1 刚度退化的基本原理
与强度参数 c，φ 反映材料的抗破坏能力不同，刚
度参数 E，v 表征的是材料的抗变形能力，刚度参数
退化的物理意义主要表现在环境因素如地下水及渗流
对岩土体材料的影响、采用连续介质力学方法不能考
虑材料的不连续性以及荷载作用下材料刚度随时间的
变化等。
采用土体应力–应变满足的双曲线的关系曲线和
tanϕ，⎬⎫⎪ (5)
σ1 − σ3 ≤ 2c cosϕ + (σ1 + σ3 )sinϕ。
⎪ ⎭
整理得
σ1 (1 − sinϕ ) − σ3 (1 + sinϕ ) ≤ 2c cosϕ ， (6)
将式（3）代入式（6）得
γ h (1 + sinϕ ) − kγ h (1 − sinϕ ) ≤ 2c cosϕ 。 (7)
当 h→∞时，得
sin ϕ
≥ 1− 1+
K K
= 1 − 2v
。
(8)
由上式分析可知，对于满足莫尔–库仑准则的材
料，若上式不成立，在半无限空间体中，一定的深度
以下都将处于塑性状态；对于无黏性土（c=0），整个
半无限空间都处于塑性状态，这显然不符合实际。故
对于满足莫尔–库仑准则的材料来说，其摩擦角 φ 与
量。
图 2 有限元分析中强度折减示意图
Fig. 2 Strength reduction procedure for finite element analysis
2.2 泊松比的调整原理和方法[11，13]
泊松比的折减，也可根据莫尔–库仑准则来推导。
假定某种土充满了半无限空间，其中的应力场仅为自
重应力场，其符号按弹性力学的规定，对于地面水平
摘 要：介绍了刚度退化的基本原理和方法及其在有限元计算中的实现，通过实例计算得出考虑刚度退化所得的安全
系数比不考虑刚度退化所得的安全系数要小，这是因为：在有限元计算中随着强度参数的折减，坡体内部的某些点首
先进入塑性状态，由于周围土体的约束作用，塑性区有发展的趋势，当泊松比ν 增大、弹性模量 E 减小时，土体间的
参数的折减之间的本质联系在理论上虽有研究，但不 够深入，论据也不够充分，而且有限元计算程序并未 提供材料刚度随强度折减的变化规律的子模块，刚度 参数折减对有限元计算结果的影响难以获得。
另外，强度折减法中边坡失稳判据也没有形成统 一的标准。主要有以下两种判据：
─────── 收稿日期：2007–09–12
。
方法计算边坡的安全系数时，土体内应力分布只与荷
载有关，强度参数的折减对土体内应力分布没有影响，
因此莫尔圆（图 2）上的任意点 A 的 σ1 − σ3 值是不变 的。随着材料参数 c 和 φ 折减，材料的抗剪强度τ =
(σ1
− σ3)f
折减过程如图
2
所示，图中
F 1
和
F 2
分别为
材料的折减系数。随着材料参数的折减，屈服曲线逐
Engineering, Yongzhou 425100, China)
Abstract: The basic theory and method of stiffness reduction and the implementation in FEM were introduced. The safety factor considering the stiffness reduction was smaller than that without regard to it because of that some points in slopes came into plastic state with the increase of strength reduction in finite element calculation, the plastic zone tended to expand under the constraint of the surrounding soil, but the expansion of the plastic zone became slow for the attenuated interaction among soil
相互作用减弱，塑性区发展减缓，范围减小。所以塑性破坏点连成的区域比不考虑刚度退化时小得多，并且集中在潜
在滑移面附近，构成剪切滑移带，致使有限元计算不收敛，边坡失稳破坏。利用刚度退化的有限元计算结果，通过对
比分析强度折减和考虑刚度退化的强度折减的数值计算结果，认为塑性区是否贯通的判别标准不能确切反映边坡稳定
第 12 期
龙绪健，等. 有限元强度折减法中的刚度退化及边坡失稳判据
1911
（1）以有限元数值计算不收敛作为边坡失稳的 判别标准。
（2）以广义塑性应变或者等效塑性应变从坡脚 到坡顶贯通作为边坡破坏的判别标准。
本文首先介绍了刚度参数折减的物理意义及折减 方法，并给出了刚度参数折减如何在有限元中的实现， 然后从刚度退化对强度折减有限元计算结果的影响， 论证了第二种判据的不确切。
第 30 卷 第 12 期
2008 年
12 月
岩 土 工程 学报
Chinese Journal of Geotechnical Engineering
Vol.30 No.12 Dec., 2008
有限元强度折减法中的刚度退化及边坡失稳判据
龙绪健 1，黄晓燕 2，张春宇 1，周 基 3
