2020年中考数学压轴题精析精练2一、选择题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC＝90°，顶点A在第一象限，B，C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC＝2，AB＝2，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称．若点A和点D在同一个反比例函数y＝的图象上，则OB的长是（）A．2 B．3 C．2D．32．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的点A（0，﹣2）、点B（3m，4m+1）（m ≠﹣1），点C（6，2），则对角线BD的最小值是（）A．3B．2C．5 D．63．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（）A．B．2﹣2 C．2﹣2 D．44．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是9，则k＝（）A．B．C．D．125．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P为矩形内一动点，且满足∠PBC＝∠PCD，则线段PD的最小值为（）A．5 B．1 C．2 D．36．如图，平行四边形ABCO的顶点B在双曲线y＝上，顶点C在双曲线y＝上，BC中点P恰好落在y轴上，已知S▱OABC＝10，则k的值为（）A．﹣8 B．﹣6 C．﹣4 D．﹣2二、填空题1．如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点E作EF⊥AB交对角线BD于点F．连接EC交BD于点G．取DF的中点H，并连接AH．若AH＝，EG＝，则四边形AEFH 的面积为．第1题第2题2．在△ABC中，AB＝5，AC＝8，BC＝7，点D是BC上一动点，DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F，线段EF的最小值为．3．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、DC的中点，AM＝4，AN＝3，且∠MAN＝60°，则AB的长是．4．如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将点E绕点D按逆时针方向旋转90°得到点F，则线段AF的长的最小值．5．如图，在矩形ABMN中，AN＝1，点C是MN的中点，分别连接AC，BC，且BC＝2，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF．当EF⊥AC时，AE的长为．第5题第6题6．如图，在⊙O中，半径OC＝6，D是半径OC上一点，且OD＝4．A，B是⊙O上的两个动点，∠ADB＝90°，F是AB的中点，则OF的长的最大值等于．三、解答题1．如图，P（m，n）是函数y＝（x＞0）的图象上的一个动点，过点P分别作P A⊥x轴于A、PB⊥y轴于B，P A、PB分别与函数y＝（x＞0）的图象交于点C、D，连接AB、CD．（1）求证：AB∥CD；（2）在点P移动的过程中，△OCD的面积S是否会发生改变？若不改变，求出S的值；若改变，求出S与m之间的函数表达式．2．如图①已知抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴的交点E．（1）抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为，点A的坐标为；（2）若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，如图②Q（m，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，点A、B分别在y轴和x轴上，BC⊥AB（点C和点O在直线AB的两侧），点C 的坐标为（4，n）过点C的反比例函数y＝（x＞0）的图象交边AC于点D（n+，3）．（1）求反比例函数的表达式；（2）求点B的坐标．4．如图，已知抛物线y＝ax2+3ax﹣4a与x轴负半轴相交于点A，与y轴正半轴相交于点B，OB＝OA，直线l过A、B两点，点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线与x轴正半轴交于点F，设点D的横坐标为x，四边形F AEB的面积为S，请写出S与x的函数关系式，并判断S是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值；并写出此时点E的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．