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高考复数的知识题型总结归类

高考复数的知识题型总结一、复数的有关概念(1)复数1.定义:形如a+b i(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,满足i2=-1.(i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i,i4n=1)2.表示方法:复数通常用字母z表示,即z=a+b i(a,b∈R),叫做复数的代数形式,a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部.(注意b是虚部而不是bi)(2)复数集1.定义:全体复数所成的集合叫做复数集.2.表示:大写字母C.(3)复数的分类复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系( 4 )复数相等的充要条件a+b i=c+d i?a=c且b=da+b i=0?a=b=0.(a,b,c,d均为实数)说明:要求复数相等要先将复数化为z=a+b i(a,b∈R)的形式,即分离实部和虚部.二、复平面的概念点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x 轴叫做实轴,y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数(1)实轴上的点都表示实数(2)虚轴上的点都表示纯虚数(3)原点对应的有序实数对为(0,0)三、复数的两种几何意义(1)复数z=a+b i(a,b∈R)→对应复平面内的点Z(a,b).(2)复数z=a+b i(a,b∈R)→平面向量→ OZ四、复数的模复数z=a+b i(a,b∈R)对应的向量为→OZ,则→OZ的模叫做复数z 的模,记作|z|,且注意:两个虚数是不可以比较大小的,但它们的模表示实数,可以比较大小.五、复数的运算设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数,z1与z2的加法运算律:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.z1与z2的减法运算律:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.z1与z2的乘法运算律:z1·z2= (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.z1与z2的除法运算律:z1÷z2=(a+bi)÷(c+di)=(分母要利用平方差实数化)六、共轭复数1.定义:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数,虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数的共轭复数为。

