历年高考数学真题精选（按考点分类）专题25 等比数列（学生版）一．选择题（共6小题）1．（2014•全国）等比数列4x +，10x +，20x +的公比为( ) A ．12B ．43C ．32 D ．532．（2014•大纲版）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若23S =，415S =，则6(S = ) A ．31B ．32C ．63D ．643．（2014•重庆）对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是( ) A ．1a ，3a ，9a 成等比数列 B ．2a ，3a ，6a 成等比数列 C ．2a ，4a ，8a 成等比数列D ．3a ，6a ，9a 成等比数列4．（2014•上海）如果数列{}n a 是一个以q 为公比的等比数列，*2()n n b a n N =-∈，那么数列{}n b 是( )A ．以q 为公比的等比数列B ．以q -为公比的等比数列C ．以2q 为公比的等比数列D ．以2q -为公比的等比数列5．（2013•福建）已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)n m n m n m n m b a a a -+-+-+=++⋯+，(1)1(1)2(1)n m n m n m n m a a a -+-+-+=⋯g g g ð，*(,)m n N ∈，则以下结论一定正确的是( )A ．数列{}n b 为等差数列，公差为m qB ．数列{}n b 为等比数列，公比为2m qC ．数列{}n ð为等比数列，公比为2m q D ．数列{}n ð为等比数列，公比为m m q6．（2012•北京）已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是( ) A ．1322a a a +… B ．2221322a a a +…C ．若13a a =，则12a a =D ．若31a a >，则42a a >二．填空题（共7小题）7．（2015•安徽）已知数列{}n a 是递增的等比数列，149a a +=，238a a =，则数列{}n a 的前n 项和等于 ．8．（2014•广东）等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++= ．9．（2012•辽宁）已知等比数列{}n a 为递增数列．若10a >，且212()5n n n a a a +++=，则数列{}n a 的公比q = ．10．（2012•江苏）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ．11．（2012•江西）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比不为1．若11a =，且对任意的n N +∈都有2120n n n a a a +++-=，则5S = ．12．（2011•上海）若n S 为等比数列{}n a 的前n 项的和，2580a a +=，则63S S = ． 13．（2011•北京）在等比数列{}n a 中，112a =，44a =-，则公比q = ；12||||||n a a a ++⋯+= ．三．解答题（共2小题）14．（2015•江苏）设1a ，2a ，3a ．4a 是各项为正数且公差为(0)d d ≠的等差数列． （1）证明：12a ，22a ，32a ，42a 依次构成等比数列；（2）是否存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1n a ，2n k a +，23n k a +，34n k a +依次构成等比数列？并说明理由．15．（2014•江西）已知数列{}n a 的前n 项和232n n n S -=，*n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对任意的1n >，都存在*m N ∈，使得1a ，n a ，m a 成等比数列．历年高考数学真题精选（按考点分类）专题25 等比数列（教师版）一．选择题（共6小题）1．（2014•全国）等比数列4x +，10x +，20x +的公比为( ) A ．12B ．43C ．32 D ．53【答案】D【解析】Q 等比数列4x +，10x +，20x +，2(10)(4)(20)x x x ∴+=++，解得5x =，∴等比数列4x +，10x +，20x +的公比为1055453q +==+．故选：D ． 2．（2014•大纲版）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若23S =，415S =，则6(S = ) A ．31 B ．32C ．63D ．64【答案】C【解析】212S a a =+，2423412()S S a a a a q -=+=+，4645612()S S a a a a q -=+=+， 所以2S ，42S S -，64S S -成等比数列，即3，12，615S -成等比数列， 可得26123(15)S =-，解得663S = 故选：C ．3．（2014•重庆）对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是( ) A ．1a ，3a ，9a 成等比数列 B ．2a ，3a ，6a 成等比数列 C ．2a ，4a ，8a 成等比数列 D ．3a ，6a ，9a 成等比数列【答案】D【解析】A 项中231a a q =g ，28191a a a q =g g ，2319()a a a ≠g ，故A 项说法错误，B 项中2222631261()()a a q a a a q =≠=g g g ，故B 项说法错误，C 项中2322841281()()a a q a a a q =≠=g g g ，故C 项说法错误，D 项中25221061391()()a a q a a a q ===g g g ，故D 项说法正确，故选：D ．4．