~
解：x(n)
cos 0 n
1 [e 2
j0n
e
] j0n
X
(e
j
)
FT [cos 0 n]
FT [
1 2
(e
j0n
e
j0n
)]
[ ( 0 2 r) ( 0 2 r)] r
时域离散信号和系统的频域分析 时域离散信号与模拟信号的FT关系
X a ( j)
xa
(t
)e
jt
dt
1
H虚h(e部(jnw是))实奇部函2是h数he偶e0((n,函nn)),数,nn000
,
he
h(n)
ho
((nn))21122hh[[hx(o0((0(nn,n)))n,)n,hhn((0nn0))]]0
h(0), n 0
0, n 0
he (n)
h(n) / 2, n
0
, ho (n)
h(n) / 2, n 0
n0
1 e jN 1 e j
时域离散信号和系统的频域分析 序列的傅里叶变换（FT）的性质
1.FT的周期性
X (e j(2 M ) )
x(n)e j(2 M )n
n
x(n)e jne j 2 Mn
n
x(n)e jn X (e j )
n
时域离散信号和系统的频域分析 序列的傅里叶变换（FT）的性质
时域离散信号和系统的频域分析
序列的傅里叶变换（FT）的性质
7.FT的对称性
预备知识
x(n) xr (n) jxi (n)
实部对应的FT具有 共轭对称性
X (e j ) X e (e j ) X o (e j ) x(n) xe (n) xo (n)
虚部与j对应的FT具 有共轭反对称性
序列的共轭对称部分 对应FT的实部
FT e j0n x(n) X (e j(0 ) )
时域离散信号和系统的频域分析 序列的傅里叶变换（FT）的性质 4.FT的时域卷积定理
y(n) x(n) h(n) Y (e j ) X (e j )H (e j )
时域离散信号和系统的频域分析 序列的傅里叶变换（FT）的性质
5.FT的频域卷积定理
序列的傅里叶变换（FT）
正 : X (e j )
x(n)e jn
n
反 : x(n) 1 X (e j )e jnd
2
x(n)
n
时域离散信号和系统的频域分析
[例] 设 x(n) RN (n) ，求 x(n)的FT。
解：X (e j ) RN (n)e jn n
N 1
e jn
0
连续的 非周期的 非周期的 连续的
时域离散信号和系统的频域分析 二 连续时间、离散频率的傅里叶级数
x(t)
X ( jk0 )
---
---
0
t
Tp
0
0
2
Tp
正
:
X
(
jk 0
)
时域1信号Tp / 2 频x域(t信)e号 jk0t dt 连T续p 的Tp / 2非周期的
反 : x(t ) 周期X的( jk 离散0的)e jk0t
和
时域离散信号 x(n)，求 xa (t)和 xa (t)的傅里叶变换以及
x(n)的FT。
采样信号：xa (t) cos(2 f0nT ) (t nT )
周期延拓X：a ( j)n[ ( 2 f0 ) ( 2 f0 )]
X a ( j) FT[xa (t)]
s 2 / T 2 fs
Xa(
j)e jnT d
'
2 T
r
1
xa (nT ) 2 r
/T /T
Xa ( j'
j
2 T
r)e d j
('
2 T
) nT
'
时域离散信号和系统的频域分析
时域离散信号与模拟信号的FT关系
xa (nT )
1
2
r
/T /T
Xa ( j
j
2 T
r
)e
j
(
2 T
)
nT
d
交换区间
1 2
j 2 kn j 2 mn
x(n)e N [ ake N ]e N
n0
n0 k
N 1 j 2 (k m)n
ak e N
ak N
k n0
k
时域离散信号和系统的频域分析
周期序列的离散傅里叶级数（DFS）
ak
1
N 1 ~
j 2 kn
x(n)e N
N n0
~
令 X (k) Nak
~
X
(k)
N 1
~
x(n)e
j 2 N
kn，称为
~
x(n)的离散傅里叶级数，为DFS
n0
~
x(n)
1
N
1
~
X
(k
)e
j
2 N
kn，称为
~
X
(k
)的反离散傅里叶级数，为IDFS
N k0
时域离散信号和系统的频域分析
~
[例] 设 x(n) R4 (n) ，求 x8 (n) 的DFS。
～
解：X (k)
，以采样频率
fs
200Hz
对
xa
(t
)
进行采样，得到采样信号
xa (t)
和
时域离散信号 x(n)，求 xa (t)和 xa (t)的傅里叶变换以及
x(n)的FT。
模拟信号的傅里叶变换：X a ( j) FT[xa (t)]
X a ( j)
cos 2
f0te jt dt
1 2
[e
j
2
f0t
X (e j ) X R (e j ) jX I (e j )
序列的共轭反对称部 分对应FT的虚部与j
时域离散信号和系统的频域分析
分析实因果序列h(n)的对称性
h(n) hr (n) jhi (n)
h(n) he (n) ho (n)
H (e j ) H e (e j ) Ho (e j ) H (e j ) H R (e j ) jH I (e j )
2
序列的X(ejw)与模拟信号的X(j )有什么关系？
时域离散信号和系统的频域分析
时域离散信号与模拟信号的FT关系
xa
(t)
1
2
t nT
X
a
(
j)e
jt
d
x(n) 1
2
X (e j )e jn d
xa (nT )
1
2
X
a
(
j)e
jnT
d
区间不同
1
2 r
(2r 1) /T (2r 1) /T
xa (t) 2
X
a
(
j)e
jt
d
xa (t) xa (nT ) (t nT )
n
Xa(
j)
1 T
n
Xa(
j
jks )
时域离散信号和系统的频域分析
时域离散信号与模拟信号的FT关系
x(n) xa (nT )
X (e j )
x(n)e jn
n
x(n) 1 X (e j )e jn d
/T /T
r
X
a
(
j
xj(n2T)r)e
1 jnT d
2
X (e j )e jn d
＝T
1
2
1 T
r
Xa(
j
T
j
2 T
r)e jnd
X (e j )
1 T
r
Xa(
j
T
j
2 T
r)
序列的FT是模拟信号 FT的周期延拓
时域离散信号和系统的频域分析
[例] 设 xa (t) cos(2 f0t) ， f0 50Hz
1 T
X a ( j jks )
k
T
[ ( 2 f0 ks ) ( 2 f0 ks )]
k
时域离散信号和系统的频域分析
[例] 设 xa (t) cos(2 f0t) ， f0 50Hz
，以采样频率
fs
200Hz
对
xa
(t
)
进行采样，得到采样信号
xa (t)
和
时域离散信号 x(n)，求 xa (t)和 xa (t)的傅里叶变换以及
傅里叶变换就是建立以时间为自变量的“信号” 与以频率为自变量的“频谱函数”之间的某种变换关系
时域离散信号和系统的频域分析 一 连续时间、连续频率的傅里叶变换
x(t)
0 X ( j)
正 : X ( j) x(t)e jtdt
t 反 : x(t) 1 X ( j)e jtd
2
时域信号 频域信号
当xa (t) e j0t : X a ( j)
e e j0t
jt dt
2
(
0 )
当x(n) e j0n e j(0 2r)n : X (e j ) 2 ( 0 2 r)
r
X (e j ) FT ( 1
N 1 ~
j 2 kn
X (k)e N )
1
N 1 ~
j 2 kn
s s / 2
时域离散信号和系统的频域分析
四 离散时间、离散频率的离散傅里叶变换
x(nT)=x(n)
Tp
1 F
Tp NT
0 T 2T