第1讲人大附中真题+海淀综合模拟一、填空1.(★★)小虎在计算算式时，由于没有注意到括号，所以计算出来的结果是()399341717+-÷□3737，那么这个算式的正确结果应该是________．【【【【还原小虎计算的过程，即可求出□中的数．由题意可知，，由倒推法得到；3993417173737+-÷=□1343=□再代入正确的算式，得到正确结果为：．()3993417134317521+-÷=2.(★★★)规定与中较大的减去较小的得到的结果记为，a b a b ∆那么 ．((((12)3)4)99)100∆∆∆∆∆∆= 【【【【涉及到定义新运算，从简单情况入手在解题中发现规律．如下找规律：，，，，121∆=(12)32∆∆=((12)3)42∆∆∆=(((12)3)4)53∆∆∆∆=……((((12)3)4)5)63∆∆∆∆∆=可见，当式子的最后一个数为偶数时，式子的结果为这个偶数的一半．所以所求的式子的结果为．100250÷=3.(★★★)如果四位数能被73整除，那么商是 ．68□□【【【【显然商应该是一个两位数，分别用不同的方法确定商的十位和个位．由于，，，可见商的范围在80到1007380584068⨯=<□□73906570⨯=73100730068⨯=>□□之间．而四位数的个位数是8，除数的个位数是3，所以商数的个位数是6，可能为86和96，经过检验符合条件，所以商是86．73866278⨯=4.(★★★)甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数除甲数所得余数是除乙数所得余数A A 的2倍，除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍(余数不为0)．等于 ．A A A 【【【【只要根据余数将被除数处理为除以除数的余数相同，解决余数问题就很容易了．根据条件可知是的倍数，同理，也是的倍数，因此是93926031275⨯-=A 9393932153-⨯=A A 1275和153的公约数．因为，所以是51的约数．()1275,15351=A 人大附中由于除甲数所得余数是除丙数所得余数的4倍，所以除甲数所得余数至少为4，那么应A A A A 该大于4，又是51的约数，只可能是51和17．时，除这3个数所得余数分别为42，21，36，不满足要求，51A =时，除这3个数所得余数分别为8，4，2，符合题意，因此．17A =17A =5.(★★)有甲、乙两个圆柱体，如果甲的高和乙的底面直径一样长，则甲的体积就将减少．现25在如果乙的底面直径和甲的高一样长，则乙的体积将增加________倍．【【【【用字母将圆柱体体积表示出来，其中的比例关系就很容易求了．如果甲的高和乙的底面直径一样长，则甲的体积就将减少，即减少为原来的，由于甲的底面2535积不变，可得：．35d h =乙甲乙的底面直径和甲的高一样长，相当于乙的底面直径扩大为原来的倍，那么底面积扩大为原来53的，体积也扩大为原来的倍，即乙的体积增加倍．252539⎛⎫= ⎪⎝⎭2591696.(★★)原计划18个人植树，按计划工作了2小时后，有3个人被调走了，于是剩下的人每小时比原计划多种1棵树，还是按期完成了任务．原计划每人每小时植 棵树．【【【【工程问题中的关系式：每个人的工效人数时间总工作量． 本题条件中，时间和总工作量并⨯⨯=未发生改变．剩下的15个人按期完成了任务，说明他们的人均工效提高为原来的倍，增加了倍，所以186155=15原来每个人的工效为棵/小时．1155÷=7.(★★)一艘轮船从甲地到乙地每小时航行30千米，然后按原路返回，若想往返的平均速度为每小时40千米，则返回时需要每小时航行 千米．【【【【处理涉及到平均量的问题，不妨将平均量化为总量来处理，处理平均速度也可以采用类似方法．这里需要假设路程的量．不妨假设甲地到乙地的全程为120千米，那么按往返的平均速度为40千米，那么所花的总时间应该为小时，而去的时候已经花去了小时，所以返程所花时间应该为1204026÷⨯=120304÷=小时，返回时速度应该为千米/小时．642-=120260÷=二、解答8.(★★★)小唐在一条公路上练习跑步，已知公路上每隔100米有一面红旗，小唐从一面红旗出发始终向一个方向跑，1分钟后他发现离自己最近的红旗距离自己20米，又跑了3分钟后，他已经跑过7面红旗了(不算开始的那面)．那么小唐每分钟跑多少米？