解函数的单调性时需注意的几个概念
函数的单调性是函数的一个很重要的性质，也是历年高考命题的重点。

但是不少同学由于对概念认识不足，审题不清，在解答这类题时容易出现错解。

下面对做这类题时需注意的事项加以说明，以引起同学们的重视。

一、应用定义证明，要注意步骤的严密性
例1. 证明函数f x x ()=-+31在R 上是减函数。

解：任取x x R 12，∈，且x x 12<，则
f x f x x x x x ()()()()121323231
311-=-+--+=- =-++()()x x x x x x 21222112
∵x x x x x x x x x 1222121212222234
0<++=++>，() ∴x x f x f x f x f x 21121200->->>，，即()()()()
∴函数f x x ()=-+31在R 上是减函数。

提示：有的同学证明时，没有说明x x x x x x x 12122212222234
0++=++>()，就直接说f x f x ()()12>，这个过程不能省。

二、对函数单调性的概念理解不正确
例2. 若αβππ，，∈()2
，且tan α＜cot β，则有（ ） A. αβπ+>
2 B. αβπ+<2 C. αβπ+<32 D.αβπ+>32
错解：因为tan tan()απ
β<-2，所以απ
β<-2，故选B 。

剖析：∵βππ∈()2
，
∴π
βπ
220-∈-()，。

显然，απ
β，2-不在同一单调区间，故此时不能使用
函数的单调性。

正确解法：∵βππ∈()2
， ∴322πβππ-∈()，，由题意知，tan tan()απβ<-32，又y x =tan 在()ππ2，上单调递增，故选C 。

三、研究函数的单调性千万不要忘记函数的定义域
例3. 函数y x x =--lg()223的单调递增区间是（ ）
A. [)1，+∞
B. (3，＋∞)
C. (－∞，1]
D. （－∞，－1）
错解：∵令t x x x x =--=-->2223141()，时，t 为增函数，而y ＝lgt 在t ∈+∞()0，上是增函数，
∴函数y x x =--lg()223的单调增区间是[1，＋∞）。

故选A 。

剖析：此题除注意两个函数的单调性外，函数的定义域也不要忘记。

正确解法：此函数的定义域为（－∞，－1） ()3，+∞。

令t x x x x =--=--∈-∞-+∞22231413()()()，，，
∵y ＝lgt 在t ∈+∞()0，上是增函数，t x x x =--=--222314()，而x ∈-∞-+∞()()，，13 的单调增区间为（3，＋∞），
∴选B 。

例4. 已知函数f x x x x ()sin ()=+∈-511，，，如果f a f a ()()1102-+-<，则实数a 的取值范围是__________。

错解：由题意知f(x)是奇函数且在（－1，1）上单调递增，又由
f a f a ()()1102-+-<，
得f a f a f a ()()()11122-<--=-，因此，112-<-a a ，即a >1或a <-2。

剖析：忽略了复合函数的定义域，从而导致解题错误。

正确解法：由题意知f(x)是奇函数且在（－1，1）上单调递增，又由
f a f a ()()1102-+-<，得f a f a f a ()()()11122-<--=-
则-<-<-<-<-<-⎧⎨⎪⎩
⎪1111111122a a a a ，解得12<<a 。

四、混淆“函数的单调区间”与“函数在某一区间单调”
例5. 函数y x ax x =++∈-∞2211在，(]时单调递减，求a 的取值范围。

错解：∵函数y x ax x =++∈-∞2211在，(]时单调递减，
∴－a ＝1，即a ＝－1。

剖析：错把函数在x ∈-∞(]，1时单调递减理解为函数单调递减区间是（－∞，1]。

事实上，当－a ≥1时，函数y x ax =++221在（1，－a]上也递减。

“函数在某一区间单调”与“函数的单调区间”不要混淆。

正确解法：函数的对称轴为x ＝－a ，因为函数在x ∈-∞(]，1时单调递减，故－a ≥1，即a ≤－1。