向量证明三线共点与三点共线问题
用向量证明三线共点与三点共线问题
山东 徐鹏
三线共点、三点共线是几何中经常遇到的问题，直接证明往往很困难，用向量法解决则简捷得多．
证明A 、B 、C 三点共线，只要证明AB 与AC 共线即可，即证明
AC AB λ=．证明三线共点一般须证两线交点在第三条直线上．
例1． 证明：若向量OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线，则存在实数λ、
μ，且1=+μλ，使得OB OA OC μλ+=；反之，也成
立．
证明：如图1，若OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线，则AB //BC ,故存在实数m,使得AB m BC =，又OB OC BC -=，OA OB AB -=，故
)(OA OB m OB OC -=-，OB m OA m OC )1(++-=．令,1,m m +=-=μλ则存在,1,,=+μλμλ且使得OB OA OC μλ+=． 若OB OA OC μλ+=，其中,1=+μλ则λμ-=1，OB OA OC )1(λλ-+=．从而有OC －OB ＝λ(OA －OB )，即BA BC λ=．又因为BA BC 和有公共点B,所以
A 、
B 、
C 三点共线，即向量OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线.
例2． 证明：三角形的三条中线交于一点．
A
O
B
C
图1
证明：如图2，D 、E 、F 分别是ABC ∆三边上的中
点． 设BE BG AD AG G BE AD b CB a CA μ===⋂==,,,．设．则
=-+-=++-=+-=+=)2
1()21()()(b a a b CA BC a b BE a b BG AB AG μμμ b a )1(1(21μμ-+-），又b a b a CD AC AD AG λλλλλ2
1)21()(+-=+-=+== ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-3232121121μλμλμλ解得所以 则b a b a a AD a AG CA CG 3
131)21(3232+=+-+=+=+= b a CF 2121+=，所以CF CG 3
2=，所以G 在中线CF 上，所以三角形三条中线交于一点．
A
B C
E
D
F 图G。