【【【【题目给出的路程量非常模糊，但我们可以通过这些条件大致确定速度的范围．小唐跑了分钟后跑过7面红旗，所以小唐4分钟跑过的路程介于700米和800米之间，134+=那么小唐1分钟跑过的路程介于和之间，即175米和200米，由于1分钟后他发现离自70048004己最近的红旗距离自己20米，所以小唐1分钟跑过的路程应该是米．20020180-=9.(★★★)如图，三角形的面积是16，是的中点，是的中点，那么四边形ABC D AC E BD 的面积是多少？CDEF F EDC B AF E D C B AG F E D CB A 【【【【四边形是不规则四边形，其面积不好直接求，可以划分为两个三角形，找出其中符合几何模CDEF 型的数量关系．(法1)连接，如中图．EC 因为、是对应边的中点，于是有，．E D ADE EDC BEC ABE S S S S ∆∆∆∆===14BEC ABC S S ∆∆=由燕尾定理可知．又因为，::1:2ABE ACE BF FC S S ∆∆==111133412BEF BEC ABC ABC S S S S ∆∆∆∆==⨯=所以．11520212123ABC ABC ABC CDEF S S S S ∆∆∆=-==四边形(法2)由向下做辅助线，平行于，交于，连接．D AF BC G DF 易知是三角形的中位线，是三角形的中位线，所以，．可得DG AFC EF BDG FG GC =BF FG =，BF FG GC ==所以，11214436DCG DFG ACF ABC ABC S S S S S ∆∆∆∆∆===⨯=可得：，1112212BEF DEF BDF DFG ABC S S S S S ∆∆∆∆∆====所以四边形面积为：．115202126123ABC ABC ABC S S S ∆∆∆+⨯==10.(★★★)有一堆梨和苹果，其中苹果比梨多960个，而梨的个数减去1个以后的5倍还比苹果少一个，那么原本有多少个梨？【【【【将题目中数量之差的关系和倍数关系所涉及到的量统一即可运用差倍问题的解题方法解题．由于“梨的个数减去1个以后的5倍还比苹果少一个”，那么苹果的个数减1等于梨的个数减去1后的5倍，而苹果的个数减1还是比梨的个数减去1多960，根据差倍关系，梨的个数减去1后，还有，所以梨原来有241个．()96051240÷-=一、填空1.(★★)计算： ．178.258410.12528⎛⎫--⨯÷= ⎪⎝⎭【【【【原式158.258.50.1252⎛⎫=--÷ ⎪⎝⎭8.2510.125=-÷8.2580.25=-=2.(★★)王燕同学期中考试五科当中数学成绩最好，美术成绩最差．如果不算数学成绩，其余四科的平均分数为分；如果不算美术成绩，另外四科的平均分数是分，那么数学成绩比美80.588术成绩高_____ 分．【【【【不算数学成绩另外四科的分数和为分，如果不算美术成绩，另外四科的分数和为80.54322⨯=分，所以数学成绩比美术成绩高分．884352⨯=35232230-=3.(★★★)某工厂运来一批苹果平分给了两个车间，然后再由各车间平分给每个工人．由于分派出错，一车间的48斤苹果误送到了二车间，结果使得两车间苹果平分到人后，一车间每人比二车间每人少分了8斤苹果，已知一车间31人，二车间23人，那么工厂运来的苹果一共 斤．【【【【设一车间每人斤，则二车间每人分到斤，可列方程：x ()8x +3148223(8)x x +⨯=+818496x =-11x =所以运来的苹果共有斤．311123(118)778⨯+⨯+=4.(★★★)一个数的平方有2001个约数，那么这个数自己最少有 个约数．【【【【，所以这个平方数的质因数分解只有这几种可能：200136672387296932329=⨯=⨯=⨯=⨯⨯，，，或者．于是原来那个数相应的有以下几种可能：2000p 266612p p ⨯228612p p ⨯286812p p ⨯22228123p p p ⨯⨯，，，或者．各种可能对应的约数个数为1001，1000p 33312p p ⨯114312p p ⨯143412p p ⨯1114123p p p ⨯⨯，，，，所以这个数最少有360个约数．2334668⨯=1244528⨯=1535525⨯=21215360⨯⨯=5.(★★★★)有一个三位数，最小的三个约数的和是11，问这样的数共有 个．