5．如图，反比例函数y＝（x＞0，k是常数）的图象经过A（1，3），B（m，n），其中m ＞1．过点B作y轴的垂线，垂足为C．连接AB，AC，△ABC的面积为．（1）求k的值和直线AB的函数表达式：（2）过线段AB上的一点P作PD⊥x轴于点D，与反比例函数y＝（x＞0，k是常数）的图象交于点E，连接OP，OE，若△POE的面积为1，求点P的坐标．6．探究：已知二次函数y＝ax2﹣2x+3经过点A（﹣3，0）．（1）求该函数的表达式；（2）如图所示，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点P的横坐标为t，连接AC，P A，PC．①求△ACP的面积S关于t的函数关系式；②求△ACP的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．拓展：在平面直角坐标系中，点M的坐标为（﹣1，3），N的坐标为（3，1），若抛物线y＝ax2﹣2x+3（a＜0）与线段MN有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．【答案与解析】一、选择题1．【分析】作DE⊥x轴于E，根据三角函数值求得∠ACD＝∠ACB＝60°，即可求得∠DCE ＝60°，根据轴对称的性质得出CD＝BC＝2，解直角三角形求得CE＝1，DE＝，设A（m，2），则D（m+3，），根据系数k的几何意义得出k＝2m＝（m+3），求得m＝3，即可得到结论．【解答】解：作DE⊥x轴于E，∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，AB＝2，∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝60°，∴∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠DCE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵CD＝BC＝2，∴CE＝CD＝1，DE＝CD＝，设A（m，2），则D（m+3，），∵k＝2m＝（m+3），解得m＝3，∴OB＝3，故选：B．2．【分析】方法1：先根据B（3m，4m+1），可知B在直线y＝x+1上，所以当BD⊥直线y＝x+1时，BD最小，找一等量关系列关于m的方程，作辅助线：过B作BH⊥x轴于H，则BH＝4m+1，利用三角形相似得BH2＝EH•FH，列等式求m的值，得BD的长即可．方法2：先根据B（3m，4m+1），可知B在直线y＝x+1上，所以当BD⊥直线y＝x+1时，BD最小，因为平行四边形对角线交于一点，且AC的中点一定在x轴上，可得F是AC的中点，F（3，0），设直线BF的解析式为y＝﹣x+b，根据待定系数法可求BF的解析式，进一步得到B点坐标，根据两点间的距离公式可求BF，进一步得到对角线BD 的最小值．【解答】解：方法1：如图，∵点B（3m，4m+1），∴令，∴y＝x+1，∴B在直线y＝x+1上，∴当BD⊥直线y＝x+1时，BD最小，过B作BH⊥x轴于H，则BH＝4m+1，∵BE在直线y＝x+1上，且点E在x轴上，∴E（﹣，0），G（0，1），∵平行四边形对角线交于一点，且AC的中点一定在x轴上，∴F是AC的中点，∵A（0，﹣2），点C（6，2），∴F（3，0）．在Rt△BEF中，∵BH2＝EH•FH，∴（4m+1）2＝（3m+）（3﹣3m），解得：m1＝﹣（舍），m2＝，∴B（，），∴BD＝2BF＝2×＝6，则对角线BD的最小值是6；方法2：如图，∵点B（3m，4m+1），∴令，∴y＝x+1，∴B在直线y＝x+1上，∴当BD⊥直线y＝x+1时，BD最小，∵平行四边形对角线交于一点，且AC的中点一定在x轴上，∴F是AC的中点，∵A（0，﹣2），点C（6，2），∴F（3，0）．设直线BF的解析式为y＝﹣x+b，则﹣×3+b＝0，解得b＝，则直线BF的解析式为y＝﹣x+，∴4m+1＝﹣×3m+，解得m＝，∴B（，），∴BF＝＝3，∴BD＝2BF＝6，则对角线BD的最小值是6．故选：D．3．【分析】由AE⊥BE知点E在以AB为直径的半⊙O上，连接CO交⊙O于点E′，当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，利用勾股定理可得答案．