2019年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）数学理科参考答案二、填空题: 每小题5分，共30分.9.6； 10.80； 11. 20π； 12. 4-± 13. ； 14.三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）222cos )2(2c b a A c b b -+=-abc b a ab A c b b 22cos )2(2222-+=-∴ ………1分C a A c b cos cos )2(=-∴ ………2分由正弦定理得C A A C B cos sin cos )sin sin 2(=-∴………3分 即 C A A C A B cos sin cos sin cos sin 2+=∴2sin cos sin B A B ∴= ………4分0B π<<sin 0B ∴≠ ………5分21cos =∴A ………6分 0A π<< 3A π∴=………7分 （Ⅱ）4325sin 21==∆A bc S ABC ………8分 25bc ∴=………9分 22222251cos 22252b c a b c A bc +-+-===⨯ ………10分2250b c ∴+= ………11分222()2100b c b c bc ∴+=++= ………12分 即10b c += ………13分16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）7212636)(49241213==⋅⋅=C C C C A P ………3分（列式2分，结果1分） （Ⅱ）X 可能取值为3,2,1,0………4分42512615)0(490346==⋅==C C C X P ………5分（列式1分，结果1分） 211012660)1(491336==⋅==C C C X P ………7分（列式1分，结果1分） 14512645)2(492326==⋅==C C C X P ………9分（列式1分，结果1分） 2111266)3(493316==⋅==C C C X P ………11分（列式1分，结果1分）3213142211420=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ………13分（列式1分，结果1分） (本题得数不约分不扣分)17．（本小题满分13分）（Ⅰ）CM 与BN 交于F ，连接EF由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，所以F 是BN 的中点． 因为E 是AB 的中点，所以AN ∥EF ………1分 又EF ⊂平面MEC ， ………2分AN ⊄平面MEC ，………3分所以AN ∥平面MEC ………4分（Ⅱ）由于四边形ABCD 是菱形，3DAB π∠=，E 是AB 的中点，可得DE AB ⊥．又ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，平面ADNM平面ABCD AD =DN ∴⊥平面ABCD ………5分如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D，E ,(0,2,0)C,1,1)M -,,0)B ,(0,0,1)N 设平面MBC 的法向量为1111(,,)n x y z =(0,2,1)MB =-(,0)BC =1100MB n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩200y z y -=⎧⎪∴⎨+=⎪⎩ 1(1,3,2n ∴=………6分 (0,1,1)ME =- ………7分111cos ,||||2ME n ME nME n ⋅-<>===………8分ME ∴与平面MBC 9分 （Ⅲ）设1,)P h -，(3,2,0)CE =-,(0,1,)EP h =- 设平面PEC 的法向量为1(,,)n xy z =则， 1100CE n EP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩200y y hz -=∴-+=⎪⎩令y =， 1(2n h ∴=………10分又平面ADE 的法向量2(0,0,1)n =1212121cos ,2||||7n n n n n n ⋅<>===………11分解得，h =………12分 371>在线段AM 上不存在点P ，使二面角P EC D --的大小为3π．………13分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）12n n a a +=+{}n a ∴是以12a =为首项，2为公差的等差数列………1分1(1)22n a a n n ∴=+-=………2分13b =，13n n b b += {}n b ∴是以13b =为首项，3为公比的等比数列………3分3n n b ∴=………4分（Ⅱ）由(1)知()()()123(1)23(1)2nn n n n n na b n n n ∴⋅--=⋅--=⋅--⋅ ………5分 设{23}n n ⋅的前n 项和为'n T'12312343632(1)323n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅① '234132343632(1)323n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅②①—②得 '123122323232323n n n T n +-=⋅+⋅+⋅++⋅-⋅………6分'116(13)2233(12)313n n n n T n n ++--=-⋅=-+-⋅-………7分'131()322n n T n +=+-⋅………8分设{(1)2}n n -⋅的前n 项和为''n T当n 为偶数时，''24682(1)222n nT n n n =-+-+---+=⋅=………10分当n 为奇数时，1n +为偶数，''''12(1)1221n n T T n n n n +=-+=+--=--………12分1131()3()2231()31(22n n n n n n T n n n ++⎧+-⋅+⎪⎪∴=⎨⎪+-⋅--⎪⎩为偶数为奇数）………13分 19.