（2014•上海）如果数列{}n a 是一个以q 为公比的等比数列，*2()n n b a n N =-∈，那么数列{}n b 是( )A ．以q 为公比的等比数列B ．以q -为公比的等比数列C ．以2q 为公比的等比数列D ．以2q -为公比的等比数列【答案】A 【解析】1n n a q a +=，∴11122n n n n n nb a a q b a a +++-===-，所以，数列{}n b 是以q 为公比的等比数列． 5．（2013•福建）已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)n m n m n m n m b a a a -+-+-+=++⋯+，(1)1(1)2(1)n m n m n m n m a a a -+-+-+=⋯g g g ð，*(,)m n N ∈，则以下结论一定正确的是( )A ．数列{}n b 为等差数列，公差为m qB ．数列{}n b 为等比数列，公比为2m qC ．数列{}n ð为等比数列，公比为2m q D ．数列{}n ð为等比数列，公比为m m q 【答案】C【解析】①2(1)()m n m n b a q q q -=++⋯+，当1q =时，(1)n m n b ma -=，1(1)(1)n m n m m n n b ma ma b +-+-===，此时是常数列，选项A 不正确，选项B 正确；当1q ≠时，(1)(1)1m n m n q q b a q --=⨯-，1(1)(1)(1)(1)11m mm n m n m m n q q q q b a a q q q +-+---==--g g，此时1m n nb q b +=，选项B 不正确，又1(1)(1)(1)1m mn n m n q q b b a q q +---=⨯--，不是常数，故选项A 不正确，②Q 等比数列{}n a 的公比为q ，∴(11)(1)(1)m m n m n m m n a a a q +--+-==g ，∴(1)122(1)(1)m m m m mn m n m n c aq aq+++⋯+--==g ，∴2(1)2(11)(1)1(1)(1)()(1)2m m mm m m n m n m n mm n m n m n a q a q c q m m c a a q++--+--===+g ，故C 正确D 不正确． 综上可知：只有C 正确．6．（2012•北京）已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是( ) A ．1322a a a +… B ．2221322a a a +…C ．若13a a =，则12a a =D ．若31a a >，则42a a >【答案】B【解析】设等比数列的公比为q ，则2132a a a a q q+=+，当且仅当2a ，q 同为正时，1322a a a +…成立，故A 不正确；2222221322()()2a a a a q a q+=+…，∴2221322a a a +…，故B 正确； 若13a a =，则211a a q =，21q ∴=，1q ∴=±，12a a ∴=或12a a =-，故C 不正确； 若31a a >，则211a q a >，2421(1)a a a q q ∴-=-，其正负由q 的符号确定，故D 不正确 二．填空题（共7小题）7．（2015•安徽）已知数列{}n a 是递增的等比数列，149a a +=，238a a =，则数列{}n a 的前n 项和等于 ． 【答案】21n -【解析】数列{}n a 是递增的等比数列，149a a +=，238a a =， 可得148a a =，解得11a =，48a =，381q ∴=⨯，2q =，数列{}n a 的前n 项和为：122112n n -=--．8．（2014•广东）等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++= ．【答案】5【解析】521222324252123452323log log log log log log log 5log a a a a a a a a a a a a ++++===． 又等比数列{}n a 中，154a a =，即32a =．故2325log 5log 25a ==．故答案为：5． 9．（2012•辽宁）已知等比数列{}n a 为递增数列．若10a >，且212()5n n n a a a +++=，则数列{}n a 的公比q = ． 【答案】2【解析】{}n a Q 为递增数列且10a > 1q ∴>212()5n n n a a a +++=Q ，22()5n n n a a q a q ∴+= 2225q q ∴+= 2q ∴=10．（2012•江苏）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ． 【答案】35【解析】由题意成等比数列的10个数为：1，3-，2(3)-，39(3)(3)-⋯- 其中小于8的项有：1，3-，3(3)-，5(3)-，7(3)-，9(3)-共6个数 这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是63105P == 11．（2012•江西）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比不为1．若11a =，且对任意的n N +∈都有2120n n n a a a +++-=，则5S = ． 【答案】11【解析】Q 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且对任意的n N +∈都有2120n n n a a a +++-=，22n n n a q a q a ∴+=，即22q q +=，解得2q =-，或1q =（舍去）．551[1(2)]1112S ⨯--∴==+，故答案为 11．12．（2011•上海）若n S 为等比数列{}n a 的前n 项的和，2580a a +=，则63S S = ． 