【解答】解：如图，∵AE⊥BE，∴点E在以AB为直径的半⊙O上，连接CO交⊙O于点E′，∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，∵AB＝4，∴OA＝OB＝OE′＝2，∵BC＝6，∴OC＝＝＝2，则CE′＝OC﹣OE′＝2﹣2，故选：B．4．【分析】所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B 的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），∵BD＝3AD，∴D（，b），∵点D，E在反比例函数的图象上，∴＝k，∴E（a，），∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝ab﹣﹣k﹣•（b﹣）＝9，∴k＝，故选：C．5．【分析】先证明∠BPC＝90°，则利用圆周角定理可判断点P在以BC为直径的⊙O上，连接OD交⊙O于P′，连接OP、PD，如图，由于PD≥OD﹣OP（当且仅当O、P、D 共线时，取等号），然后求出DP′即可．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD＝90°，∵∠PBC＝∠PCD，∴∠PBC+∠PCB＝90°，∴∠BPC＝90°，∴点P在以BC为直径的⊙O上，连接OD交⊙O于P′，连接OP、PD，如图，∵PD≥OD﹣OP（当且仅当O、P、D共线时，取等号），即P点运动到P′位置时，PD的值最小，最小值为DP′，在Rt△OCD中，OC＝BC＝4，CD＝AB＝3，∴OD＝＝5，∴DP′＝OD﹣OP′＝5﹣4＝1，∴线段PD的最小值为1．故选：B．6．【分析】连接BO，过B点和C点分别作y轴的垂线段BE和CD，证明△BEP≌△CDP （AAS），则△BEP面积＝△CDP面积；易知△BOE面积＝×6＝3，△COD面积＝|k|．由此可得△BOC面积＝△BPO面积+△CPD面积+△COD面积＝3+|k|＝10，解k即可，注意k＜0．【解答】解：连接BO，过B点和C点分别作y轴的垂线段BE和CD，∴∠BEP＝∠CDP，又∠BPE＝∠CPD，BP＝CP，∴△BEP≌△CDP（AAS）．∴△BEP面积＝△CDP面积．∵点B在B在双曲线y＝上，所以△BOE面积＝×6＝3．∵点C在双曲线y＝上，且从图象得出k＜0，∴△COD面积＝|k|．∴△BOC面积＝△BPO面积+△CPD面积+△COD面积＝3+|k|．∵四边形ABCO是平行四边形，∴平行四边形ABCO面积＝2×△BOC面积＝2（3+|k|），∴2（3+|k|）＝10，解得k＝±4，因为k＜0，所以k＝﹣4．故选：C．二、填空题1．【分析】如图，连接HE，HC，作HM⊥AB于M．，延长MH交CD于N．首先证明△EHC 是等腰直角三角形，推出EC＝2，由EF∥BC，推出＝＝，设EF＝BE＝4a，则BC＝AB＝10a，AE＝6a，AM＝ME＝3a，由EF∥HM，推出＝，推出＝，推出HM＝7a，可得S四边形AEFH＝S△AMH+S梯形EFHM＝×3a×7a+（4a+7a）×3a＝27a2，在Rt△BEC中，根据BE2+BC2＝EC2，构建方程求出a2即可解决问题；【解答】解：如图，连接HE，HC，作HM⊥AB于M．，延长MH交CD于N．∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠ADH＝∠CDH＝45°，∵DH＝DH，∴△ADH≌△CDH（SAS），∴AH＝CH＝，∵EF⊥AB，HM⊥AB，DA⊥AB∴EF∥HM∥AD，∵HF＝HD，∴AM＝EM，∴HA＝HE＝HC，∵∠AMN＝∠∠ADN＝90°，∴四边形AMND是矩形，∴AM＝DN，∵DN＝HN，AM＝EM，∴EM＝HN，∴Rt△HME≌Rt△CNH（HL），∴∠MHE＝∠HCN，∵∠HCN+∠CHN＝90°，∴∠MHE+∠CHN＝90°，∴∠EHC＝90°，∴EC＝HE＝2，∵EG＝，∴GC＝2﹣＝，∵EF∥BC，∴＝＝，设EF＝BE＝4a，则BC＝AB＝10a，AE＝6a，AM＝ME＝3a，∵EF∥HM，∴＝，∴＝，∴HM＝7a，∴S四边形AEFH＝S△AMH+S梯形EFHM＝×3a×7a+（4a+7a）×3a＝27a2，在Rt△BEC中，∵BE2+BC2＝EC2，∴16a2+100a2＝4，∴a2＝，∴S四边形AEFH＝．故答案为．2．【分析】如图，作CM⊥AB于M，AN⊥BC于N．连接AD，OE，OF．设AM＝x，则BM ＝5﹣x．根据CM2＝AC2﹣AM2＝BC2﹣BM2，可得82﹣x2＝72﹣（5﹣x）2，解得x＝4，推出∠EAF＝60°，由A，E，D，F四点共圆，推出当⊙O的直径最小时，EF的长最小，根据垂线段最短可知：当AD与AN重合时，AD的值最小，由此即可解决问题．