简言之：连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sin x cos x sin x C cos x
（ C为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若 F ( x) f ( x) ，则对于任意常数 C ，
F( x) C 都是 f ( x)的原函数.
(13)
a xdx
ax C; ln a
基本积分表
• ∫0dx=c • ∫xndx = xn+1 /(n+1)+c • ∫1/xdx= ln|x|+ c • ∫axdx= ax/lna + c • ∫exdx= ex + c • ∫cosxdx=sinx + c • ∫sinxdx=-cosx + c
例 sin x cos x sin x是cos x的原函数. ln x 1 ( x 0)
x ln x是1 在区间(0,)内的原函数.
x
定理 原函数存在定理：
如果函数 f ( x) 在区间I 内连续， 那么在区间I 内存在可导函数F ( x) ， 使x I ，都有F ( x) f ( x).
1 x2
3arctan x 2arcsin x C
求不定积分的方法
(1) 直接积分法 (2) 第一类换元法 (3) 第二类换元法 (4) 分部积分法
直接积分法
根据不定积分的性质和基本积分公式， 对于一些比较简单的函数的不定积分可以直 接求出结果，或者只需经过简单的恒等变换， 再辅以积分的法则，就可按基本公式求出结 果，这样的积分方法，叫做直接积分法。
y F(x) C ；
4、由F ' ( x) f ( x) 可知，在积分曲线族 y F ( x) C ( C是任意常数 ) 上横坐标相同的点处作切线，这
些切线彼此是______的； 5、若 f ( x) 在某区间上______，则在该区间上f ( x) 的
原函数一定存在；
6、 x xdx ______________________；
1
1
x2
dx.
解:
arctan
x
1
1 x2
,
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
.
例3 某商品的边际成本为 100 2x , 求
总成 本函数 C(x).
解: C(x) (100 2x)dx
100x x2 c
c 其中 为任意常数
二、不定积分的几何意义
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x)的积分曲线.
• 该方法主要把被积函数变换成基本积分公式 中的被积函数的形式。
例6
求积分
1 x x x(1 x2
2
)
dx.
解：
1 x x2 x(1 x2 )
dx
x (1 x2 x(1 x2 )
)dx
1
1 x
2
1 x
dx
1
1 x
2
dx
1dx x
arctanx ln x C.
例7
求积分
1 x 2 (1
本 积 分 表
(2) xdx x1 C ( 1); 1
x(3)说0明,[：ldnxxx(xln)0],x C1;dxx(xln)
xC
1,
,
x
x
dx x
ln(
x)
C
,
dx x
ln
|
x
|
C,
(4)
1
1 x2dx
arctan
x
C;
(5)
1
1
x2
dx
arcsin
x
C;
(6) cos xdx sin x C;
7、
dx x2 x
_______________________；
8、 ( x 2 3x 2)dx _________________；
9、 ( x 1)( x 3 1)dx _____________；
10、
(1
x)2 x
dx
=____________________
.
二、求下列不定积分：
第五章 不定积分
本章的教学基本要求是：
1、理解原函数和不定积分的定义，掌握 原函数和不定积分的性质；
2、熟练掌握不定积分的基本公式及凑微 分法；
3、熟练掌握不定积分的换元积分法和分 部积分法。
第一节 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、基本积分表 四、不定积分的性质 五、小结
x C.
说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒 等变形，才能使用基本积分表.
化积分为代数和的积分
例 9 已知一曲线 y f ( x) 在点( x, f ( x)) 处的
切线斜率为sec2 x sin x ，且此曲线与y 轴的交
点为(0,5) ，求此曲线的方程.
解: dy sec2 x sin x,
（2）若F ( x) 和 G( x) 都是 f ( x) 的原函数, 则 F( x) G( x) C （ C为任意常数）
证 F ( x) G( x) F( x) G( x)
f (x) f (x) 0 F ( x) G( x) C （C为任意常数）
说明F x c是f x的全部原函数.
∫secx. tanxdx= secx+c ( secx ) ’=secx. tanx
∫cscx. cotxdx= -cscx+c (cscx) ’=- cscx. cotx
∫1/(1-x2)1/2dx= arcsinx+c (arcsinx) ’=1/(1-x2)1/2
∫1/(1+x2) dx= arctanx+c ( arctanx) ’=1/(1+x2)
练习题答案
一、1、无穷多,常数； 2、全体原函数；
3、积分曲线,积分曲线族； 4、平行； 5、连续；
6、 2
5
x2
C；
7、
2
3
x2
C；
5
3
8、 x 3 3 x 2 2 x C ； 32
9、 x 3
2
5
x2
2
3
x2
x
C；
35 3
10、 2
x
4
3
x2
2
5
x2
C.
35
二、1、 x arctax C;
(8)
dx cos2
x
sec2
xdx
tan
x
C;
(9)
dx sin 2
x
csc2
xdx
cot
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
定义 不定积分(indefinite integral)的定义：
在区间I 内，函数 f ( x)的带有任意
常数项的原函数 称为 f ( x)在区间I 内的
不定积分，记为 f ( x)dx .
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
积 分 变
原 函 数
式量
任 意 常 数
3、 x sin x C ； 2
5、4( x 2 7) C ； 74 x
5(2) x 2、2x 3 C ；
ln 2 ln 3 4. (cot x tan x) C ；
6、tan x arc cot x C .
三、 y ln x C .
知识回顾 Knowledge Review
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)
a xdx
ax C; ln a
• 作业题: P183-184 1.(6) (15) (20) 2.
• 思考题: P183-184 1.(4) (13) (22) (29)
一、 填空题：
x
C;
(4)
1
1 x2dx
arctan
x
C;
(5)
1
1
x2
dx
arcsin
x
C;
(6) cos xdx sin x C;
(7) sin xdx cos x C;
(8)
dx cos2
x
sec2
xdx
tan
x
C;
(9)
dx sin 2
x
csc2
xdx
cot
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
祝您成功！
例4 求积分 x2 xdx.
5
解： x2 xdx x 2dx
51
x2 C 51
2
x
7 2
7
C.
2
根据积分公式(2) xdx x1 C
1
四、 不定积分的性质
(1) [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx;
证：
f
( x)dx
g( x)dx
导数基本公式
C ’=0 （C为常数） (xn)’= n xn-1 (lnx) ’=1/x (ax)’= axlna (ex) ’= ex (sinx) ’=cosx (cosx) ’=-sinx
∫sec2xdx= tanx+c
(tanx) ’=sec2x
∫csc2xdx= -cotx+c
(cotx) ’=-csc2x