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可复制、编制, 期待你的好评与关注）弹力小结矩形薄板的几种解法矩形薄板的几种解法•:纳维解法四边简支的矩形薄板，如图，当并无支座沉陷时，其边界条件为O二 0_ay 厂O二 0-0.纳维把挠度'的表达式取为如下的重三角级数:为了求出系数A mn ，须将式b ）右边的q 展为与左边同样的重三角级数即q"4D 芸M C mn sin ^sin 也。

m ± n a b血x现在来求出式（（中的系数C mn 。

将式C ）左右两边都乘以n ,其中的a为任意正整数，然后对x 积分，从0到a ，注意=ox _0n ::A mn m 土 n 三sinsinab（a ）其中m 和n 都是任意正整数。

弹性曲面微分方显然，上列的边界条件都能满足。

将式 代入 程::n m 2 n 2冲％ Fl ，得讥注!^+尹 sin 叱 sin n y =q 。

（ b ）a b到（C ）Aya sin .0sin Adx a (m 护 i) (m = 4) 就得到 q sin ^Zdxa 再将此式的左右两边都艰以 土，其中的j 也是任意正整数，然后对积分, 从o 到b ，注意b f s Jo 就得到 sin ! Isin a ab -r C j因为i 和j 式任意正整数,可以分别换为m 和n ,所以上式可以换写为 b q sin abC 4 mn解出C mn ,代入式（），得到q 的展式 . m^x . njry q =才瓦送 f [qsin^sin bdxdy 分m 亠n 亠] U与式(b )頑匕，即得 m -1 ■ n -1- sin 叱 sin 口 a b ° (13-25) Amn4a 4 0bq sin4二 abDsin n Ldxdy abm 2. n 2~2当薄板受均布荷载时，q 成为常量q o ，式（d ）积分式成为q 0 sinsin:a=q 0q 0 sinam •:; x dx adxdy bb . n 二 y sin dy 0 bq 0 ab2 ------■：\ mn一 cos m 「jj 1 - cos n 丄 于是由式d ）得到 Amn 1 - cos n ■：!；4 q 0 1 一 cos m 尹 —y—-J 二6D mn A mn 16 q 0・ 2 2 I m_ . nJ 厂 .2 >,- b。

m = 1 ,3,5, I H ； n =1 ,3,5, I | I代入式即得挠度的表达式当薄板在任意一点：，H ）受集中荷载时，可以用微分面积dy 上的均布荷载F 来代替分布荷载于是，式d X 中的除了在（J 口）处的微分面积上dxdy等于F以外其余各处都等于零。

因此，式成为dxdy代入式（），即得挠度的表达式值得指出：当x 及y 分别等于•及 时，各个内力的级数表达式都不收敛这 是可以预见的，因为在集中荷载作用处应力是无限大的从而内力也是无限大） 但挠度的级数表达式的仍然收敛于有限打的确定值。

显然，如果在式（e ）中命x 和y 等于常量而把■和 当做变量并取F，则该式的将成汝x,y ）点的挠度的影响函数，它表明单位横向荷载在薄板上移动 时，该点的挠度变化率。

同样。

在由式e ）对X 及y 求导而得到的内力表达式中，命x 和y 等于常量并IF = 1，则各该表达式将成为在x, y ）点的各该内q 0 sin n • x sinaM x 由此可以用公剩y M xy F sx ’求得内力。

--D 二?w, F sx - -D 二 '■ ?w,jxjxA mn.n | dxdyF sin———:—sinndxdyb二4 abDsinam C in n 二.。

nsinb ----sin②=兀4 abD~巳已—22 7m-na 2b 2sinabmn--D--D二 M yz iig, an 二b sinl^sin力的影响函数。

本节中所述的解法，它的优点是：不论荷载如何，级数的运算都比较简 单。

它的缺点是只适用于四边简支的矩形薄板，而且简支边不能受力矩荷载, 也不能有沉陷引起的挠度。

它的另一个缺点是级数解答收敛很慢，在计算内 力时，有时要计算很多项，才能达到工程上所需的精度。

二：莱维解法对于有两个对边被简支的矩形薄板，可以直接应用下面所述的莱维解法。

设图13-18所示的矩形薄板具有两个简支边x = 0及x 二a ，其余两边b/2式任意边，承受任意横向荷载莱维把挠度的表达式取为如下的单三角级数:sin其中Y m 是的任意函数，而m 为任意正整数。

极易看出, 级数（a ）能满足x = 0及x =a 两边的边界条件。

因此， 只需选择函数Y m ，使式（a ）能满足弹性曲面的微分方 程，即：a』sin 』dx si 亠。

Daa(b )图 13-8并在y 二b/2的两边上满足边界条件。

将式（a ）代入（b ），得冷d 2Y m +嗜兀Y 亍 —2 1sin(c )现在须将式（右边的q / D 展为sin咗也的级数。

按照傅里叶级数展开式的法ax这一常微分方程的解答可以写成Ym = A m 8Sh __--L - B __丄 Sinh a a m — ym yC m sinhD mcoshaaB m 、C m 、D m 是任意常数，决定圭土 b/ 2两边的边界条件。

