第十六章《二次根式》易错题一、选择题1. 当a>0, b >0时，n是正整数，计算'- n的值是( )A. (b - a)二、丄」：. (a n b3—a n+1b2) i C. (b3- ab2)'二D. (a n b3+a n+1 b2) i 错答：D考点：二次根式的性质与化简。

分析：把被开方数分为指数为偶次方的因式的积，再开平方，合并被开方数相同的二次根式.解答：解：原式=-,=a n b3 -i - a n+1 b2 i=(a n b3- a n+1 b2) -i.故选B.点评：本题考查的是二次根式的化简•最简二次根式的条件：被开方数中不含开得尽方的因式或因数.点评：解答此题，要弄清二次根式的性质：_7=|a|，分类讨论的思想.2. 当X V- 1 时，|x-q；：」：：；'-2| - 2|x - 1|的值为( )A. 2 B . 4x - 6 C . 4 - 4x D . 4x+4错答：C考点：二次根式的性质与化简。

分析：根据x V - 1，可知2 - x > 0 , x - 1 V 0，利用开平方和绝对值的性质计算.解答：解：T x V - 1：2 - x> 0, x - 1 V 0•|x -i ・--2| - 2|x - 1|=|x - (2 - x) - 2| - 2 (1 - x)=|2 (x - 2) |-2 (1 - x) =-2 (x - 2) - 2 (1 - x)故选A.点评：本题主要考查二次根式的化简方法与运用： a > 0时,Ha ; a v 0时，身匕土= - a; a=0时，：：；...二=0 ；解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式、绝对值等考点的运算.3•化简|2a+3 [1+ ：一「「I 丁_(a v - 4)的结果是( )A. 一-―-3aB. 3a - C . a+ 山D. - - 3a2 2 2 2错答：B考点：二次根式的性质与化简；绝对值。

分析：本题应先讨论绝对值内的数的正负性再去绝对值，而根号内的数可先化简、配方，最后再开根号，将两式相加即可得出结论.解答：解：••• a v - 4,•'2a v - 8, a - 4 v 0 ,-2a+3 ―-v —8+3 —v 0=-2a - 3 +4 - a= - 3a .2 2故选D .点评：本题考查的是二次根式的化简和绝对值的化简，解此类题目时要充分考虑数的取值范围，再去绝对值，否则容易计算错误.4.当x v 2y时，化简叮一得( )A. x (x - 2y) B . -厂C . ( x- 2y) ■■- D . (2y - x) ”z错答：C考点：二次根式的性质与化简。

分析：本题可先将根号内的分式的分子分解因式，再根据x与y的大小关系去绝对值.解答：解：原式= =I一、：=|x - 2y| T••X v 2y•••原式=（2y - x）….故选D.点评：本题考查的是二次根式的化简，解此类题目时要注意题中所给的范围去绝对值.5.若i ■=1 - 2x，则x的取值范围是（）A. x4 B . x二C . x> D. x v2 2 2 2错答：A考点：二次根式的性质与化简。

分析：由于专》：二为，所以1 - 2x丸，解不等式即可.解答：解：•| - ：一•=1 - 2x,• - 2x丸，解得x4.2故选B .点评：算术平方根是非负数，这是解答此题的关键.6.如果实数a、b满足-■',那么点（a,匕）在（）A .第一象限B .第二象限C .第二象限或坐标轴上D .第四象限或坐标轴上错答：B 考点：二次根式的性质与化简；点的坐标。

专题：计算题；分类讨论。

分析：先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限或坐标轴. 解答：解：••实数a、b满足料一—一 -\.•'a、b 异号，且b> 0;故a v 0，或者a、b中有一个为0或均为0. 于是点（a, b）在第二象限或坐标轴上.故选 C .点评：根据二次根式的意义，确定被开方数的取值范围，进而确定_ 1a、b的取值范围，从而确定点的坐标位置. 7•计算：E 二r -：'■1=丄匚―考点：二次根式的性质与化简；零指数幕；负整数指数幕。

分析：本题涉及零指数幕、负整数指数幕、二次根式化简四个考点•在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.解答：解：原式=了-匚+2=2匚-匚+2=2+ _•点评：本题考查0次幕、负数次幕、二次根式的化简以及合并，任何非零数的0次幕都得1，-，三—.,：：=:「1=1 ,1 _[负数次幕可以运用底倒指反技巧, —=21=2 •28.代数式.；.1 -「取最大值时，x= ^2 •考点：二次根式的性质与化简。

专题：计算题。

分析：根据二次根式有意义的条件，求出x的取值即可.解答：解：•；. -X),•••代数式--:、取得最大值时，心.」取得最小值，即当右--/=0时原式有最大值，解I 了 =0 得：x= ±2，答案为土2.点评：本题比较简单，考查了二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0 •二、填空题9•若a v 1，化简一.':--I = - a •考点：二次根式的性质与化简。

分析：―：-l=|a - 1| - 1，根据a的范围，a - 1 v 0，所以|a - 1|= - (a - 1)，进而得到原式的值.解答：解：••• a v 1,=7 :.「a - 1 v 0,•寸 G -D ? -l =|a - 11 - 1=-(a - 1) - 1 =-a+1 - 1= - a .点评：对于 _ 化简，应先将其转化为绝对值形式，再去绝对值符号，即10.右 0 VXV1，化简：亍 一",I T 丨"：-■■ =2X考点：二次根式的性质与化简。

=2'+4 ■: 1:■:点评：计算时注意负指数次幕与 0次幕的含义，并且理解绝对值起到括号的作用.十七章《勾股定理》易错题一、 审题不仔细，受定势思维影响1、 在MBC 中，.A,. B,. C 的对边分别为 a,b,c ，且（a • b ）（a-b ） =c 2，则（ ）“I T ；；.分析：由 V -，又0 v X v 1，则有 -X > 0，通过变形化点评：本题考查的是对完全平方公式的灵活使用和对二次根式的化简应用.二、计算题11.计算:,'?（--） -2（2 「 「；）。