【解答】解：如图，作CM⊥AB于M，AN⊥BC于N．连接AD，OE，OF．设AM＝x，则BM＝5﹣x．∵CM2＝AC2﹣AM2＝BC2﹣BM2，∴82﹣x2＝72﹣（5﹣x）2，解得x＝4，∴AM＝4，AC＝2AM，∴∠ACM＝30°，∠CAM＝60°，CM＝AM＝4，∵S△ABC＝•BC•AN＝•AB•CM，∴AN＝＝，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，∴A，E，D，F四点共圆，∴当⊙O的直径最小时，EF的长最小，根据垂线段最短可知：当AD与AN重合时，AD的值最小，AD的最小值为，此时OE＝OF＝，EF＝2•OE•cos30°＝，∴EF的最小值为，故答案为．3．【分析】首先延长DC和AM交于E，过点E作EH⊥AN于点H，易证得△ABM≌△ECM，即可得AB＝NE，然后由AM＝4，AN＝3，且∠MAN＝60°，求得AH，NH与EH的长，继而求得EN的长，则可求得答案．【解答】解：延长DC和AM交于E，过点E作EH⊥AN于点H，如图．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CE，∴∠BAM＝∠CEM，∠B＝∠ECM．∵M为BC的中点，∴BM＝CM．在△ABM和△ECM中，，∴△ABM≌△ECM（AAS），∴AB＝CD＝CE，AM＝EM＝4，∵N为边DC的中点，∴NE＝3NC＝AB，即AB＝NE，∵AN＝3，AE＝2AM＝8，且∠MAN＝60°，∴∠AEH＝30°，∴AH＝AE＝4，∴EH＝＝4，∴NH＝AH﹣AN＝4﹣3＝1，∴EN＝＝7，∴AB＝×7＝．故答案为．4．【分析】根据题意先证明△ADE≌△CDF，则CF＝AE＝1，根据三角形三边关系得：AF ≤AC﹣CF，可知：当F在AC上时，AF最小，所以由勾股定理可得AC的长，可求得AF的最小值．【解答】解：如图，连接FC，AC，AE．∵ED⊥DF，∴∠EDF＝∠EDA+∠ADF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠CDF＝90°，∴∠EDA＝∠CDF，在△ADE和△CDF中∵，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴CF＝AE＝1，∵正方形ABCD的边长为2，∴AC＝2，∵AF≥AC﹣CF，∴AF≥2﹣1∴AF的最小值是2﹣1；故答案为：2﹣1．5．【分析】首先证明∠CAB＝∠CBA＝30°．分两种情形画出图形分别求解即可．【解答】解：∵四边形ABMN是矩形，∴AN＝BM＝1，∠M＝∠N＝90°，∵CM＝CN，∴△BMC≌△ANC（SAS），∴BC＝AC＝2，∴AC＝2AN，∴∠ACN＝30°，∵AB∥MN，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，①如图1中，当DF⊥AB时，∠ADF＝60°，∵DA＝DF，∴△ADF是等边三角形，∴∠AFD＝60°，∵∠DFE＝∠DAE＝30°，∴EF平分∠AFD，∴EF⊥AD，此时AE＝．②如图2中，当△AEF是等边三角形时，EF⊥AC，此时EF＝．综上所述，满足条件的EF的值为或．6．【分析】当点F与点D运动至共线时，OF长度最大，因为此时F是AB的中点，则OF ⊥AB，此时A、B关于OC对称，解直角三角形即可求得OF的长度．【解答】解：∵当点F与点D运动至共线时，OF长度最大，如图，∵F是AB的中点，∴OC⊥AB，设OF为x，则DF＝x﹣4，∵△ABD是等腰直角三角形，∴DF＝AB＝BF＝x﹣4，在Rt△BOF中，OB2＝OF2+BF2，∵OB＝OC＝6，∴36＝x2+（x﹣4）2，解得x＝2+或2﹣（舍去）∴OF的长的最大值等于2+，故答案为2+．三、解答题1．【分析】（1）首先用m表示出A、C、B、D的坐标，再证明△PCD∽△P AB，得出对应角相等，即可得出结论；（2）S＝S矩形OAPB﹣S△OAC﹣S△OBD﹣S△PCD，即可得出结果．【解答】（1）证明：根据题意得：四边形OAPB是矩形，∵P（m，n）在函数y＝（x＞0）的图象上，∴n＝，∴P（m，），∴A（m，0），C（m，），B（0，），D（，），∴P A＝，PC＝，PB＝m，PD＝m，∴＝＝，＝＝，∴，∵∠CPD＝∠APB，∴△PCD∽△P AB，∴∠PCD＝∠P AB，∴AB∥CD；（2）解：△OCD的面积不变；理由如下：根据题意得：S＝S矩形OAPB﹣S△OAC﹣S△OBD﹣S△PCD＝m•﹣•m•﹣••﹣••＝6﹣1﹣1﹣＝．2．【分析】（1）根据对称轴公式可以求出点E坐标，设y＝0，解方程即可求出点A坐标．