【【【【最小的三个约数自然包括1，另外两个约数的和是10，可能的情况有：2和8，3和7，4和6，显然第一种和第三种情况下还有更小的约数，所以最小的三个约数是1、3、7，所以这个数是的倍数，但不能是2、5的倍数(否则最小的三个约数中不可能有7)．()3,721=三位数中21的倍数有、……，共个数，215⨯216⨯2147⨯475143-+=其中既是21的倍数又是2的倍数的有、、……，共21个，216⨯218⨯2110⨯2146⨯既是21的倍数又是5的倍数的有、、……，共9个，215⨯2110⨯2115⨯2145⨯是21、2、5共同倍数的有、、、，共4个，2110⨯2120⨯2130⨯2140⨯根据容斥原理，这样的数一共有个．()43219417-+-=二、解答6.(★★★)某乡水电站按户收取电费，具体规定是：如果每月用电不超过24度，就按每度9分钱收费；如果超过24度，超出的部分按每度2角钱收费．已知在某月中，甲家比乙家多交了电费9角6分钱(用电按整度计算)，问甲、乙两家各交了多少电费？【【【【由于用电按整数度计算，如果甲、乙两家用电均超过24度，那么他们两家的电费差应是2角钱的整数倍；如果甲、乙两家用电均不超过24度，那么他们两家的电费差应是9分钱的整数倍．现在9角6分(96分)既不是2角钱的整数倍，又不是9分钱的整数倍，那么只能是一家超过了24度，另一家没有超过24度．由于甲家比乙家用的多，所以甲家的用电超过了24度，乙家的用电不超过24度．设甲家用了度电，乙家用了度电，有，由于96和都是3的倍数，()24x +()24y -20996x y +=9y 所以也是3的倍数，又不超过4，得，．20x x 3x =4y =即甲家用了27度电，乙家用了20度电，那么乙家应交电费分元8角，则甲家交了209180⨯=1=分元7角6分．18096276+=2=即甲家交电费2元7角6分， 乙家交电费1元8角．7.(★★★★)甲、乙两车分别从相距180千米的，两地同时出发相向而行，两车在距离地A B A 80千米处相遇．若出发半个小时后甲车突然提高的速度，那么两车恰好在，两地中点50%A B 相遇．如果出发后20分钟甲车把速度变为原来的一半，那么相遇地点将在哪里？【【【【甲、乙两车分别从相距180千米的，两地同时出发相向而行，两车在距离地80千米处相遇，A B A 说明两车在相同时间内分别行驶了80千米和100千米，两车的原速度比为．80:1004:5=甲车提高的速度后两车的速度比为，但是在出发后相同时间内，甲、乙两车行驶了相等50%6:5的距离(同时到达中点)，这就是说甲的平均速度和乙的速度相等，由于，可见甲以()4625+÷=乙速度的(即原速度)行驶的时间和以乙速度的(提速后的速度)行驶的时间相等，所以甲以乙4565速度的行驶的时间也是半小时，两车以第二种方式相遇所用的时间为1小时，乙的原速度为65千米/小时，甲的原速度为千米/小时．1802190÷÷=905472÷⨯=以第三种方式相遇，甲出发20分钟后已行驶千米，乙行驶了千米，然后20722460⨯=20903060⨯=甲以36千米/小时的速度行驶，还要过小时两车才相遇，相遇点到()()180243090361--÷+=的距离为千米，到的距离为千米．A 362460+=B 3090120+=另外，对于甲、乙原来的速度，也可以用方程来求．设乙车原来的速度为千米/小时，甲车的速5x 度为千米/小时，提速后甲车的速度为千米/小时，这样根据第二种相遇情况，两车同时到达4x 6x 中点所花的时间相等，可列出方程：90900.540.556x x x-⨯=+解得，所以乙车原来的速度为90千米/小时，甲车原来的速度为72千米/小时．18x =8.(★★★)阴影部分条纹由两个平行四边形和两个矩形交叉组成，线段的长度如图所示，那么阴影部分条纹的面积是多少？13【【【【想象一下如果该图形中所涉及的线段在符合题目条件的范围内滑动，它们交叉的四个平行四边形面积是否会发生改变．这道题目中的阴影部分面积由两条横纹面积加上两条斜纹面积构成，面积大小等于两条斜纹(平行四边形)面积加上两条横纹(长方形)面积之和再减去重叠的四个小平行四边形的面积．注意到，这4个小平行四边形的底和斜纹的底相等，高和横纹的宽相等，因此这4个小平行四边形的面积容易计算．两条斜纹的面积和为，两条横纹的面积等于，四个小平行四21531575⨯+⨯=125325100⨯+⨯=边形的面积之和为，所以阴影部分的面积为．1213323320⨯+⨯+⨯+⨯=7510020155+-=9.