边长，则
a2＝ b2＋ c2－ 2bccosA， b2＝ a2＋ c2－ 2accosB， c2＝ a2＋ b2－
2abcosC.
余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的关系，它
的另一种表示形式是
cosA＝b2＋2cb2c－a2，cosB＝
a2＋c2－b2， 2ac
cosC＝a2＋2ba2b－c2.
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝
2aR，sinB＝2bR，sinC＝
c 2R
asinB ＝ bsinA ， csinB ＝ bsinC ， csinA ＝ asinC ， a b c ＝
sinA B C 以上这些关系式，可根据问题的条件和结论加以选择应用．
(2)利用正弦定理解斜三角形 利用正弦定理可以解决如下有关三角形的问题： ①已知三角形的两角和任一边，求三角形的其他边和角． ②已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其他边和角． 对于已知两边和其中一边的对角，要注意解的讨论，因为这时三 角形是不能唯一确定的，解这类三角形问题将出现无解、一解和两解 的情况．图 1 和图 2 就表示了在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时解三角 形的各种情况．
教材面面观 1．正弦定理：sinaA＝______＝______＝2R，其中 R 是______．
答案 b
c 三角形外接圆半径
sinB sinC
2．余弦定理： a2＝ b2＋ c2－ 2bccosA， b2＝ ________， cosA＝ ________.
答案
a2＋c2－2accosB
b2＋c2－a2 2bc
典例对对碰
题型一 利用正余弦定理进行边角转化 例 1 在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且ccoossBC ＝－2ab＋c. (1)求角 B 的大小； (2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求△ABC 的面积．
3．三角形常用面积公式： (1)S＝12a·ha(ha 表示 a 边上的高)． (2)S＝12absinC＝________＝12bcsinA＝a4bRc. (3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
答案 12acsinB
考点串串讲
1．解直三角形 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， (1)三边满足勾股定理 (2)两锐角互余，即∠A＋∠B＝90° (3)边角之间有如下关系 sinα＝α的斜对边边 cosα＝α的斜邻边边
(4)特殊三角形的性质：如等腰三角形、正三角形、锐角三角形等． (5)三角形的重心、内心、外心、垂心的性质以及中线、高、角分 线的性质等．
5．解三角形实际应用 (1)应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤： ①根据题意作出示意图； ②确定实际问题所涉及的三角形，并理清该三角形的已知元与 未知元； ③选用正、余弦定理进行求解，有时需综合运用这两个定理， 并注意运算的正确性； ④给出答案．
⑥余弦定理
c2＝a2＋b2－2abcosC；cosC＝
a2＋b2－c2 2ab .
易知勾股定理是余弦定理的特殊情况．
⑦在△ABC 中有：a＞b⇔A＞B⇔sinA＞sinB⇔cosA<cosB.
(2)三角形的面积公式 ①S△＝12ah(其中 h 是 a 边上的高)． ②S△＝12absinC. ③S△＝ ss－as－bs－c＝sr，s 为周长的一半，r 为内切圆 半径． ④S△＝a4bRc，其中 R 为外接圆半径． (3)由 A＋B＋C＝π，易推出 ①sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)， tanA＝－tan(B＋C)． ②sinA2 ＝cosB＋2 C，cosA2 ＝sinB＋2 C.
4．解三角形常用的公式和结论 (1)关于三角形边、角的主要关系式 ①三角形内角和等于 180°. ②三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
③三角形中大边对大角，小边对小角．
④正弦定理sinaA＝sinbB＝sincC＝2R.
⑤勾股定理 c2＝a2＋b2.(其中 c 为直角三角形的斜边)．
(4)常用的三角形面积公式 S＝12aha＝12bhb＝12chc(ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高) S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB S＝a4bRc(R 为外接圆半径) S＝12 pp－ap－bp－c(其中 p＝12(a＋b＋c)) S＝12(a＋b＋c)·r(r 为内切圆半径)
tanα＝αα的 的对 邻边 边(其中 α 为某个锐角)
2．正弦定理
(1)正弦定理
的顶点
A、B、C
所对的边长，则 a sinA
＝sinbB＝sincC＝2R，其中 R 是△ABC 外接圆的半径． 正弦定理不仅揭示了三角形中边与角之间的正弦关系，而且还
揭示了它们与三角形的外接圆半径之间的关系，其变形形式有：
1°当 A 为锐角时，见图 1. 2°当 A 为直角或钝角时，见图 2.
(3)几点说明： ①正弦定理的本质揭示了三角形的边和所求角的关系，适用范 围是任何三角形． ②若题设中出现的边或角的正弦是齐次的，则一般可以利用正 弦定理或将边转化为角的三角函数或将角的三角函数转化为边．
3．余弦定理
(1)余弦定理：若 a、b、c 分别是△ABC 的顶点 A、B、C 所对
余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例，∠A
为钝角⇔a2＞b2＋c2，∠A 为直角⇔a2＝b2＋c2，∠A 为锐角⇔a2＜
b2＋c2.
(2)利用余弦定理可以解决如下两类问题： ①已知三边，求各角． ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 这两类问题在有解时都只有一个解． (3)提示： 余弦定理的每一个等式中均含有四个不同的量，它们分别是三 角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式，便可求出第 四个量来．
(2)解斜三角形的实际问题中几个测量中的角度： ①坡度：指坡面角的正切值，坡度 i＝hd＝tanα.
②俯角：视线在水平线以下时，视线与水平线在铅垂面内所成 的角为俯角，如图 α 为俯角．
③仰角：视线在水平线以上时，视线与水平面在铅垂面内所成 的角为仰角，如图 β 为仰角．
④方位角：由指北方向作为 0°，顺时针方向转到目标方向的水 平角．方位角的范围在 0°到 360°之间.