（2）如图①中，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC，由tan∠OBC＝＝，列出方程即可解决．（3）分两种情形①当N在直线BC上方，②当N在直线BC下方，分别列出方程即可解决．【解答】解：（1）∵对称轴x＝﹣＝，∴点E坐标（，0），令y＝0，则有ax2﹣3ax﹣4a＝0，∴x＝﹣1或4，∴点A坐标（﹣1，0）．故答案分别为（，0），（﹣1，0）．（2）如图①中，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC，∵DE＝OE＝，EB＝，OC＝﹣4a，∴DB＝＝＝2，∵tan∠OBC＝＝，∴＝，∴a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3．（3）如图②中，由题意∠M′CN＝∠NCB，∵MN∥OM′，∴∠M′CN＝∠CNM，∴MN＝CM，∵直线BC解析式为y＝﹣x+3，∴M（m，﹣m+3），N（m，﹣m2+m+3），作MF⊥OC于F，∵sin∠BCO＝＝，∴＝，∴CM＝m，①当N在直线BC上方时，﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）＝m，解得：m＝或0（舍弃），∴Q1（，0）．②当N在直线BC下方时，（﹣m+3）﹣（﹣m2+m+3）＝m，解得m＝或0（舍弃），∴Q2（，0），综上所述：点Q坐标为（，0）或（，0）．3．【分析】（1）依据反比例函数图象上点的坐标特征，即可得到n的值，进而得出反比例函数的表达式；（2）利用待定系数法即可得到直线CD的解析式为y＝﹣x+4，进而得到点A的坐标，再根据△ABO∽△BCE，即可得到点B的坐标．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C（4，n）和点D（n+，3）．∴m＝4n＝3（n+），解得n＝1，∴m＝4×1＝4，∴反比例函数的表达式为y＝；（2）如图，过C作CE⊥x轴于E，设直线CD的解析式为y＝kx+b，把点C（4，1），点D（，3）代入，可得，解得，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4，令x＝0，则y＝4，∴A（0，4），即AO＝4，设BO＝x，则BE＝4﹣x，∵∠ABC＝90°＝∠AOB＝∠BEC，∴∠BAO+∠ABO＝90°＝∠CBE+∠ABO，∴∠BAO＝∠CBE，∴△ABO∽△BCE，∴，即，解得x＝2，∴B（2，0）．4．【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A、B的坐标，结合OA＝OB即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）由点A、B的坐标可得出直线AB的解析式（待定系数法），由点D的横坐标可得出点D、E的坐标，进而可得出DE的长度，利用三角形的面积公式结合∴S＝S△ABE+S△ABF 即可得出S关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）由∠ADC＝∠BDE、∠ACD＝90°，利用相似三角形的判定定理可得出：若要△DBE 和△DAC相似，只需∠DEB＝90°或∠DBE＝90°，设点D的坐标为（m，m+4），则点E的坐标为（m，﹣m2﹣3m+4），进而可得出DE、BD的长度．①当∠DBE＝90°时，利用等腰直角三角形的性质可得出DE＝BD，进而可得出关于m的一元二次方程，解之取其非零值即可得出结论；②当∠BED＝90°时，由点B的纵坐标可得出点E的纵坐标为4，结合点E的坐标即可得出关于m的一元二次方程，解之取其非零值即可得出结论．综上即可得出结论．【解答】解：（1）当y＝0时，有ax2+3ax﹣4a＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1，∴点A的坐标为（﹣4，0）．当x＝0时，y＝ax2+3ax﹣4a＝﹣4a，∴点B的坐标为（0，﹣4a）．∵OA＝OB，∴﹣4a＝4，解得：a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4．（2）∵点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，4），∴直线AB的解析式为y＝x+4．∵点D的横坐标为x，则点D的坐标为（x，x+4），点E的坐标为（x，﹣x2﹣3x+4），∴DE＝﹣x2﹣3x+4﹣（x+4）＝﹣x2﹣4x（如图1）．