(★★★)请写出所有这样的三位数，它们的各位数字非零且互不相等，把它的各个数字调换顺序得到的5个三位数的平均数恰好等于原来的三位数．【【【【对任意三位数，把它的各个数字调换顺序得到、、、、，这5个数的平均数abc acb bac bac cab cba 等于原来的三位数，所以包含原来的三位数在内的6个三位数的平均数也等于原来的三位数．而这6个三位数的和是，所以它们的平均数等于，由此可列出方程：()222a b c ++⨯()37a b c ++⨯，化简为．()3710010a b c a b c ++⨯=++734a b c =+由于等号两边除以7的余数相同，所以，则，由于3与7互()340mod 7b c +≡()330mod 7b c -≡质，可化为，在数字1～9中，只有1和8、2和9被7除同余，所以一共只有种()mod 7b c ≡22⨯情况，它们是：481a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩518a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩592a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩629a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以符合条件的三位数有481、518、592、629．10.(★★★)小唐的书架分三层，放有数学、语文、英语三种图书．已知每层放18本书，且三层的书加起来数学、语文、英语也恰各有18本．若第一层的数学书比第二层的英语书少3本，第三层的语文书比英语书少5本．那么第一层的语文书和第三层的语文书哪个多？多多少？【【【【如图列成表，每行每列的和都是18，设第一层的数学书有本，第三层的语文书有本，则可以填x y 出整张表：层数数学语文英语一x 8y +10x y --二52y x +-102y -3x +三132y -y 5y +所以第一层的语文书比第三层的语文书多，多8本．1.(★★)计算： ．23214.831.5127253⎡⎤⎛⎫+-⨯÷= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【【【【原式2328328314.87252258⎛⎫=+⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭9242314.825258⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭316.8 6.38=⨯=2.(★★)小明参加了若干次考试，在最后一次考试时他发现：如果这次考试得97分，那么他的平均分数是90分；如果得73分，那么他的平均分数是87分．小明之前一共已经参加了______次考试．【【【【(法1)由题意知，如果这次考试小明的考分增加分，那么平均分增加分，所977324-=90873-=以他总共参加了次考试．之前已经参加过7次考试．2438÷=(法2)设之前一共参加了次考试，那么他过去的考试总分有两种方式可以表达：和x ()90197x +-，所以，解得．()87173x +-()()9019787173x x +-=+-7x =3.(★★)小张和小王分别从甲、乙两村同时出发步行，1小时15分后，小张走了甲、乙两村间的距离的一半还多千米，此时与小王相遇．小王的速度是千米/小时，那么小张的速度是0.75 3.7多少？【【【【1小时15分后，小张比小王多行走了千米，所以小张比小王每小时多行0.752 1.5⨯=千米，那么小张的速度为千米/小时．151.51 1.260÷= 3.7 1.2 4.9+=4.(★★★)甲、乙两瓶浓度未知的酒精溶液分别含纯酒精200克和450克，如果把它们均匀混合(忽略体积变化)，则混合后的浓度比原来甲瓶的浓度高，但比原来乙瓶的浓度低，问混7%14%和后的浓度是多少？【【【【由混合后的浓度比原来甲瓶的浓度高，但比原来乙瓶的浓度低，根据浓度三角，混合前甲、7%14%乙两瓶溶液的质量比为，所以混合前的浓度比为，而浓度差为14%:7%2:1=200450:2:921=，所以乙瓶的浓度为，混合后的浓度14%7%21%+=()21%92927%÷-⨯=为．27%14%13%-=点燃一盏油灯有一个年轻的学生怕麻烦老师，所以迟迟不敢再问问题。