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几个重要统计量的分布
二、威沙特分布
Wishart 分布是一元统计中 χ2 分布的推广. 多元正态总体 Np(µ, Σ) 中, 常用样本均值向量 X¯ 作为 µ 的估计, 样本协差阵
S = A/(n − 1)
作为 Σ 的估计. 由第二章的定理 2.5.2 已给出
X¯ )2
∼
χ2(n
−
1).
i=1
推广到 p 元正态总体, 样本协差阵 S = A/(n − 1) 及随机矩阵 A(离差 阵) 的分布是什么?
石万林 (多元统计分析)
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多元正态总体参数的假设检验
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几个重要统计量的分布
二、威沙特分布
石万林 (多元统计分析)
计中的协方差阵 Σ.
石万林 (多元统计分析)
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多元正态总体参数的假设检验
X¯ − µ√1 + (µ1 − µ0) s2/n
≤ λ|µ = µ1
= β.
此时检验统计量
T
∼
t(n
−
1, δ)(非中心参数
δ
=
√ n(µ1
−
µ0)/σ),
利用
非中心 t 分布可以计算第二类错误 β 的值. 从而得到检验法的功效函数
为 1 − β.
石万林 (多元统计分析)
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多元正态总体参数的假设检验
T = X√¯ − µ0 H∼0 t(n − 1), s2/n
否定域为 {|T | > λ}, 其中 λ 满足:P {|T | > λ} = α(显著性水平). ♣ 当否定 H0 时, 可能犯第一类错误, 且
第一类错误的概率 = P (“以真当假”) = P {|T | > λ|µ = µ0} = 显著性水平α;
石万林 (多元统计分析)
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多元正态总体参数的假设检验
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几个重要统计量的分布
一、正态变量二次型的分布
结论 4 设 X ∼ Nn(µ, σ2In), A = A′, 则
其中
1 σ2
X ′ AX
∼
χ2(r,
δ),
δ
=
1 σ2
µ′Aµ
⇐⇒
A
=
A2,
且 rank(A) = r(r ≤ n). 结论 5 二次型与线性函数的独立性：设 X ∼ Nn(µ, σ2In), A 为 n
结论 2 当 µi ̸= 0(i = 1, · · · , n), σ2 ̸= 1 时, X′X 的分布称为非中
心 χ2 分布.
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定义 .
(3.1.1)
设 n 维随机向量 X ∼ Nn(µ, In)(µ ̸= 0), 则称随机变量 ξ = X′X 为服
从
n
个自由度、非中心参数
δ
=
µ′µ
=
∑n
i=1
µ2i
阶对称矩阵,B 为 m × n 矩阵, 令 ξ = X′AX, Z = BX, 若 BA = O, 则 BX 和 X′AX 相互独立.
石万林 (多元统计分析)
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多元正态总体参数的假设检验
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几个重要统计量的分布
一、正态变量二次型的分布
石万林 (多元统计分析)
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多元正态总体参数的假设检验
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几个重要统计量的分布
一、正态变量二次型的分布
结论 2 设 X ∼ Np(µ, Σ), Σ > 0, A 为对称阵, rank(A) = r. 则
(X − µ)′A(X − µ) ∼ χ2(r) ⇐⇒ ΣAΣAΣ = ΣAΣ.
石万林 (多元统计分析)
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多元正态总体参数的假设检验
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几个重要统计量的分布
一、正态变量二次型的分布
石万林 (多元统计分析)
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多元正态总体参数的假设检验
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几个重要统计量的分布
一、正态变量二次型的分布
石万林 (多元统计分析)
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多元正态总体参数的假设检验
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几个重要统计量的分布
一、正态变量二次型的分布
♣ 当 H0 相容时, 可能犯第二类错误, 且
第二类错误的概率 = P (“以假当真”) = P {|T | ≤ λ|µ ̸= µ0}
(
)
µ=µ=1̸=µ0 P
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几个重要统计量的分布
一、正态变量二次型的分布
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定义 .
(3.1.3)
设 X ∼ χ2(m, δ) 与 Y ∼ χ2(n) 相互独立, 令
X /m
F=
,
Y /n
则称 F 的分布为具有自由度为 m, n 和非中心参数为 δ 的 F 分布, 记 .为 F ∼ F (m, n, δ).
∑n
W=
X(α)X(′α) = XX′
α=1
.的分布为威沙特分布, 记为 W ∼ Wp(n, Σ).
石万林 (多元统计分析)
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多元正态总体参数的假设检验
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几个重要统计量的分布
二、威沙特分布
显然, p = 1 时,X(α) ∼ Np(0, σ2), 此时
在一元统计中，用于检验 µ, σ2 的抽样分布有 χ2 分布,t 分布,F 分 布等, 它们都是由来自总体 N (µ, σ2) 的样本导出的检验统计量. 推广到 多元统计分析后, 也有相应于以上三个常用分布的统计量: Wishart, Hotelling T 2, Wilks Λ 统计量, 讨论这些统计量的分布是多元统计分析 所涉及的假设检验问题的基础.
的
χ2
分布,
记为
X. ′X ∼ χ2(n, δ) 或者 X′X ∼ χ2n(δ).
当 X ∼ Nn(µ, σ2In), µ ̸= 0, 且 σ2 ̸= 1 时, 令 1
Yi = σ Xi 显然
石万林 (多元统计分析)
Yi ∼ N (µi/σ, 1) (i = 1, · · · , n),
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多元正态总体参数的假设检验
石万林 (多元统计分析)
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多元正态总体参数的假设检验
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几个重要统计量的分布
一、正态变量二次型的分布
4. 非中心 χ2 分布、非中心 t 分布、非中心 F 分布的应用
一元统计中, 关于在一个正态总体 N (µ, σ2) 的均值检验中, 检验 H0 : µ = µ0 时, 检验统计量为
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多元正态总体参数的假设检验
石万林 多元统计分析 2020 年 5 月 13 日
石万林 (多元统计分析)
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多元正态总体参数的假设检验
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目录
目录
1. 几个重要统计量的分布 2. 单总体均值向量的检验及置信域 3. 多总体均值向量的检验 4. 协方差阵的检验 5. 独立性检验 6. 正态性检验
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几个重要统计量的分布
一、正态变量二次型的分布
则
其中
δ
=
1 σ2
µ′
µ
Y ′Y
=
1 σ2
X
′X
∼ χ2n(δ),
结论 3 设 X ∼ Nn(0n, σ2In), A 为对称矩阵, 且 rank(A) = r, 则 二次型 X′AX/σ2 ∼ χ2(r) ⇐⇒ A2 = A (A 为对称幂等矩阵)
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多元正态总体参数的假设检验
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几个重要统计量的分布
一、正态变量二次型的分布
2. 一般 p 维正态随机向量的二次型 结论 1 设 X ∼ Np(µ, Σ), Σ > 0, 则 X′Σ−1X ∼ χ2(p, δ), 其中 δ = µ′Σ−1µ.
石万林 (多元统计分析)
= Inµ′,
µ1 · · · µp
则称 W = X′X 服从非中心参数为 ∆ 的非中心威沙特分布, 记为
W ∼ Wp(n, Σ, ∆), 其中
石万林 (多元统计分析)
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多元正态总体参数的假设检验
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几个重要统计量的分布
二、威沙特分布
∆ = M ′M = (Inµ′)′(Inµ′) = µIn′ Inµ′ = nµµ′.