【答案】7-【解析】由2580a a +=，得到3528a q a ==- 61663313(1)117(1)11a q S q q a q S q q---===---- 13．（2011•北京）在等比数列{}n a 中，112a =，44a =-，则公比q = 2- ；12||||||n a a a ++⋯+= ．【答案】2-，1122n --【解析】2q ===-，1121(12)12||||||2122n n n a a a --++⋯+==-- 三．解答题（共2小题）14．（2015•江苏）设1a ，2a ，3a ．4a 是各项为正数且公差为(0)d d ≠的等差数列． （1）证明：12a ，22a ，32a ，42a 依次构成等比数列；（2）是否存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1n a ，2n k a +，23n k a +，34n k a +依次构成等比数列？并说明理由．解：（1）证明：Q 112222n n n n a a a d a ++-==，(1n =，2，3，)是同一个常数，∴12a ，22a ，32a ，42a 依次构成等比数列(0i a ≠，1i =，2，3，4)；（2）令1a d a +=，则1a ，2a ，3a ，4a 分别为a d -，a ，a d +，2(a d a d +>，2a d >-，0)d ≠假设存在1a ，d 使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列，则43()()a a d a d =-+，且624()(2)a d a a d +=+， 令dt a=，则31(1)(1)t t =-+，且64(1)(12)t t +=+，1(12t -<<，0)t ≠，化简得32220(*)t t +-=，且21t t =+，将21t t =+代入(*)式， 2(1)2(1)2313410t t t t t t t t +++-=+=++=+=，则14t =-，显然14t =-不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列．（3）假设存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1n a ，2n k a +，23n k a +，34n k a +依次构成等比数列，则22()111(2)()n n k n k a a d a d +++=+，且32(2)111()(3)(2)n k n k n k a d a d a d +++++=+， 分别在两个等式的两边同除以2()1n k a +，2(2)1n k a +，并令1d t a =，1(3t >-，0)t ≠， 则22()(12)(1)n k n k t t +++=+，且32(2)(1)(13)(12)n k n k n k t t t +++++=+，将上述两个等式取对数，得(2)(12)2()(1)n k ln t n k ln t ++=++， 且()(1)(3)(13)2(2)(12)n k ln t n k ln t n k ln t +++++=++， 化简得，2[(12)(1)][2(1)(12)]k ln t ln t n ln t ln t +-+=+-+， 且3[(13)(1)][3(1)(13)]k ln t ln t n ln t ln t +-+=+-+， 再将这两式相除，化简得，(13)(12)3(12)(1)4(13)(1)ln t ln t ln t ln t ln t ln t +++++=++，(**)令()4(13)(1)(13)(12)3(12)(1)g t ln t ln t ln t ln t ln t ln t =++-+++++， 则2222()[(13)(13)3(12)(12)3(1)(1)](1)(12)(13)g t t ln t t ln t t ln t t t t '=++-++++++++，令222()(13)(13)3(12)(12)3(1)(1)t t ln t t ln t t ln t ϕ=++-+++++， 则()6[(13)(13)2(12)(12)3(1)(1)]t t ln t t ln t t ln t ϕ'=++-+++++， 令1()()t t ϕϕ='，则1()6[3(13)4(12)(1)]t ln t ln t ln t ϕ'=+-+++， 令21()()t t ϕϕ='，则212()0(1)(12)(13)t t t t ϕ'=>+++，由12(0)(0)(0)(0)0g ϕϕϕ====，2()0t ϕ'>，知()g t ，()t ϕ，1()t ϕ，2()t ϕ在1(3-，0)和(0,)+∞上均单调，故()g t 只有唯一的零点0t =，即方程(**)只有唯一解0t =，故假设不成立，所以不存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1n a ，2n k a +，23n k a +，34n ka +依次构成等比数列．15．（2014•江西）已知数列{}n a 的前n 项和232n n n S -=，*n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对任意的1n >，都存在*m N ∈，使得1a ，n a ，m a 成等比数列．（1）解：232n n nS -=Q ，*n N ∈．∴当2n …时，22133(1)(1)3222n n n n n n n a S S n -----=-=-=-，(*)当1n =时，21131112a S ⨯-===．因此当1n =时，(*)也成立．∴数列{}n a 的通项公式32n a n =-．（2）证明：对任意的1n >，假设都存在*m N ∈，使得1a ，n a ，m a 成等比数列．则21nm a a a =， 2(32)1(32)n m ∴-=⨯-， 化为2342m n n =-+， 1n >Q ，22223423()133m n n n ∴=-+=-+>，因此对任意的1n >，都存在2*342m n n N =-+∈，使得1a ，n a ，m a 成等比数列．。