（1. 长沙理工大学交通运输工程学院，湖南 长沙 410076；2. 中南大学信息物理工程学院，湖南 长沙 410083；3. 湖南科技学院，湖南 永州 425100）
如图 3，则有
σ1 −σ2= − Kγ h ，σ3= − γ h 。
(3)
式中 h 为距水平地面的深度；γ 为重度；K 为侧压力
系数，
K
=
v 1−
v
。
(4)
图 1 土的应力–应变关系示意图
Fig. 1 Stress-strain curve of the soil
由式（2）可知，当初始弹性模量不变时，随着 s 的增大，也就是土体所受的剪应力与破坏时剪应力的 比增大，土的弹性模量逐渐减小。在强度折减有限元
若考虑比较极端的情况，即折减系数 Fi →∞时，由式
（9）有 v →0.5，由此可知式（10）的合理性。
2 有限元刚度退化、强度折减数值计算
的实现
根据以上分析，采用有限元算法如下：
小。在对强度参数折减的同时，为了保持式（8）成立，
可假定如下关系式成立：
sinϕi = β (1 − 2vi ) 。
(9)
式中 ϕi 和 vi 为对应折减系数 Fi 后的值； β 为常数，
则可以通过未折减的内莫擦角和泊松比的值来求常数
β ，即
β
=
sin ϕ 1 − 2v
，
(10)
式中，φ 和 v 为材料的真实参数。由式（8）可知，β ≥1。
泊松比 v 之间必存在关系式（8）。
基于以上分析，在对边坡进行有限元分析时，如
果仅对强度参数进行折减，塑性区域一般首先出现在
坡体的深处而不是边界附近；当强度参数降低到一定
程度时，由于深部的塑性区域已经贯通整个模型，导
致计算结果不收敛，计算结果失败，而潜在滑移通道
上的塑性区却可能未贯通，导致计算出的安全系数偏
渐接近莫尔应力圆。由式（2）也可知，土的弹性模量
与材料破坏时的应力状态有关，因此，强度折减法中
的刚度退化可以这样获得：给一个折减系数 F 有一组 1
材材料参数
c 1
和
ϕ1
，由莫尔–库仑准则可以求得此种
材料参数对应于破坏时的最大应力，即 (σ1 − σ3 )ult 的
大小，即可由式（2）来确定对应的材料参数的弹性模
状态。 关键词：强度折减；刚度退化；安全系数；失稳判据；稳定性
中图分类号：TU413.6
文献标识码：A
文章编号：1000–4548(2008)12–1910–05
作者简介：龙绪健(1985– )，男，江西九江人，硕士研究生，主要从事道路工程、岩土工程防灾减灾研究。E-mail:
long5025@。
0引 言
随着计算机技术的发展，强度折减法正在成为边 坡稳定性分析的新趋势，国内外学者对强度折减法进 行了较为深入的研究[1-10]，并在工程中得以广泛应用。 但是，此法目前在应用方面还不够完善。一方面，没 有考虑材料刚度参数在强度参数折减中的变化，认为 其是固定不变的，这显然不符合实际，强度参数的折 减具有鲜明的物理意义，材料刚度参数的变化与强度
莫尔–库仑准则，给出了对弹性模量和泊松比折减的
必要性及折减方法。 1.1 弹性模量的折减原理和方法[11]
根据土体弹性常数存在双曲线关系，如图 1 所示，
图中 a，b 为试验常数；σ1 ，σ3 分别为大、小主应力；
ε1
为轴向应变；
E i
为初始弹性模量；
(σ1
−
σ3
)ult
为
ε1 → ∞ 时 (σ1 − σ3 ) 的渐进线。根据莫尔–库仑破坏准
while the parameters ν and E were decreasing at the same time. The zone connected by Mohr-Coulomb and tension cut-off
points was smaller than that without regard to the stiffness reduction, and these points concentrated nearby the potential sliding plane, and formed the shearing sliding band, so the calculated results by the FEM were not convergent, and the overall collapse occurred. Making use of the calculated results by the FEM, it was considered that the plastic zone developed from the slope toe to the top did not mean the overall collapse through comparison of the calculated results by the strength reduction FEM with and without of considering the stiffness reduction. Key words: strength reduction; stiffness reduction; safety factor; slope failure criterion; stability