∵点F的坐标为（1，0），点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，4），∴AF＝5，OA＝4，OB＝4，∴S＝S△ABE+S△ABF＝OA•DE+AF•OB＝﹣2x2﹣8x+10＝﹣2（x+2）2+18．∵﹣2＜0，∴当x＝﹣2时，S取最大值，最大值为18，此时点E的坐标为（﹣2，6），∴S与x的函数关系式为S＝﹣2x2﹣8x+10（﹣4≤x≤0），S存在最大值，最大值为18，此时点E的坐标为（﹣2，6）．（3）∵∠ADC＝∠BDE，∠ACD＝90°，∴若要△DBE和△DAC相似，只需∠DEB＝90°或∠DBE＝90°（如图2）．设点D的坐标为（m，m+4），则点E的坐标为（m，﹣m2﹣3m+4），∴DE＝﹣m2﹣3m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，BD＝﹣m．①当∠DBE＝90°时，∵OA＝OB，∴∠OAB＝45°，∴∠BDE＝∠ADC＝45°，∴△BDE为等腰直角三角形．∴DE＝BD，即﹣m2﹣4m＝﹣2m，解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣2，∴点D的坐标为（﹣2，2）；②当∠BED＝90°时，点E的纵坐标为4，∴﹣m2﹣3m+4＝4，解得：m3＝﹣3，m4＝0（舍去），∴点D的坐标为（﹣3，1）．综上所述：存在点D，使得△DBE和△DAC相似，此时点D的坐标为（﹣2，2）或（﹣3，1）．5．【分析】（1）根据待定系数法即可求得k的值，得到反比例函数的解析式，把B点代入得到n＝，根据三角形ABC的面积即可求得B点的坐标，然后根据待定系数法求得直线AB的解析式；（2）设P点的坐标为（x，﹣x+），则E（x，），根据△POE的面积为1得出x•（﹣x+﹣）＝1，解方程即可求得．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0，k是常数）的图象经过A（1，3），∴k＝1×3＝3，∴反比例函数为y＝，∵反比例函数y＝（x＞0，k是常数）的图象经过B（m，n），∴n＝，∵△ABC的面积为．∴m•（3﹣）＝，解得m＝6，∴n＝＝，∴B（6，），设直线AB的解析式为y＝ax+b，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+；（2）设P点的坐标为（x，﹣x+），则E（x，），∵△POE的面积为1，∴x•（﹣x+﹣）＝1，解得x＝2或5，∴P（2，）或（5，1）．6．【分析】探究：（1）利用待定系数法求解可得；（2）①先求出直线AC解析式为y＝x+3，设P（t，﹣t2﹣2t+3），Q（t，t+3），据此得＝﹣t2﹣3t，根据可得答案；②根据二次函数的性质和①中所求代数式求解可得；拓展：先求出线段MN解析式，直线和抛物线有两个交点知﹣x+＝ax2﹣2x+3有两个不相等实数根，利用根的判别式求得a的范围，再根据a＜0时，抛物线与直线的交点在线段MN上得，解之可确定a的最终取值范围．【解答】解：探究：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+3经过点A（﹣3，0），∴0＝a（﹣3）2﹣2×（﹣3）+3，解得a＝﹣1．∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）①过点P作PN⊥AO于点N，交AC于点Q．设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（﹣3，0）、C（0，3）代入y＝kx+b，，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3．∵点P在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，点Q在直线AC上，∴点P的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3），点Q的坐标为（t，t+3），∴＝﹣t2﹣3t，∴＝．②∵，∴当时，，当时，．∴△ACP的面积的最大值是，此时点P的坐标为．拓展：设直线MN的解析式为y＝kx+b，将点M（﹣1，3）和N（3，1）代入，得：，解得，∴直线MN解析式为y＝﹣x+，由题意知﹣x+＝ax2﹣2x+3，即2ax2﹣3x+1＝0有两个不相等实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×2a×1＞0，解得a＜，∵a＜0，∴，解得：a≤﹣2，综上，a≤﹣2．。