二阶导(f数 (x))limf(xx)f(x),
x0
x
记作
f(x),y,d d22 yx或 d2 df(2x x).
二阶导数的导数称为三阶导数, f(x),y,dd3x3y.
一般,函 地数 f(x)的n1阶导数的导数称
函数 f(x)的n阶导,记 数作
f(n)(x),y(n),d dnn yx或 dn df(n x x).
d(lnx) 1dx x
d(arccoxs) 1 dx 1 x2
d(arctaxn)
1 1 x2
dx
d(arccotx) 11x2 dx
8、 微分的基本法则
函数和、差、积、商的微分法则
d(uv)d udv d(C)u Cdu
u vdudv
d(u)vvdu udv
d( ) v
v2
微分形式的不变性
(5) 隐函数求导法则
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
(6) 参变量函数的求导法则
若参数 x y 方 ((tt))程 确y定 与 x间的函,数关
dy
dy dx
dt dx
(t); (t)
dt
d d2y 2x(t)( t) 3( t)(t)(t).
4、高阶导数 (二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)
函 数 f(x )在 点 x 0处 可 导 左 导 数 f (x 0)和 右 导 数 f (x 0)都 存 在 且 相 等 .
2、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）
(C ) 0
(sin x ) cos x
(tan x ) sec 2 x
(sec x ) sec xtgx
( a x ) a x ln a
5、微分的定义
定义 设函数y f (x)在某区间内有定义 , x0及x0 x 在 这 区 间 内, 如 果 y f (x0 x) f (x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数),则称函数y f (x) 在点x0可微,并且称A x为函数y f (x)在点x0相应 于自变量增量x的微分,记作dy xx0 或df (x0 ),即
如果x函 (数 y)的反函 y数 f(x)为 则 , 有 f(x)1 (x).
(3) 复合函数的求导法则
设 yf(u)而 , u(x)则复y 合 f[ 函 (x)的 ]数导数 d ydydu或y(x)f(u)(x). dxdu dx
(4) 对数求导法 先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法 求出导数. 适用范围: 多个函数相乘和 数u幂 (x)指 v(x)的 函情.形
同济大学《高等数学》(第四版)第二章 习题课
一、主要内容
关 系
d y y d y y d x y d o y ( x ) dx
导数
lim y x0 x
基本公式 高阶导数 高阶微分
微分
dyyx
求导法则
1、导数的定义
定义 设函数y f (x)在点x0的某个邻域内有定, 义 当自变量x在x0处取得增量x(点x0 x仍在该邻域 内)时,相应地函数y取得增量y f (x0 x) f (x0); 如果y与x之比当x 0时的极限存在 ,则称函数
无论 x是自变量还是,函 中数 y间 f变 (x)量 的微分形式d总 yf是 (x)dx
二、典型例题
例1 设 f(x)x(x1)x (2) (x10 ),0 求 f(0).
解 f(02 ) (x 1)00 x 0
10!0
1 1 x2
( arcoct x )
1
1 x2
3、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则 设 uu(x)v,v(x)可 导 ， 则 （ 1） (uv)uv, （ 2） (cu )cuc( 是 常 数 ), （ 3） (u)vuvuv, （ 4） (u v)uvv2uv(v0). (2) 反函数的求导法则
dy xx0 A x. 微d分 叫 y 做函 y的 数线 增性 量 .(微分主 的实部 质)
6、导数与微分的关系
定理 函数 f(x)在点 x0可微的充要条f件 (x)是函 在点 x0处可,且 导Af(x0).
7、 微分的求法
d yf(x)dx 求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.
基本初等函数的微分公式
y f (x)在点x0处可导,并称这个极限为函y数 f (x)
在点x0处的导数,记为y
dy xx0 , dx
或df(x)
x x0
dx
xx0 , 即
y x x 0 lx i 0 x y m lx i 0 f( m x 0 x x ) f( x 0 ) .
单侧导数
1.左导数:
例2 设y1arct1an x21ln1x21,
2
4 1x21
求y.
解 设u 1x2, 则 y1arc u t1lan u n 1,
2
4 u1
yu2(1 1u2)1 4(u1 1u1 1)
1
1 u4
1 2x2
x4
,
ux( 1x2)
x, 1 x2
yx(2xx31)
(log
a x )
1 x ln
a
(arcsin
x ) 1
1 x2
(arctan
x )
1
1 x
2
( x ) x 1
(cos x ) sin x
(cot x ) csc 2 x
(csc x ) csc xctgx
(e x ) e x
(ln x ) 1 x
(arccos x )
f ( x 0 ) x lx 0 i 0 f m ( x x ) x f 0 ( x 0 ) l x i 0 f ( m x 0 x x ) f ( x 0 ) ;
2.右导数:
f ( x 0 ) x lx 0 i 0 f m ( x x ) x f 0 ( x 0 ) l x i 0 f ( m x 0 x x ) f ( x 0 ) ;
d(C)0
d(x)x1dx
d(sixn)coxsdx d(coxs)sinxdx
d(taxn)se2cxdx d(coxt)cs2cxdx
d(sexc)sexctanxdxd(csxc)csxccoxt dx
d(ax) ax lnadx
d(ex) exdx
d(loga
x)
1 dx xlna
d(arcsixn) 1 dx 1 x2