例如=3+5i 与=3-5i 互为共轭复数2.共轭复数的性质(1)实数的共轭复数仍然是它本身(2)(3)两个共轭复数对应的点关于实轴对称 七、常用结论 (1),(2)()i i 212-=- (3)i i-=1 (4) i ii=-+11 (5)i i i-=+-11 (6)()()22b a bi a bi a +=-+题型分类题型一:复数定义的考查1.设有下面四个命题:2.:若复数z满足,则;3.:若复数z满足,则;4.:若复数,满足,则;5.:若复数,则.6.其中的真命题为? ? ?A. ,B. ,C. ,D. ,解:若复数z满足,则,故命题为真命题;:复数满足,则,故命题为假命题;:若复数,满足,但,故命题为假命题;:若复数,则,故命题为真命题.故选B.2.下列命题:①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;②若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i;③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±2;④实数集是复数集的真子集.其中正确的是()A.①B.②C.③D.④解:对于复数a+b i(a,b∈R),当a=0且b≠0时,为纯虚数.①,若a=-1,则(a+1)i不是纯虚数,即①错误②,两个虚数不能比较大小,则②错误.③,若x=-2,则x2-4=0,x2+3x+2=0,此时(x2-4)+(x2+3x+2)i=0,不是纯虚数,则③错误.④,显然正确.故选D.3.给出下列命题:若,则;若a,,且,则;若,则是纯虚数;若,则在复平面内对应的点位于第一象限.其中正确的命题是________填上所有正确命题的序号.解:若,则不成立.比如;因为复数不能比较大小,所以不成立;,则不一定是纯虚数,比如就不是纯虚数,故不成立;,则对应的点在复平面内的第一象限,故成立.故答案为:.4.关于复数,下列命题:若,则;若z是实数,则;若zi是纯虚数,则;若,则.其中真命题个数为? ? ? ?A. 1B. 2C. 3D. 4解:若,即,得,所以,故为真命题;因为,若z是实数,则,故为真命题;因为,,若zi是纯虚数,则,故为真命题;因为,即,从而可得,解得:,即,故假命题.综上,其中真命题有:,共3个.题型二、复数分类1.设,.2.若是纯虚数,求实数x的取值范围;3.若,求实数x的取值范围.解:依题意得所以实数x的取值范围是依题意得所以检验:当时,,满足符合题意.所以实数x的取值范围是.2.当实数a为何值时.为纯虚数;为实数;对应的点在第一象限.解:复数z是纯虚数,则由,得,即.若复数z是实数,则,得或.在复平面内对应的点位于对应的点在第一象限,则,即,解得或.3.当实数m为何值时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是(1)纯虚数;(2)实数.解:(1)⎩⎪⎨⎪⎧lg (m 2-2m -7)=0,m 2+5m +6≠0,解得m =4.(2)⎩⎪⎨⎪⎧m 2-2m -7>0,m 2+5m +6=0,解得m =-2或m =-3.4. 已知复数z =m (m -1)+(m 2+2m -3)i(m ∈R ).(1)若z 是实数,求m 的值; (2)若z 是纯虚数,求m 的值;(3)若在复平面C 内,z 所对应的点在第四象限,求m 的取值范围.解:(1)∵z 为实数,∴m 2+2m -3=0,解得m =-3或m =1.(2)∵z 为纯虚数,∴⎩⎪⎨⎪⎧m ?m -1?=0,m 2+2m -3≠0.解得m =0.(3)∵z 所对应的点在第四象限,∴⎩⎪⎨⎪⎧m ?m -1?>0,m 2+2m -3<0.解得-3<m <0.题型三、复数的相等 1.已知i 是虚数单位,a ,,得“”是“”的?? ? ?A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解:当“”时,“”成立,故“”是“”的充分条件; 当“”时,“”或“”,故“”不是“”的必要条件;综上所述,“”是“”的充分不必要条件.2.(1)若(x +y )+y i =(x +1)i ,求实数x ,y 的值;(2)已知a 2+(m +2i )a +2+m i =0(m ∈R )成立,求实数a 的值;解: (1)由复数相等的充要条件,得⎩⎪⎨⎪⎧x +y =0,y =x +1,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-12,y =12.(2)因为a ,m ∈R ,所以由a 2+am +2+(2a +m )i =0,可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2+am +2=0,2a +m =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,m =-22或⎩⎪⎨⎪⎧a =-2,m =22,所以a =± 2.题型四:复平面1、已知复数z =(a 2-1)+(2a -1)i ,其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点Z 满足下列条件时,求a 的值(或取值范围).(1)在实轴上; (2)在第三象限.解:(1)若对应的点在实轴上,则有2a -1=0,解得a =12.(2)若z 对应的点在第三象限,则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1<0,2a -1<0.解得-1<a <12.故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,12.2、求实数a 取什么值时,复平面内表示复数z =a 2+a -2+(a 2-3a+2)i 的点(1)位于第二象限; (2)位于直线y =x 上.解:复平面内表示复数z =a 2+a -2+(a 2-3a +2)i 的点就是点Z (a 2+a -2,a 2-3a +2). (1)由点Z 位于第二象限,得⎩⎪⎨⎪⎧a 2+a -2<0,a 2-3a +2>0,解得-2<a <1. 故满足条件的实数a 的取值范围为(-2,1).(2)由点Z 位于直线y =x 上,得a 2+a -2=a 2-3a +2,解得a =1.故满足条件的实数a 的值为1.题型五、复数的模1.已知复数z 满足z +|z |=2+8i ,求复数z .解:设z =a +b i (a ,b ∈R ), 则|z |=a 2+b 2,代入原方程得a +b i +a 2+b 2=2+8i ,根据复数相等的充要条件,得⎩⎪⎨⎪⎧a +a 2+b 2=2,b =8,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-15,b =8.所以z =-15+8i.2.已知复数z 满足,则______ .解:由,得,设,由,得,即,解得:..则.题型六、共轭复数1.复数为虚数单位的共轭复数是A. B. C. D. 解:化简可得,的共轭复数2.若复数z满足,其中i为虚数单位,是z的共轭复数,则复数A. B. C. 4 D. 5解:复数,a、,,,即,解得,,,.3.在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限解:复数,则复数的共轭复数为即共轭复数对应点的坐标在第四象限.题型七、复数的运算1.复数为虚数单位在复平面内对应的点所在象限为? ? .A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限解:,复数在复平面对应的点的坐标是,它对应的点在第四象限,2.若复数z满足,则z的虚部为A. B. C. 4i D. 4解:由题意,,的虚部为.3.设的实部与虚部相等,其中a为实数,则a等于A. B. C. 2 D. 3解:的实部与虚部相等,可得:,解得.4.设,则A. 2B.C.D. 1解:由,得.5.已知,i为虚数单位,若为实数,则a的值为______.解:,i为虚数单位,由为实数,可得,解得.是虚数单位,复数z满足,则z的实部为______.解:由,得,的实部为1.题型八、复数的几何意义1.已知复数,是实数,i是虚数单位.2.求复数z;3.若复数所表示的点在第一象限,求实数m的取值范围.解:,,是实数,,,即,,,复数所表示的点在第一象限,,解得,即.2.复数,,则的最大值是___________.解:根据题意,有,则表示的点为距离原点距离为3的点,即以原点为圆心,的圆,那么的几何意义为圆上的点与点的距离,设,由点与圆的位置关系,分析可得的最大值是,即3.复数z满足,则的最小值是___________.解:复数z满足,复数z到点的距离为1,的几何意义是复数对应点,与的距离,所求的最小值为:,4.如图,已知复平面内平行四边形ABCD中,点A对应的复数为,对应的复数为,对应的复数为.Ⅰ求D点对应的复数;Ⅱ求平行四边形ABCD的面积.解:Ⅰ由题意,点A对应的复数为,对应的复数为,得,,可得,又对应的复数为,得,可得,设D点对应的复数为,x,,得,,四边形ABCD为平行四边形,,解得,,故D点对应的复数为.Ⅱ,,,可得:,,又,,故平行四边形ABCD的面积为.5.已知,问复数所对应的点在第几象限复数z对应点的轨迹是什么解:由,.知z的实部为正数,虚部为负数,所以复数z的对应点在第四象限.设,则,且,消去,得,所以复数z对应点的轨迹是一条射线,其方程为.。

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