将上式代入式（a ）,即得挠度w 的表达式coshm^+B 皿sinh m 即maa作为例题，设图13 — 8中的矩形薄板是四边简支的，受有均布荷载 q=q o 。

这时，微分方程（d ）的右边成为2q ° aD于是微分方程（d ）的特解可以取为c 4 2q 0a551 —cosm 二兀Dm应用边界条件W y =b2 =0由式（f ）得出决定A m 及B m 的联立方程与式（C ）对比，可见| 4Y m ?心応］d 2Ymm-x q sin ---- -- dxa(d)其中f m （y ）是任意一个特解，可以按照式d ）右边积分以后的结果来选择;+c sinh +maamyir mynD^-^osh —+ f m Cy)]sin —(e)-cos m 二_Dm1 —cos m ■■: m.： .■ .Dm带入式（e ），并注意薄板的挠度 w 应当是y 的偶函数，因而有C m =0，D m =O ,2q °a二5Dm 51-cosm 二 kin^a(f )wcosh 凹■B m my sinh^y a这个表达式中的级数收敛很快，例如，对于正方形薄板, 得岀 在级数中仅取两项，就得到很精确的解答。

但是，在其他各点的挠度表达式 中，级数收敛就没有这样快。

在内力的表达式中，级数收敛得还要慢一些。

应用上面所述的莱维解法，可以求得四边简支的矩形薄板在受各种横向荷 载时的解答，以及它在某一边界上受分布弯矩或发生沉陷时的解答。

亠般解法cos ha A”- a m Sin ha m Bcos haA m亠2 B m 广a4q °a "if Dsinh a m B m=0,=0,m _1 ,3 ,5...或者cos ha m A m cos ha 一-.-a m sinh B m =0 •2B m • a m sinhB m(m=2,4,6.。

o )mjb其中a m2T 。

求得A m 及B m ，得出Wmax4q o a 4f £ 12 - a m tanh a m■—5 i4,3,5... mn D mg3,5…2 2 a tanha m qa 42 cosha m2q o a 4或者得岀n 5Dm 5cosha mB _______________ m"Dm 5cosha m；(m=1,3,5,。

)q °a 4(0.314 -o.004) =0.00406J! DDA m 刃B m T (2,4,6.oo )将求岀的系数带入式(f ),得挠度w 的最后表达式Wmax4q 0a 4旳 w 0-K 5D 乙m ±3,5..I 1 片 _2 也口 tanh am 52 cosh acosh 2a m ymxrr7T(g )并可以从而求得内力的表达式。

最大挠度的、发生在薄板的中心。

将ax =2及y = o 代入公式(g )，即得b 二 a ，am m_：此外在§ 13-5中已经给出这种薄板在某角点发生沉陷时的解答。

于是可得 矩形薄板的一个一般解法，说明如下。

采用结构力学中的力法。

位移法，或混合法，以四边简支的户型薄板为基 本系。

对于任一夹支边，以该边上的分布弯矩为一个未知数（具有特定系数 的级数）；对于任一自由边，以该边上的挠度为一个位置函数（具有特定系数 级数）；对于两自由边相交而又无支柱的角点，还须以该角点的沉陷为一个未 知值，应用上面所述的解答，求岀夹边上的法线斜率，自由边上的分布反 力，以及二自由边交点处的集中反力（当然是用上述待定系数及未知值以及已 知荷载来表示），命夹边上的法向斜率等于零，自由边上的分布反力等于零， 两自由边交点处的集中反力等于零，即得足够的方程来求解各个待定系数及未 知值，从而求得薄板最后的挠度，斜率，内力和反力。

当然，求解时的运算是很繁琐的。

在工程设计中，一般总是利用现成的图表，或是采用各种数值解 对于在各种边界条件下承受各种横向荷载的矩形薄板，很多专著和手册中 给岀了关于挠度和弯矩的表格或图线，可供工程设计之用。

为了节省篇幅，对 于只具有简支边和夹支边而不具有自由边的矩形薄板，在矩形的表格或图线中I 4Dw = q 。

大都给岀泊松比等于某一指定数值时的弯矩。

但是，我们极易由此求得泊松 比等于任一其他数值时的弯矩，说明如下薄板的弹性曲面微分方程可以写成 夹支边及简支边的边界条件不外乎如下形式:把Dw 看作基本未知函数，则显而易见， Dw 的微分方程及边界条件中都不包含泊松比，因而 Dw 的解答不会包含泊松比，于是 泊松比而变。

现在，根据公式（13-12），当泊松比为亠时，弯矩为当泊松比为时，弯矩为Q o =0一一*一* .、！1 X .、•；！y DwDw :—:-T一 一■■- yDw=0• ••xDw M xM yDw -二一^ Dw ； _y :x(h)4 .：yy士-2 -2 -2 -2M x =-牙Dw- 牙Dw, M y 二-2Dw- 2D W ;2 - 2 2 - 2<x <y <y tx （j）.：2.?'夕Dw 2 Dw由式（h）解出tx 及3，然后代入式（i）,得到关系式M X =1^2 h -小M x r」M y ,0_PK M y 弋山_哪。

1一卜（13-26）于是可见，如果已知泊松比为卩时的弯矩M X及M Y,就很容易求得泊松比为卩时的弯矩M x及M Y。