg 180(2=+θ-+---解得起始角o p 7.78±=θ o 11oz 180)51tg 51tg(02=+--+θ-- 解得终止角oz 90±=θ 根轨迹如图所示。
4-10 已知系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹， 并求出所有根为负实根时开环增益k 的取值围及系统稳定时k 的值。
)18s ()1s ()1s (k )s (H )s (G 2+-+=* 解① 实轴上的根轨迹： ]118[--， ② 分离点：22.4d 1-=，28.6d 2-=③ 渐近线：5.7a -=σ，oa 90±=ϕ④与虚轴交点：j86.1s2,1±=，7.37k*=根轨迹如图所示。
6.116kd*1=处，6.117kd*2=处，18/kk*=结论：53.6k48.6<<时所有根为负实根，095.2k>时系统稳定。
4-11 已知系统结构图如图所示，试绘制时间常数T变化时系统的根轨迹，并分析参数T的变化对系统动态性能的影响。
解：s20sTs100)s(G23++=作等效开环传递函数32*s)100s20s(T1)s(G++=根轨迹绘制如下：（注意：)T/1k*=①实轴上的根轨迹：]10,(--∞,[]0,10-②分离点：10d2d3+=解得30d-=。
根据幅值条件，对应的015.0T=。
③虚轴交点：闭环特征方程为100s20sTs)s(D23=+++=把ω=js代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：⎪⎩⎪⎨⎧=ω-ω=ω=ω-=ωT20))j(DIm(100))j(DRe(32解得：⎩⎨⎧=±=ω2.0T10④ 起始角：︒=θ601p参数T 从零到无穷大变化时的根轨迹如图所示。
(请注意根轨迹的方向！)从根轨迹图可以看出，当015.0T 0≤<时，系统阶跃响应为单调收敛过程；2.0T 015.0<<时，阶跃响应为振荡收敛过程；2.0T >时，有两支根轨迹在s 右半平面，此时系统不稳定。