+|- r|+的结果是考点：二次根式的性质与化简；绝对值；零指数幕；负整数指数幕。

分析：计算时首先要分清运算顺序，先乘方，后加减.二次根式的加减，实质是合并同类二次根式，需要先化简,再合并.解答：解： '？（ - ',） -2£ £2 力 2(x _ —) +4二(*+丄) 简原式即可得出最终结果.(-x ) =2x .(2心 F 二)0+|1+9匕+1+■（A）. A为直角（B）. c为直角（C）. B为直角（D）不是直角三角形错解：选（B）分析：因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为Z C，因而有同学就习惯性的认为Z C就一定表示直2 2 2 2 2 2角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误.该题中的条件应转化为a -b -c，即a二b c ，因根据这一公式进行判断.正解：：a2-b2二c2, A a2=b2c2.故选（A）2、已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.错解：第三边长为.3^4^ 25 =5.分析：因学生习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5.但这一理解的前提是3、4为直角边.而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，但也可能为直角边正解：（1）当两直角边为3和4时，第三边长为• 3242 = 一25 =5 ；（2 ）当斜边为4，一直角边为3时，第三边长为42-32二5.二、概念不明确，混淆勾股定理及其逆定理3、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）（A）1、2、3 （B）32,42,52（C）J 八2, 3 （D）. 3,、4, • 5错解：选（B）分析：未能彻底区分勾股定理及其及逆定理，对概念的理解流于表面形式进行平.判断直角三角形时，应将所给数据方看是否满足a b - c的形式.正解：因为"2 •& 2 = '、3 ［故选（C）4、在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？错解：甲船航行的距离为BM= 8 2=16 （海里），乙船航行的距离为BP= 15 2 =30 （海里）••••. 162一30厂=34 （海里）且MP=34 （海里）.•./MBP为直角三角形，.•.._ MBP =90 ,•••乙船是沿着南偏东30方向航行的.分析：虽然最终判断的结果也是对的，但这解题过程中存在问题.勾股定理的使用前提是直角三角形，而本题需对三角形做出判断，判断的依据是勾定理的逆定理.其形式为“若a2b^c2，则.C =90 .错解的原因在于未能充分理解勾股定理及其逆定理的概念，导致错误运用正解：甲船航行的距离为BM= 8 2=16 （海里），乙船航行的距离为BP= 15 2=30 （海里）.2 2 2 2 2 2••1630 =1156,34 =1156, • BM BP 二MP ,•••JMBP为直角三角形，• . MBP =90，•乙船是沿着南偏东30方向航行的.三、混淆勾股定理及其逆定理应用1 2435、如图，已知Rt/\BC中，/BAC=90 °,AD是高，AM是中线，且AM= — BC= AD.又RT /\BC的周长是2 3（6+2、、3）cm.求AD .错解•△BC是直角三角形,••AC:AB:BC=3:4:5「AC :AB :BC=3 ：:.••AC= 3(6+2 . 3 )= 3 312 2AB= — (6+2 、、. 3 )=6 2 312 3BC=§(6+2 -.3)=^^^12 6又■■■-AC «AB = -BC ・AD2 23.3 6 2：3_ -------- x -------------AC *AB 2 3BC 15 5、3(3 .3)・2(3 .3)5(3 、、3)=2(3+ i 3 )(cm)5诊断我们知道，"勾三股四弦五”是直角三角形中三边关系的一种特殊情形，并不能代表, 的三边关系•上述解法犯了以特殊代替一般的错误.Q /Q正确解法■ AM= — AD3般的直角三角形又••MC=MA ,「CD=MD •■ •点C与点M关于AD成轴对称.••AC=AM ,.・./AMD=60 ° zC .-BC _•'AD= 2 = J 3 (cm) 2"6、在△ABC 中，a : ：=9 ：15 ：12 , 试判定△ ABC 是不是直角三角形.错解 依题意，设 a=9k , b=15k , c=12k(k > 0).••a 2 + b 2=(9k)2+ (15k) 2=306k 2, c2=(12k) 2=144k 2,••a 2 + b 2丸2 .•••公BC 不是直角三角形.诊断 我们知道“如果一个三角形最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”.而上面解答错在没有分辨清楚最长边的情况下，就盲目套用勾股定理的逆定理.正确解法 由题意知b 是最长边.设 a=9k , b=15k , c=12k(k > 0).••a 2 + c 2=(9k) 2+ (12k) 2=81k 2+ 144k 2=225k 2 .b2=(15k) 2=225k 2 ,「a 2+ c 2=b 2.• △BC 是直角三角形.7、已知在厶ABC 中，AB >AC , AD 是中线，AE 是高.求证： AB 2 — AC 2=2BC DE .•••启=30 °,AC=-BC,AB= 23BC2••AC+AB+BC= -BC+23_BC+BC=6+ 2.3.2••BC=4 .••丄 BC= —3AD, 2 3错证如图.••AE JBC 于E,••AB2=BE2+ AE2,AC2=EC2+ AE2.••AB2- AC2=BE2—EC2=(BE + EC) (BE —EC)=BC (BE —EC).••BD=DC , .-BE=BC —EC=2DC —EC .•'AB2—AC2=BC (2DC —EC —EC)=2BC DE .诊断题设中既没明确指出△ ABC的形状，又没给出图形，因此，这个三角形有可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形•所以高AE既可以在形内，也可以与一边重合，还可以在形外，这三种情况都符合题意•而这里仅只证明了其中的一种情况，这就犯了以偏概全的错误。