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由已知22==a c e ，222c b a +=，得c b =，c a 2= ………1分21F PF ∆为等腰三角形，∴P F F F 221=………2分则222)3()12()2(+-=a c 解得1=c ………3分1,222==∴b a ∴椭圆W 方程为1222=+y x ………4分 （Ⅱ）①由题意可得直线1l 的方程为1y x =+.………5分与椭圆方程联立,由22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可求41(,)33B --. ………6分②当2l 与x 轴垂直时，,C D 两点与E ,G 两点重合，由椭圆的对称性，11EF FG =. ………7分 当2l 不与x 轴垂直时，设()11,C x y ，()22,D x y ，2l 的方程为(1)y k x =+（1k ≠）.由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()2222214220k x k x k +++-=.则21224+21k x x k -=+，21222221k x x k -=+.………8分 由已知，20x ≠，则直线AD 的方程为2211y y x x --=，………9分 令1x =-，得点E 的纵坐标2221E x y y x -+=. 把()221y k x =+代入得()221(1)E x k y x +-=.………10分由已知，143x ≠-，则直线BC 的方程为111143()4333y y x x ++=++,………11分 令1x =-，得点G 的纵坐标111143()3G y x y x --=+.把()111y k x =+代入得()111(1)34G x k y x +-=+.………12分()()21211(1)1(1)34E G x k x k y y x x +-+-+=++()()212121(1)1(34)1(34)k x x x x x x -++-+⎡⎤⎣⎦=⋅+[]121221(1)23()4(34)k x x x x x x -+++=⋅+………13分把21224+21k x x k -=+，21222221k x x k -=+代入到121223()4x x x x +++中， 121223()4x x x x +++=222222423()402121k k k k --⨯+⨯+=++. 即0E G y y +=，即11EF FG =. .…………14分 20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当2n =时，12()(2ln )f x m x x =-，()(2ln f x m x '=-0=≤在[]1,e 恒成立.…………1分 即2ln 0m x m --≤在[]1,e 恒成立[]1,,1ln 2x e x ∈∴≤≤2ln 1m x ∴≥+，.…………2分令2()ln 1x x ϕ=+，22()0(ln 1)x x x ϕ-'=<+.…………3分 2()ln 1x x ϕ∴=+在[]1,e 单调递减，max ()(1)2x ϕϕ∴==，2m ∴≥.…………4分（Ⅱ）①当1=m 时,nx x n x f 1)ln ()(⋅-=111111111'ln 11)ln (1)ln (1)(----⋅⋅-=-+-=-+⋅-=n n n n n x x n x n x n x x n x n x x x f.…………5分0>x ∴令0)('=x f 1=x.…………6分(交代单调性，不列表也可以）n f x f ==)1()(max .…………7分 ②要证明当a e ≥，0k >时，关于x ln )x kx a -=-+有唯一解，令t =，即证明2()22ln g t kt t t t a =+--有唯一零点. 我们先证三个引理【引理1】(1ln )1x x -≤.............（由第1问取1n =即可） 【引理2】1ln 1x x≥-...........（由【引理1】变形得到） 【引理3】ln 1x x ≤-........（可直接证明也可由【引理2推出】证明：11ln ln(1)11x x xx=-≤--=-. 证毕！.…………8分下面我们先证明函数()g t 存在零点，先由【引理2】得到：221()22(1)2g t kt t t a kt a t≤+---=+-.令t =()0g t ≤.再由【引理3】得到ln x x <，于是()((2)g t t kt t a =-+-4)(2)t a >-.令216t k >，且2at >，可知()0g t >.由连续性可知该函数一定存在零点. .…………10分下面我们开始证明函数()g t 最多只能有一个零点.我们有ln ()22ln 2()tg t kt t t k t'=-=-. 令ln ()t h t t =，则21ln ()th t t -'=，则()h t 在(0,)e 递增，在(,)e +∞递减，即max 1()h t e =..…………11分当1k e ≥时，有()0g t '≥恒成立，()g t 在(0,)+∞上递增，所以最多一个零点.当10k e <<时，令12()()0g t g t ''==，12t e t <<，即11ln t kt =，于是111111()ln 22ln g t t t t t t a =+--11(2ln )t t a =--..…………12分再令1(01)t eT T =<<，由【引理1】可以得到1()(1ln )10g t eT T a e a =--<⨯-≤..…………13分因此函数()g t 在1(0,)t 递增，12(,)t t 递减，2(,)t +∞递增， 1t t =时，()g t 有极大值但其极大值1()0g t <，所以最多只有一个零点. .…………14分综上，当0k >，a e ≥时，函数()y f x =与y kx a =-+的图像有唯一交点.。